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Mines Mathématiques 1 PSI 2017Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Marche aléatoire d'un rat dans un labyrinthe : matrices stochastiques et convergence des moyennes des puissances
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Le sujet modélise les déplacements aléatoires d'un rat entre cinq salles par une matrice de transition. Il établit ensuite un résultat général sur la convergence des moyennes des puissances d'un endomorphisme contractant, puis étudie les matrices stochastiques dont une puissance est à coefficients strictement positifs. Il conclut à l'existence et à l'unicité d'une loi invariante pour le labyrinthe.

  1. 1Partie I : premiers pas (Q1 à Q5)Formule des probabilités totales, matrice de transition B, valeur propre 1 de la transposée, loi invariante particulière et indépendance.
  2. 2Partie II : convergence dans Mn(R) (Q6 à Q10)Moyennes des puissances d'un endomorphisme vérifiant ‖u(x)‖ ≤ ‖x‖, décomposition E = ker(u − I) ⊕ Im(u − I) et projecteur limite.
  3. 3Partie III : matrices stochastiques (Q11 à Q22)Caractérisation AU = U, stabilité par produit, fermeture et convexité, norme infinie, noyau de dimension 1 et valeur propre 1 simple.
  4. 4Partie IV : application au labyrinthe (Q23, Q24)Calcul de la limite P et unicité de la loi de probabilité invariante.

Difficulté moyenne. Le jury note beaucoup de questions simples et quelques questions délicates ; les questions après la 17 ont été très peu traitées correctement.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calculs inutiles de sous-espaces propres · Récurrence mal initialisée · Indépendance justifiée par l'intuition
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Le sujet comportait beaucoup de questions simples, si bien que la rédaction faisait la différence entre une copie moyenne et une bonne copie. Les copies sont majoritairement bien présentées. Le sujet a bien classé les candidats, avec un écart type conséquent ; les questions 6 à 10 ont été déterminantes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calculs inutiles de sous-espaces propresQ2, Q3

    Il suffisait de remarquer que la somme des coefficients de chaque colonne de B vaut 1. Écrire B au lieu de sa transposée en Q2 bloquait aussi les questions 3 et 4.

    « beaucoup de temps perdu à calculer des espaces propres »
  2. 2
    Récurrence mal initialiséeQ4

    L'hérédité était triviale ; les points portaient sur l'initialisation, qu'il fallait vérifier explicitement.

    « l'important n'était pas l'hérédité de la récurrence (triviale), mais bien son initialisation »
  3. 3
    Indépendance justifiée par l'intuitionQ5

    Dire que la position au rang 1 dépend de celle au rang 0 ne prouve rien ; il faut appliquer le critère mathématique d'indépendance.

    « il faut en probabilités se garder des arguments pompeux »
  4. 4
    Écritures incorrectes en algèbre linéaireQ6 à Q10

    Les questions 6 à 10 demandaient de la rigueur ; parler de puissances de vecteurs ou de sommes géométriques de vecteurs pèse lourdement sur la note.

  5. 5
    Équivalence ambiguëQ11

    En question 11, il fallait un raisonnement par équivalence non ambigu entre AU = U et le caractère stochastique.

    « Et le doute profite rarement au candidat ! »
  6. 6
    Majoration incomplète avec la norme infinieQ14

    La rédaction doit faire apparaître valeurs absolues, inégalité triangulaire, majoration par la norme, positivité des coefficients et somme égale à 1.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1 et 2 sont généralement bien traitées.
  • La question 12 est généralement bien faite.
  • La fermeture de l'ensemble des matrices stochastiques (Q13) est bien traitée quand elle est abordée.
  • L'idée de la question 15 est souvent présente chez ceux qui l'abordent.

Conseils du jury

  • Soigner la rédaction même sur les questions simples, en particulier les questions 4, 11 et 14 citées par le jury.
  • Réutiliser les questions précédentes : la caractérisation de Q11 simplifiait Q12 et Q13, et Q13 permettait de conclure en Q17.
  • Vérifier les hypothèses avant d'appliquer un résultat : en Q16, rien ne garantissait des coefficients strictement positifs pour p = 1.
  • Préférer ne rien écrire plutôt que des affirmations non fondées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Marche aléatoire dans un labyrinthe

Un labyrinthe est constitué de cinq salles, numérotées de 1 à 5 , qui communiquent par des tubes selon le schéma ci-dessous :
Un rat se déplace dans ce labyrinthe, et on relève sa position en des instants numérotés 0, 1, 2, ⋯, k, ⋯(k ∈ N). On admet que, si le rat se trouve à l'instant k ( k ∈ N ) dans la salle numéro i(1 ≤ i ≤ 5), alors il empruntera aléatoirement l'un des tubes de la salle i et se trouvera donc, à l'instant k + 1, avec équiprobabilité, dans l'une quelconque des salles communiquant avec la salle i. On admet que l'on peut introduire, pour tout k entier naturel, une variable aléatoire S_k donnant le numéro de la salle où se trouve le rat à l'instant k. À titre d'exemple, on aura donc
∀k ∈ N,; P(S_(k + 1) = 1|S_k = 2) = P(S_(k + 1) = 3|S_k = 2) = P(S_(k + 1) = 5|S_k = 2) = 1/3
Pour tout k ∈ N, on introduit la matrice-colonne
X_k = (P(S_k = 1); P(S_k = 2); P(S_k = 3); P(S_k = 4); P(S_k = 5)) ∈ M_(5, 1)(R)
Pour une matrice B, ^t B représente sa matrice transposée.

I Premiers pas

  1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que P(S_(k + 1) = 1) s'écrit comme une combinaison linéaire des ( P(S_k = i), i = 1, ⋯, 5 ).
  2. Expliciter la matrice carrée B ∈ M_5(R) telle que X_(k + 1) = BX_k pour tout k entier naturel.
  3. En observant les colonnes de la matrice B, montrer que le réel 1 est valeur propre de ^t B et expliciter un vecteur propre associé.
On suppose que la loi de la variable S_0 est donnée par
X_0 = (1/4; 3/16; 3/16; 3/16; 3/16)
  1. Montrer qu'alors les variables aléatoires S_k ont toutes la même loi.
  2. Est-ce que S_0 et S_1 sont indépendantes?

II Convergence dans M_n(R)

Soit u un endomorphisme d'un R-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe une norme ‖ ⋅ ‖ sur E telle que l'inégalité suivante soit satisfaite pour tout x ∈ E,
‖u(x)‖ ≤ ‖x‖.
Pour tout entier naturel k non nul, on considère l'endomorphisme
r_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)u^l = 1/k(I_E + u + u^2 + ⋯ + u^(k − 1)),
où I_E représente l'endomorphisme identité de E.
6. Soit x ∈ ker(u − I_E). Déterminer lim_(k → ∞)r_k(x).
7. Soit x ∈ Im(u − I_E). Montrer que lim_(k → ∞)r_k(x) = 0_E.
8. En déduire que E = ker(u − I_E) ⊕ Im(u − I_E).
9. Soit x ∈ E, un vecteur quelconque. Montrer que la suite (r_k(x))_(k ∈ N^∗) converge vers un vecteur de E, que l'on notera p(x). Interpréter géométriquement l'application p : E ⟶ E ainsi définie.
Soit A ∈ M_n(R) une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels. On suppose qu'il existe une norme, aussi notée ‖ ⋅ ‖, sur l'espace vectoriel M_(n, 1)(R) identifié à R^n, telle que, pour tout X ∈ M_(n, 1)(R), on ait ‖AX‖ ≤ ‖X‖. Pour tout k entier naturel non nul, on considère la matrice
R_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)A^l = 1/k(I_n + A + A^2 + ⋯ + A^(k − 1)),
où I_n est la matrice identité dans M_n(R).
10. Montrer que la suite de matrices (R_k)_(k ∈ N^∗) converge dans M_n(R) vers une matrice P, telle que P^2 = P.

III Matrices stochastiques

On fixe dans cette partie, un entier n ≥ 2.
Définition 1 On notera U ∈ M_(n, 1)(R), la matrice-colonne dont tous les coefficients sont égaux à 1 .
Définition 2 Une matrice carrée A = (a_(i, j)) ∈ M_n(R) est dite stochastique si elle vérifie les conditions suivantes :
∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, a_(i, j) ≥ 0;; ∀i ∈ [ [1, n] ], ∑_(j = 1)^n a_(i, j) = 1.
Nous dirons aussi qu'une matrice-ligne L = (λ_1, ⋯, λ_n) ∈ M_(1, n)(R) est stochastique lorsque ses coefficients λ_i sont tous positifs ou nuls, et de somme égale à 1.
11. Vérifier que la condition (4) équivaut à la condition AU = U.
12. En déduire que l'ensemble E des matrices stochastiques (carrées d'ordre n ) est stable par le produit matriciel.
13. Montrer que cet ensemble E est une partie fermée et convexe de l'espace vectoriel M_n(R).
On munit l'espace M_(n, 1)(R) de la norme ‖ ⋅ ‖_∞ définie par ‖X‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ n)|x_i| si X = (x_1; ⋮; x_n).
14. Montrer que, si A ∈ M_n(R) est stochastique, alors on a ‖AX‖_∞ ≤ ‖X‖_∞ pour tout X ∈ M_(n, 1)(R).
Dans les questions 15 à 22 , on note A ∈ M_n(R) une matrice stochastique, et on suppose qu'il existe un entier naturel non nul p tel que la matrice A^p ait tous ses coefficients strictement positifs. Pour tout k entier naturel non nul, on posera
R_k = 1/k∑_(l = 0)^(k − 1)A^l
  1. Montrer que ker(A^p − I_n) est de dimension 1.
Indication : soit X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ ker(A^p − I_n), soit s ∈ [ [1, n] ] un indice tel que x_s = max_(1 ≤ j ≤ n)x_j, on montrera que x_j = x_s pour tout j ∈ [ [1, n] ].
16. En déduire que ker(A − I_n) = Vect(U).
17. Montrer que, pour tout k ∈ N^∗, la matrice R_k est stochastique.
18. Montrer que la suite (R_k)_(k ∈ N^∗) converge dans M_n(R) vers une matrice P, stochastique, de rang 1 .
19. En déduire que l'on peut écrire P = UL, où L = (λ_1, ⋯, λ_n) ∈ M_(1, n)(R) est une matrice-ligne stochastique.
20. Montrer que PA = P. En déduire que L est la seule matrice-ligne stochastique vérifiant LA = L.
21. Montrer que les coefficients de la matrice-ligne L sont tous strictement positifs.
22. Montrer que le réel 1 est valeur propre simple de la matrice A.
On pourra utiliser le résultat de la question 8.

IV Application au labyrinthe

On approfondit l'étude commencée dans la partie I en exploitant les résultats de la partie III.
On pose A = ^t B où B est la matrice construite dans la partie I.
Un calcul qui n'est pas demandé, montre que les coefficients de la matrice A^2 sont tous strictement positifs.
23. Expliciter la limite P de la suite de matrices (R_k)_(k ∈ N^∗) définie en (2) ?
24. Montrer qu'il existe une unique loi de probabilité sur l'ensemble [ [1, 5] ] telle que, si la variable aléatoire S_0 suit cette loi, alors les variables S_k suivent toutes la même loi (autrement dit, telle que la probabilité de présence du rat dans une salle soit la même à tous les instants k, k ∈ N ).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines PSI 2017 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines PSI 2017 ?

Sur la marche aléatoire d'un rat dans un labyrinthe : matrice de transition, convergence des moyennes des puissances d'une matrice, matrices stochastiques et loi de probabilité invariante.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines PSI 2017 ?

Des calculs inutiles de sous-espaces propres, des récurrences mal initialisées, une indépendance justifiée par l'intuition, des écritures incorrectes comme des puissances de vecteurs et des équivalences ambiguës.

Quelles questions ont fait la différence en maths 1 Mines-Ponts PSI 2017 ?

Selon le jury, les questions 6 à 10 sur la convergence dans Mn(R) ont été déterminantes. Les questions suivant la 17 ont été très peu traitées correctement.

Le sujet maths 1 Mines PSI 2017 est-il difficile ?

Il comporte beaucoup de questions simples et quelques questions délicates. La rédaction précise des questions simples départage les copies.

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