Mines Mathématiques 2 PSI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Modèle SIR pour la propagation d'épidémies et séries de Dirichlet

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Modélisation d'une épidémie de type SIR par une équation différentielle non linéaire, approchée par des séries de Dirichlet

Le sujet étudie l'équation différentielle non linéaire y'(x) + y(x) + 1 = (1/2)e^{y(x)}, dont une solution particulière permet ensuite de décrire un modèle épidémiologique SIR. Il enchaîne une linéarisation de l'équation, l'étude de séries de fonctions dites de Dirichlet, des relations sur leurs coefficients, une approximation numérique via un système de Vandermonde, puis une application au modèle SIR continu et à un modèle probabiliste discret de propagation. Le rapport précise qu'aucune connaissance hors programme sur les équations différentielles non linéaires n'était nécessaire.

1Partie I : linéarisation de (E)Étude d'une équation différentielle linéaire approchant (E) au voisinage de 0 et de ses solutions constantes.
2Partie II : séries de Dirichletdeuxième annéeÉtude de séries de fonctions particulières (convergence uniforme, régularité, dérivation terme à terme).
3Partie III : relations sur les coefficients de la série de DirichletÉtablissement de relations de récurrence entre les coefficients de la série représentant la solution y.
4Partie IV : approximation de la solution yTroncature de la série et calcul des coefficients par résolution d'un système de Vandermonde.
5Partie V : modèle de propagation d'épidémie SIRÉtude du système différentiel SIR continu et lien avec l'équation (E) via un changement de fonction.
6Partie VI : modèle probabilisteModélisation discrète et probabiliste de la propagation de l'épidémie au sein d'une population finie.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet contenait beaucoup de questions élémentaires proches du cours, mais aussi quelques questions particulièrement difficiles réparties dans le sujet, ce qui a conduit à un bon étalement des résultats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,28 / 20 · écart-type 4 · 3 712 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 11,28/ 20
Écart-type: 4
Présents: 3 712
Coefficient: 3
Durée: 3 h
1er quartile: 8,4
Médiane: 11,4
3e quartile: 14,4

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Hypothèses du théorème de Cauchy linéaire mal maîtrisées · Théorème faux invoqué sur la limite de la dérivée · Confusion entre algèbre linéaire et sommes de séries

Le jury déplore un manque de rigueur récurrent dans le traitement des équations différentielles, avec des confusions entre l'inconnue et les solutions et des oublis de réciproques. Il note aussi une grande difficulté des candidats à articuler un raisonnement simple et rigoureux en probabilités, partie pourtant peu abordée en raison de sa position tardive dans le sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Hypothèses du théorème de Cauchy linéaire mal maîtriséesQ1
Les candidats s'appuyant sur ce théorème pour la question 1 ont souvent eu du mal à en énoncer correctement les hypothèses.
« non, tout problème de Cauchy n’a pas une unique solution »
2
Théorème faux invoqué sur la limite de la dérivéeQ3
Pour la question 3, un grand nombre de candidats a tenté de passer en force en énonçant un résultat faux sur la limite de y' en +infini.
« un très grand nombre d’entre eux a tenté de passer en force en énonçant un théorème faux »
3
Confusion entre algèbre linéaire et sommes de sériesQ8
À la question 8, plusieurs candidats ont traité le résultat comme une question d'algèbre alors qu'il s'agissait de sommes de séries.
« vu beaucoup de tentatives de passage en force, situant à tort le résultat comme une question »
4
Majoration par l'inégalité des accroissements finis non vueQ20
La question 20, qui relevait de l'inégalité des accroissements finis, a été presque jamais réussie malgré des tentatives d'approches plus élémentaires.
« Question presque jamais réussie »
5
Vocabulaire probabiliste imprécisQ22
À la question 22, le jury signale des abréviations non définies (SCE, SQCE) et des confusions entre variables aléatoires et événements.
« Le jury ne sait pas ce qu’est un SCE ni même un SQCE »
6
Première question de probabilités déstabilisanteQ21
La question 21, pas fondamentalement difficile, a été mal traitée, en partie à cause de la longue introduction de la partie probabilités qui précède.
« débouchant sur un taux de réussite »

Ce qui a été bien réussi

La question 5, sur la convergence normale des séries de Dirichlet, a été la mieux réussie parmi celles mobilisant le programme de deuxième année.
La question 12, qui demandait de dériver n fois l'équation différentielle, a régulièrement été bien réussie.
La question 18, portant sur la combinaison des équations du système (F), a été jugée assez facile et régulièrement bien réussie.
Beaucoup de candidats ont su prendre des points sur une quantité substantielle de questions, ce qui a conduit à un bon étalement des résultats.

Conseils du jury

Présenter les hypothèses d'un théorème sous forme explicite plutôt que de citer une terminologie imprécise, pour éviter d'en oublier une.
Fixer clairement les variables avant d'écrire une inégalité et vérifier l'existence des objets manipulés.
Justifier soigneusement les théorèmes d'interversion limite-somme en citant leurs hypothèses exactes.
Éviter les abréviations non définies et rédiger en français des phrases complètes, en particulier en probabilités.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : $3$ heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Soit

J

un intervalle de

R

L'ensemble $C^k(J, R)$ avec $k \in N^*$ désigne l'ensemble des fonctions $f : J \to R$ dont les dérivées jusqu'à l'ordre $k$ existent et telles que $f^((k))$ soit continue sur $J$ .
L'ensemble $C^\infty(J, R)$ désigne l'ensemble des fonctions $f : J \to R$ indéfiniment dérivables sur $J$ .
Si $f : J \to R$ une fonction bornée, on note

‖f‖_(∞, J) = sup{|f(x)|, x ∈ J}

Introduction

Dans ce sujet, on étudie l'équation différentielle non linéaire

(E) : y^'(x) + y(x) + 1 = 1/2e^(y(x))

dont l'inconnue est une fonction

y : R_+ \to R

. On montrera en Partie V que cette équation peut-être utilisée pour caractériser la propagation d'une épidémie non létale au sein d'une population d'individus.

On admet dans tout le sujet que le problème de Cauchy

(C) : {y^′(x) + y(x) + 1 = 1/2e^(y(x)); y(0) = 0

admet une unique solution

y \in C^\infty(R_+, R)

, que l'on va chercher à approcher de plusieurs manières.

Partie I: Linéarisation de $(E)$

Pour approcher la solution

y

du problème de Cauchy

(C)

, on propose dans un premier temps de linéariser l'équation (

E

). Comme

y

est continue et vérifie

y(0) = 0

, on remarque au voisinage de 0 que

exp(y(x)) \approx 1 + y(x)

On propose donc d'approcher

y

par la solution de l'équation différentielle linéaire

(E_ℓ) : u^'(x) + u(x) + 1 = 1/2(1 + u(x)),

dont l'inconnue est une fonction

u : R_+ \to R

. On introduit de même le problème de Cauchy associé

(C_ℓ) : {u^′(x) + u(x) + 1 = 1/2(1 + u(x)); u(0) = 0.

1▹

Justifier qu'il existe une unique solution

u

au problème de Cauchy (

C_ℓ

), donner son expression et dresser son tableau de variation.

2▹

Montrer qu'il existe une unique solution constante de l'équation (

E_ℓ

), notée

γ \in R

, et vérifier que la solution

u

trouvée en question 1 satisfait

lim_(x \to + \infty)u(x) = γ.

On admet à présent dans toute la suite du sujet que les propriétés observées sur

u

, la solution de

(C_ℓ)

, restent vérifiées sur

y

, la solution de

(C)

. En particulier, on admet que:

$y$ est décroissante sur $R_+$ ,
$lim_(x \to + \infty)y(x) = c$ , où $c \in R$ .

3 - Montrer que

c

est une solution constante de (

E

), puis que (

E

) admet exactement deux solutions constantes notées

c_1

c_2

telles que

c_1 < 0 < c_2

. En déduire la valeur de

c

en fonction de

c_1

c_2

Partie II: Séries de Dirichlet

On propose dans cette partie d'étudier des séries de fonctions particulières appelées séries de Dirichlet.

Définition 1 Une série de fonctions

\sum_(n \geq 0)f_n

est dite de Dirichlet si

\forallx \in R_+ f_n(x) = a_n e^(- λ_n x),

où la suite de réels

(a_n)_(n \in N)

vérifie, pour une valeur donnée

M \in R_+^*

\foralln \in N |a_n| \leq M/(2^n),

et la suite de réels

(λ_n)_(n \in N)

est strictement croissante et vérifie

λ_0 = 0, lim_(n \to + \infty)λ_n = + \infty, et λ_n = _(n \to + \infty)O(n).

Pour tout

k \in N

, on définit alors la quantité

b_k = \sum_(n = 1)^(+ \infty)λ_n^k a_n

4▹

Montrer que pour tout

k \in N

, les réels

b_k

sont bien définis.

5▹

Montrer que toute série de Dirichlet

\sum_(n \geq 0)f_n

converge uniformément sur

R_+

. On note alors

f

sa somme. Justifier que

f

est continue sur

R_+

6▹

Exprimer

f(0)

lim_(x \to + \infty)f(x)

en fonction de

a_0

b_0

7▹

Soit

k \in N^*

. Montrer que

f \in C^k(R_+, R)

et donner une expression de

x \mapsto f^((k))(x)

. Exprimer ensuite

f^((k))(0)

en fonction de

b_k

8▹

Montrer que si

f(x) = 0

pour tout

x \in R_+

alors

a_n = 0

pour tout

n \in N

Partie III: Relations sur les coefficients de la série de Dirichlet

Revenons au problème de Cauchy (

C

), et à l'étude de sa solution

y \in C^\infty(R_+, R)

. Supposons dorénavant que

y

est la somme d'une série de Dirichlet, c'est-à-dire que

\forallx \in R_+ y(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n e^(- λ_n x),

où les suites

(a_n)_(n \in N)

(λ_n)_(n \in N)

vérifient les propriétés mentionnées en Définition 1 . On introduit également la fonction

g \in C^\infty(R_+, R)

définie par

\forallx \in R_+ g(x) = e^(y(x)).

9▹

Exprimer

a_0

b_0

en fonction de la constante

c

introduite en partie I.

10▹

En utilisant l'équation (

E

) satisfaite par

y

, calculer

b_1

11▹

Montrer que pour tout

k \in N^*

g^((k))(0) = (- 1)^k d_k,

où les coefficients

d_k

sont définis par

d_0 = 1, et \forallk \geq 1 d_k = \sum_(i = 1)^k((k - 1)/(i - 1))d_(k - i)b_i.

12▹

Soit

k \in N^*

. En utilisant l'équation (

E

), satisfaite par

y

, exhiber une relation de récurrence liant

b_(k + 1), b_k

d_k

Partie IV: Approximation de la solution $y$

Soit

N \in N^*

. Pour approcher la solution

y

de (

C

), on propose dans cette partie de tronquer toutes les sommes en s'arrêtant au terme de rang

N

. Les résultats de la Partie III permettent d'obtenir une approximation des quantités

β_k

définies pour tout

k \in N

par

β_k = \sum_(n = 1)^N λ_n^k a_n.

On introduit également la fonction tronquée

y_N : R_+ \to R

définie par

\forallx \in R_+ y_N(x) = \sum_(n = 0)^N a_n e^(- λ_n x).

En se donnant les valeurs de la suite

(λ_n)_(n \in N)

, on veut dans cette partie calculer les valeurs des coefficients

a_n

pour

n

de 1 à

N

. On utilisera les notations

A = (a_1; a_2; ⋮; a_N) \in R^N, et B = (β_0; β_1; ⋮; β_(N - 1)) \in R^N.

13▹

Montrer que

‖y_N - y‖_(\infty, R_+) \leq M/(2^N),

et déduire que

y_N

converge uniformément vers

y

sur

R_+

. Proposer ensuite un intervalle

J \subset R_+

où la majoration de

‖y_N - y‖_(\infty, J)

serait plus fine.

14▹

Montrer que

VA = B

où

V \in M_N(R)

est une matrice que l'on explicitera.

15▹

Prouver que le système

VA = B

admet une unique solution

A \in R^N

Partie V : Modèle de propagation d'épidémie SIR

Pour modéliser la propagation d'une épidémie non létale au sein d'une population d'individus, on peut utiliser le modèle de propagation d'épidémie appelé SIR. Dans ce modèle, la population est séparée en trois groupes :

Le groupe des personnes susceptibles, n'ayant pas attrapé la maladie, est noté $S$ et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction $S \in C^\infty(R_+, R)$ .
Le groupe des personnes infectées par la maladie est noté $I$ et sa proportion au cours du temps est représentée par la fonction $I \in C^\infty(R_+, R)$ .
Le groupe des personnes ayant contracté la maladie puis récupéré est noté $R$ . On suppose qu'un individu ne peut attraper la maladie qu'une seule fois dans sa vie. Une fois dans le groupe des individus récupérés, il y reste définitivement et ne redevient jamais susceptible. La proportion du groupe $R$ au cours du temps est représentée par la fonction $R \in C^\infty(R_+, R)$ .

On a ainsi la relation

\forallx \in R_+ S(x) + I(x) + R(x) = 1.

Dans un modèle de propagation d'épidémie SIR, ces trois fonctions sont de plus des solutions d'un problème de Cauchy associé à un système d'équations différentielles non linéaires

(F) : {S^′(x) = − I(x)S(x); I^′(x) = I(x)S(x) − I(x); R^′(x) = I(x); S(0) = S_0, I(0) = I_0, R(0) = R_0,

où

S_0, I_0, R_0 \in [0, 1]

sont les conditions initiales. On admet dans la suite le résultat suivant :

Théorème 1 Pour (

S_0, I_0, R_0

) fixés, le problème de Cauchy (

F

) admet une unique solution

(S, I, R) \in (C^\infty(R_+, R))^3

. De plus, si

(S, I, R)

(S˜, I˜, R˜)

sont les solutions associées aux conditions initiales

(S_0, I_0, R_0)

(S_0˜, I_0˜, R_0˜)

, alors

(S_0, I_0, R_0) \neq (S_0˜, I_0˜, R_0˜) \Rightarrow \forallx \in R_+ (S(x), I(x), R(x)) \neq (S˜(x), I˜(x), R˜(x))

16▹

Supposons que

S_0 = 0

. Donner l'expression du triplet solution (

S, I, R

) du système

(F)

17▹

Montrer que si

S_0 > 0

alors la fonction

S

du triplet solution

(S, I, R)

(F)

ne s'annule jamais, et en déduire que

S

est strictement positive.

18▹

Supposons que

S_0 > 0

. Montrer que la fonction

S

du triplet solution

(S, I, R)

(F)

vérifie la relation

(- (S^')/S)^' = - S^' + (S^')/S

On se place à partir de maintenant dans le cas où

S_0 = 1/2, I_0 = 1/2

R_0 = 0

. On introduit de plus la fonction

h : R_+ \to R

définie par

\forallx \in R_+ h(x) = ln((S(x))/(S_0)) = ln(2S(x)).

19▹

Montrer que

h

est solution du problème de Cauchy

(C)

Pour approcher la fonction

S

, on introduit la fonction

S_N : R_+ \to R

définie par

\forallx \in R_+ S_N(x) = S_0 e^(y_N(x)) = 1/2exp(\sum_(n = 0)^N a_n e^(- λ_n x)).

20▹

Montrer que

S_N

converge uniformément vers

S

sur

R_+

quand

N \to + \infty

et que

‖S_N - S‖_(\infty, R_+) \leq (Me^(2M))/(2^(N + 1))

Partie VI : Modèle probabiliste

Toutes les variables aléatoires que l'on sera amené à considérer dans la suite sont définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

). On rappelle que (

a; b

) est nul si

b > a

Pour toute suite de variables aléatoires

(U_n)_(n \geq 0)

, on note :

\foralln \in N, ΔU_n = U_(n + 1) - U_n.

Dans tout ce qui suit, on considère une population

P

M \geq 1

individus, et l'on fixe

K \in {0, \dots, M}

. On note

E = {(s, i, r) ∈ N^3, s + i + r = M}.

On considère maintenant un autre modèle de propagation de la même épidémie non létale pendant plusieurs jours au sein de la population

P

Chaque matin, la population se répartit en trois classes distinctes : les personnes susceptibles (jamais infectées), les personnes infectées, et les personnes rétablies (et désormais immunisées). On note

S~_n, I~_n

R~_n

les effectifs des trois classes au matin du

n

-ième jour et l'on convient que

S~_0 > 0, I~_0 \geq 1

de sorte que l'on ne soit pas dans un cas trivial où l'épidémie est finie ou ne peut pas commencer.

Lorsqu'au matin du

n

-ième jour,

(S~_n, I~_n, R~_n) = (s, i, r) \in E

, l'évolution quotidienne est la suivante :

dans la journée, chacune des $s$ personnes saines rencontre, indépendamment des autres, $K$ personnes au hasard parmi les $M$ personnes de la population totale. Dès que l'une au moins des rencontres se fait avec une personne infectée, la personne saine en question devient infectée le lendemain matin;
dans le même temps, chaque personne infectée peut guérir à la fin de la journée avec une probabilité $ρ$ fixée dans $]0, 1[$ .
$21▹$ Soit $(s, i, r) \in E$ . Conditionnellement à l'événement $((S~_n, I~_n, R~_n) = (s, i, r))$ , quelle est la probabilité, notée $p(i)$ , pour une personne susceptible d'être infectée lors de cette journée?
$22▹$ Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans ${0, \dots, M}$ , montrer que :

E[Z] = \sum_((s, i, r) \in E)(\sum_(k = 0)^M kP(Z = k|(S~_n, I~_n, R~_n) = (s, i, r)))P((S~_n, I~_n, R~_n) = (s, i, r))

23▹

Justifier que pour tout

n \geq 0

, les variables aléatoires

S~_n, I~_n

R~_n

ainsi que les variables aléatoires

ΔS~_n, ΔI~_n

ΔR~_n

, ont une espérance finie.

24▹

Établir l'identité suivante:

E[ΔR~_n] = ρE[I~_n]

25 - Établir l'identité suivante : pour

(s, i, r) \in E

, pour tout

k \in {0, \dots, s}

P(ΔS~_n = - k|(S~_n, I~_n, R~_n) = (s, i, r)) = (s/k)(p(i))^k(1 - p(i))^(s - k).

26▹

Montrer que

E[ΔS~_n] = - E[S~_n p(I~_n)]

puis en déduire l'équation satisfaite par

E[ΔI~_n]

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PSI 2025 ?

Il porte sur les équations différentielles linéaires, les séries de fonctions (avec une application aux séries de Dirichlet), les matrices de Vandermonde et les probabilités, via une modélisation d'épidémie de type SIR.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts PSI 2025 ?

Le rapport pointe un manque de rigueur sur les équations différentielles (confusions entre l'inconnue et les solutions, oublis de réciproques) et une grande difficulté à rédiger un raisonnement rigoureux en probabilités.

Le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PSI 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme contenant beaucoup de questions élémentaires proches du cours, mais aussi quelques questions particulièrement difficiles réparties dans le sujet, avec un bon étalement global des résultats.

Faut-il connaître les équations différentielles non linéaires pour ce sujet ?

Non, le rapport précise que ce type d'équation ne figure pas au programme de la filière PSI et qu'aucune connaissance spécifique n'était nécessaire ni utile pour traiter le sujet.

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CONCOURS 2025

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Notations

Introduction

Partie I: Linéarisation de (E)

Partie II: Séries de Dirichlet

Partie III: Relations sur les coefficients de la série de Dirichlet

Partie IV: Approximation de la solution y

Partie V : Modèle de propagation d'épidémie SIR

Partie VI : Modèle probabiliste

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PSI 2025 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines-Ponts PSI 2025 ?

Le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PSI 2025 est-il difficile ?

Faut-il connaître les équations différentielles non linéaires pour ce sujet ?

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Partie I: Linéarisation de $(E)$

Partie IV: Approximation de la solution $y$