Mines Mathématiques 1 PSI 2018Sujet et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2018 ?

Il mobilise le dénombrement, les probabilités finies, l'algèbre linéaire (familles liées, pivot, déterminant), l'orthogonalité, la formule de Stirling et un travail de logique ensembliste.

Q: Quelles erreurs le jury de Mines maths 1 PSI 2018 a-t-il le plus relevées ?

Des premières questions traitées partiellement, des erreurs de calcul avec Stirling, une notion de famille liée mal comprise, la méthode du pivot mal maîtrisée et des confusions logiques entre ensembles distincts et disjoints.

Q: Le sujet Mines maths 1 PSI 2018 est-il difficile ?

Le jury note que beaucoup de candidats ont été déroutés par un sujet original. Le classement s'est pourtant fait sur les questions élémentaires des quatre premières parties.

Q: Quelles questions privilégier sur le sujet Mines maths 1 PSI 2018 ?

Les 20 premières questions, qui testent progressivement des points fondamentaux du programme. Le jury insiste pour qu'elles soient traitées de façon claire et précise.

Théorème de Komlos

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Difficile

Matrices aléatoires à coefficients ±1 : théorème de Komlós

Une matrice carrée de taille n a ses coefficients égaux à 1 ou -1, tirés à pile ou face de façon indépendante. Le problème montre que cette matrice est inversible avec une probabilité qui tend vers 1 quand n tend vers l'infini (théorème de Komlós). Il est construit en six parties et 27 questions : les quatre premières testent de nombreux points du programme, les deux dernières sont plus techniques.

1Partie A : coefficients binomiauxMonotonie des coefficients binomiaux, équivalent du coefficient central par la formule de Stirling et majorations.
2Partie B : dimension 2Espérance, variance et probabilité d'annulation du déterminant d'une matrice aléatoire de taille 2.
3Partie C : quelques bornesMinoration de la probabilité que le déterminant soit nul, familles liées, méthode du pivot et vecteur orthogonal à coordonnées entières.
4Partie D : théorème d'Erdös-Littlewood-OffordAnti-chaînes de parties d'un ensemble fini, dénombrement de permutations et majoration du cardinal d'une anti-chaîne.
5Partie E : universalitéTraduction ensembliste d'une propriété quantifiée et majoration de la probabilité qu'une famille de lignes ne soit pas k-universelle.
6Partie F : théorème de KomlósSynthèse des résultats précédents pour conclure.

Difficile. Le jury indique que de nombreux candidats ont été déroutés par un sujet qui sort des sentiers battus, et que les deux dernières parties, plus techniques, n'ont été abordées que par une minorité.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Question 1 incomplète · Stirling mal appliqué · Famille liée mal comprise

Le classement s'est fait sur les questions élémentaires des quatre premières parties, les deux dernières départageant les meilleurs. Les 20 premières questions ont bien testé, de façon progressive, des points fondamentaux du programme, mais beaucoup de candidats ont été déroutés. Le jury relève des lacunes en logique et en algèbre linéaire de première année.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Question 1 incomplèteA.1
De nombreuses copies oublient la deuxième partie de la question ; d'autres se lancent dans une récurrence qui aboutit rarement.
2
Stirling mal appliquéA.2
L'équivalent du coefficient central demandait de traiter séparément les cas n pair et n impair, et beaucoup se trompent dans les calculs.
3
Famille liée mal compriseC.9
La question demandait seulement de bien comprendre ce qu'est une famille liée, ce qui n'est majoritairement pas le cas.
4
Méthode du pivot non compriseC.11
La question C.11, peu abordée, montre que la méthode du pivot n'est pas comprise ; les problèmes portent aussi sur le programme de première année.
5
Lacunes en logique sur les ensemblesD.14
Seule une minorité prouve que la famille des parties de cardinal k est une anti-chaîne ; beaucoup confondent « distincts » et « disjoints » ou caractérisent mal deux ensembles distincts.
6
Affirmation au lieu d'un raisonnement par l'absurdeD.16
Certains se contentent d'écrire que c'est impossible au lieu de construire un raisonnement par l'absurde, ou remplacent A ≠ B par une inégalité de cardinaux.

Ce qui a été bien réussi

Les questions B.5 à B.7 de la partie B sont généralement bien traitées, en calculant les probabilités des valeurs possibles du déterminant.
La question C.8 est en général bien traitée.
La question D.16 est beaucoup abordée et majoritairement bien traitée ; D.18 et D.19 sont bien réussies quand elles sont abordées.
À la question E.21, de nombreux candidats ont obtenu le maximum malgré une coquille dans l'énoncé.

Conseils du jury

Assimiler parfaitement les notions de base, notamment celles de première année.
Soigner la rédaction des premières questions, en visant la clarté.
Ne pas abandonner trop vite une question et ne pas hésiter à admettre un résultat pour avancer.
Prendre le temps de se faire une idée globale du sujet pour y entrer vraiment.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations :

Si $x$ est un nombre réel on note $[x]$ sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier relatif qui est inférieur ou égal à $x$ .
On appelle cardinal de l'ensemble fini $E$ le nombre de ses éléments, que l'on note $|E|$ .
On note $P(E)$ l'ensemble des parties de l'ensemble $E$ .
Dans tout le problème on identifiera $R^n$ à l'espace des matrices lignes $M_(1, n)(R)$ et on notera $⟨x, y⟩$ le produit scalaire canonique des deux vecteurs, soit

⟨x, y⟩ = \sum_(j = 1)^n x_j y_j

les

x_j, y_j

étant les composantes de

x, y

respectivement.

Si $V$ est un sous-ensemble de $R^n$ on note $Vect(V)$ l'espace vectoriel engendré par $V$ . On note $V^⊥$ l'orthogonal de $V$ , c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs $y$ tels que $\forallx \in V, ⟨x, y⟩ = 0$ .
Si $M$ est une matrice carrée de nombres réels, on note $det(M)$ son déterminant.

Dans tout le problème on pourra utiliser librement la formule de Stirling que l'on rappelle :

n! \sim _(n \to + \infty)\sqrt(2πn)(n/e)^n

Définition 1 (Espace de Rademacher) Si n,

q \in N^*

, on note

Ω_(q, n) = {ω = (ω_(i, j), 1 ≤ i ≤ q, 1 ≤ j ≤ n) tels que ω_(i, j) = ± 1, ∀i, j}

Pour tout

i \in {1, \dots, q}

j \in {1, \dots, n}

, on introduit la variable aléatoire

M_(i, j)

telle que

M_(i, j) : Ω_(q, n), ⟶ { − 1, 1}; ω, ⟼ ω_(i, j)

On munit

Ω_(q, n)

de la probabilité uniforme

P

. Cela signifie que les variables aléatoires (

M_(i, j), 1 \leq i \leq q, 1 \leq j \leq n

) sont indépendantes et de même loi:

P(M_(i, j) = 1) = 1/2 = P(M_(i, j) = - 1)

q = n

, on note

M^((n))

la matrice aléatoire

M^((n)) = (M_(1, 1), \dots, M_(1, n); ⋮, ⋮; M_(n, 1), \dots, M_(n, n))

On note

L_1^((n)), \dots, L_n^((n))

les vecteurs lignes de

M^((n))

. Par construction, ce sont des vecteurs aléatoires indépendants et de même loi.

Le but du problème est de démontrer, qu'ainsi construite, une matrice aléatoire est inversible avec forte probabilité quand

n

est grand:

Théorème 1 (Komlós)

lim_(n \to \infty)P(detM^((n)) = 0) = 0

A Coefficients binomiaux

Soit $n \in N^*$ : montrer que l'application

k ⟼ (n/k)

est croissante sur

{0, \dots, [n/2]}

. En déduire que pour tout

k \in {0, \dots, n}

(n/k) \leq (n/([n/2]))

Trouver un équivalent de $(n/([n/2]))$ quand $n$ tend vers l'infini. En déduire qu'il existe un entier $n_0$ tel que pour $n \geq n_0$ ,

(n/([n/2])) \leq (2^n)/(\sqrtn).

Montrer que pour tout entier non nul $n$ et tout $k \in {0, \dots, n}$ ,

(n/k)2^(k - 1) \leq n^k

On note (

e_i, 1 \leq i \leq n

) la base canonique de

R^n

v = \sum_(i = 1)^n e_i

. On identifie

Ω_(1, n)

et le sous-ensemble de

R^n

{∑_(i = 1)^n ω_i e_i, (ω_1, ⋯, ω_n) ∈ Ω_(1, n)}.

Pour tout $i \in {1, \dots, n}$ , exprimer $e_i$ en fonction de $v$ et $v - 2e_i$ . En déduire que $Vect(Ω_(1, n)) = R^n$ .

B Dimension 2

Déterminer l'espérance de $detM^((2))$ .
Montrer que la variance de $detM^((2))$ est égale à 2 .
Calculer $P(detM^((2)) = 0)$ .

C Quelques bornes

On suppose dorénavant

n \geq 2

.
8. Quelle est la probabilité que les deux premières lignes de

M^((n))

soit égales ou opposées?

En déduire que

P(detM^((n)) = 0) \geq 2^(1 - n)

n \geq 2

.
9. Soient

l_1, \dots, l_n

des vecteurs non nuls de

R^n

. Montrer que ces vecteurs sont liés si et seulement si, il existe

j \in {1, \dots, n - 1}

tel que

l_(j + 1) ∈ Vect({l_1, ⋯, l_j})

En déduire que

P(detM^((n)) = 0) \leq \sum_(j = 1)^(n - 1)P(L_(j + 1)^((n)) \in Vect(L_1^((n)), \dots, L_j^((n)))).

Soit

H

un sous-espace vectoriel de

R^n

de dimension

d

. On rappelle que

H^⊥

est un sous-espace vectoriel de dimension

n - d

et que

(H^⊥)^⊥ = H

.
10. Montrer alors qu'il existe des réels (

α_(i, j), 1 \leq i \leq n - d, 1 \leq j \leq n

) tels que

x = (x_1, \dots, x_n) \in H ⟺ (α_(1, 1), \dots, α_(1, n); ⋮, ⋮; α_(n - d, 1), \dots, α_(n - d, n))(x_1; ⋮; x_n) = (0; ⋮; 0).

En utilisant le pivot de Gauss, montrer qu'il existe $1 \leq i_1 < \dots < i_d \leq n$ tel que pour tout $(y_1, \dots, y_d) \in R^d$ il existe un unique $x = (x_1, \dots, x_n) \in H$ tel que $x_(i_k) = y_k$ pour $k = 1, \dots, d$ .
En déduire que

P(L_1^((n)) \in H) \leq 2^(d - n),

puis que pour tout

j \in {1, \dots, n - 1}

P(L_(j + 1)^((n)) \in Vect(L_1^((n)), \dots, L_j^((n)))) \leq 2^(j - n).

Indication : on pourra utiliser la conséquence suivante de la formule des probabilités totales

P(L_(j + 1)^((n)) \in Vect(L_1^((n)), \dots, L_j^((n)))); = \sum_(l_1, \dots, l_j \in Ω_(1, n))P(L_(j + 1)^((n)) \in Vect(l_1, \dots, l_j)|, L_1^((n)) = l_1, \dots, L_j^((n)) = l_j); \times P(L_1^((n)) = l_1, \dots, L_j^((n)) = l_j)

et l'indépendance des vecteurs lignes.
Soit

q < n

ω \in Ω_(q, n)

. On note

l_1, \dots, l_q

ses vecteurs lignes.
13. Montrer que l'on peut trouver un vecteur non nul orthogonal à

Vect(l_i, i = 1, \dots, q)

qui soit à coordonnées dans

Z

D Théorème de Erdös-Littlewood-Offord

Définition 2 Soit

n

un entier non nul. Soit

A

un sous-ensemble de

P({1, \dots, n})

. On dit que

A

est une anti-chaîne si deux éléments distincts

A, B

quelconques de

A

sont incomparables, c'est-à-dire tels que

A

n'est pas inclus dans

B

B

n'est pas inclus dans

A

Commençons par un exemple. Soit

k \in {1, \dots, n}

A_k

l'ensemble des parties de

{1, \dots, n}

de cardinal

k

.
14. Montrer que

A_k

est une anti-chaîne et que

|A_k| \leq (n/([n/2])) \leq (2^n)/(\sqrtn)

la deuxième inégalité ayant lieu pour

n

assez grand.
Définition 3 Soit

A

une anti-chaîne et

A \in A

, de cardinal noté

|A|

. On note

S_A

, l'ensemble des bijections

σ

{1, \dots, n}

dans lui-même telles que la restriction de

σ

{1, \dots, |A|}

soit une bijection de

{1, \dots, |A|}

dans

A

.
15. Quel est le cardinal de

S_A

?
16. Soit

B \in A

avec

B \neq A

. Montrer que

S_A \cap S_B = \emptyset

.
17. En déduire que si

a_k

désigne, pour

k \leq n

, le nombre d'éléments de

A

de cardinal

k

, alors

\sum_(k = 0)^n(a_k)/((n/k)) \leq 1

Montrer que

|A| \leq (n/([n/2]))

Soit

v = (v_1, \dots, v_n) \in R^n

tel que

v_j \geq 1

, pour tout

j = 1, \dots, n

. Si

A \subset {1, \dots, n}

on pose

s_A = \sum_(j \in A)v_j - \sum_(j \in A^c)v_j

où

A^c

est le complémentaire de

A

dans

{1, \dots, n}

.
19. Montrer que si

A \subset B \subset {1, \dots, n}, A \neq B

, alors

s_B - s_A \geq 2

Soit $J$ un intervalle ouvert de $R$ de longueur 2 : montrer que si $n$ est assez grand alors

P(< L_1^((n)), v>\inJ) \leq 1/(\sqrtn).

Montrer que cette propriété reste vraie si l'on suppose seulement que pour tout

j ∈ {1, ⋯, n}, |v_j| ≥ 1

Indication : construire une bijection entre

Ω_(1, n)

et l'ensemble des parties de

{1, \dots, n}

. Construire une anti-chaîne intéressante.

E Universalité

Dans tout ce qui suit,

k

est un entier inférieur à

n

.
Définition 4 Soit

V \subset Ω_(1, n)

. L'ensemble

V

est dit

k

-universel si pour tous les

k

-uplets

1 \leq j_1 < j_2\dots < j_k \leq n

et tout

ω \in Ω_(1, n)

, il existe

v \in V

tel que

v_(j_m) = ω_(1, j_m), pour tout m = 1, \dots, k.

Soit $d \in {1, ..n}$ . Montrer l'inclusion

{{L_1^((n)), ⋯, L_d^((n))} non k-universel }; ⊂ ⋃_((j_1, ⋯, j_k) ∈ {1, ⋯, n}^k; j_1 < … < j_k)⋃_(ω ∈ Ω_(1, k))⋂_(i = 1)^d⋃_(m = 1)^k{M_(i, j_m) ≠ ω_(1, j_m)}.

(On rappelle que

L_i^((n)) = (M_(i, 1), \dots, M_(i, n))

).
22. Montrer que la probabilité que

{L_1^((n)), ⋯, L_d^((n))}

ne soit pas

k

-universel est majorée par

(n/k)2^k(1 - 2^(- k))^d

En déduire que si $d \geq n/2$ et $k \leq lnn$ , alors, pour $n$ assez grand,

P({L_1^((n)), ⋯, L_d^((n))} non k-universel) ≤ 1/n

Soit $V \subset Ω_(1, n)$ un ensemble $k$ -universel tel qu'il existe $v ∈ V^⊥∖{0}$ : montrer que $v$ a au moins $k + 1$ coordonnées non nulles.

En vertu de la question 13, on peut supposer que les coordonnées de

v

sont des entiers relatifs.
25. Montrer que si

k

est assez grand

P(L_1^((n)) \in Vect(V)) \leq P(⟨L_1^((n)), v⟩ = 0) \leq k^(- 1/2)

Soit (

t_n, n \in N

) une suite croissante d'entiers telle que

t_n/n \to 0

.
26. Montrer que si

n

est assez grand alors

n - t_n \geq n/2

\sum_(j = n - t_n + 1)^(n - 1)P(L_(j + 1)^((n)) \in Vect(L_1^((n)), \dots, L_j^((n)))) \leq (2t_n)/(\sqrt(lnn))

Indication : on distinguera les cas selon que

Vect(L_1^((n)), \dots, L_j^((n)))

est

k

-universel ou pas et l'on prendra

k = [lnn]

F Théorème de Komlós

En déduire le théorème de Komlós.

Indication : on pourra partir de (2) et choisir convenablement une suite (

t_n, n \geq 1

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

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E Universalité

F Théorème de Komlós

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