E3A Mathématiques PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Couple de variables aléatoires et matrice de rang 1, suite d'intégrales, matrices vérifiant A^T = A^n et intégrales de Fresnel

L'épreuve comporte quatre exercices indépendants qui couvrent les parties classiques du programme de deuxième année de PSI. Ils portent successivement sur une loi conjointe liée à la loi binomiale et une matrice de rang 1, sur une suite d'intégrales et une série de fonctions, sur les matrices réelles dont la transposée est une puissance, puis sur une intégrale à paramètre qui conduit au calcul des intégrales de Fresnel.

1Exercice 1 : couple de variables aléatoires et matrice associéedeuxième annéeLoi conjointe, lois marginales, indépendance, loi binomiale, puis rang, noyau, image et valeurs propres d'une matrice de probabilités conditionnelles.
2Exercice 2 : étude d'une suite d'intégralesdeuxième annéeQuestions de cours sur X^(n+1) − 1 et la série géométrique, convergence d'une intégrale, limite et développement asymptotique à l'aide d'une série de fonctions.
3Exercice 3 : matrices de type ndeuxième annéeMatrices réelles telles que A^T = A^n : exemples, matrices de rotation, matrice symétrique positive, projection orthogonale et supplémentaires orthogonaux.
4Exercice 4 : intégrale à paramètre et intégrales de Fresneldeuxième annéeQuestions de cours sur les complexes et les séries alternées, dérivation sous l'intégrale, convergence d'intégrales généralisées par intégration par parties et calcul des intégrales de cos(x²) et sin(x²).

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Affirmations sans preuve · Exercice de probabilités évité · Séries et équivalents mal maîtrisés

Le jury reprend presque mot pour mot ses critiques de l'année précédente : copies mal présentées, affirmations non démontrées et hypothèses de théorèmes non vérifiées. Il constate une lecture approximative de l'énoncé, des bases fragiles en algèbre linéaire et en analyse, et une grande maladresse dans les calculs. Près de 30 % des candidats n'abordent pas l'exercice de probabilités.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Affirmations sans preuve
Les formules comme « il est clair que » ou « par une récurrence immédiate » ne remplacent pas une démonstration. Les hypothèses d'un théorème doivent être vérifiées, pas seulement annoncées.
« rappelons que toute proposition énoncée dans une copie se doit d’être démontrée »
2
Exercice de probabilités évitéExercice 1, Q1
Un exercice de probabilités est posé chaque année, mais beaucoup de candidats l'écartent. En Q1, la condition sur la somme des probabilités est souvent oubliée pour trouver α.
« près de 30% des candidats n’abordent pas cet exercice »
3
Séries et équivalents mal maîtrisésExercice 2, Q3.2, Q4.1, Q4.2
La factorisation de X^(n+1) − 1 par X − 1 est peu connue, des sommes télescopiques sont inventées, et la convergence simple vers 0 est prise pour la convergence de la série. Le premier terme d'une somme géométrique est souvent oublié.
« Certains candidats croient reconnaître une somme télescopique et forcent l’énoncé à rentrer dans leur cadre »
4
Récurrence mal conduiteExercice 3, Q2.1
L'hypothèse de récurrence contient déjà le résultat, la propriété est vérifiée sur quelques valeurs seulement, ou l'initialisation se fait au mauvais rang.
« Le raisonnement par récurrence pose toujours problème à certains candidats. »
5
Justifications fausses en algèbre euclidienneExercice 3, Q3.2.3, Q3.3
La positivité de X^T B X n'est pas justifiée par la seule symétrie de B. Des inclusions d'ensembles sont prouvées par une chaîne d'équivalences sans contrôle.
6
Intégrales à paramètre confusesExercice 4, Q5, Q6
La variable de régularité n'est pas précisée, continuité et dérivation sous l'intégrale sont confondues et des inégalités entre complexes apparaissent. La continuité est oubliée dans l'étude de convergence des intégrales.
« On constate une grande confusion entre continuité et dérivation sous l’intégrale. »

Ce qui a été bien réussi

La question 3 de l'exercice 4, sur les séries alternées, est relativement bien traitée, à l'exception de la sous-question 3.4.

Conseils du jury

Lire tout le sujet attentivement pour comprendre la démarche de chaque exercice et respecter les consignes comme « sans démonstration » ou « par récurrence ».
Présenter une copie propre, lisible et numérotée dans un ordre cohérent.
Détailler les calculs et citer les théorèmes utilisés à chaque étape.
Admettre clairement un résultat plutôt que donner des arguments faux.
Préciser la variable quand on cherche un équivalent ou qu'on étudie la régularité.
Étudier la correction détaillée proposée dans le rapport.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soit

n

un entier naturel non nul.
On donne, dans un espace probabilisé (

Ω, 𝒜, ℙ

) deux variables aléatoires

X

Y

prenant leurs valeurs dans

[ [1, n + 1] ]

.
On suppose qu'il existe

α \in ℝ

tel que :

\forall(i, j) \in [ [1, n + 1] ]^2, p_(ij) = ℙ([X = i] \cap [Y = j]) = α(n/(i - 1))(n/(j - 1)).

Déterminer la valeur du réel $α$ .
Déterminer les lois des variables aléatoires $X$ et $Y$ .
Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Reconnaître la loi de la variable aléatoire $Z = X - 1$ . En déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$ .
On note $B \in ℳ_(n + 1)(ℝ)$ la matrice dont le coefficient de la $è i^(ième)$ ligne et de la $è j^(ième)$ colonne est :

b_(ij) = ℙ_([X = j])([Y = i])

Calculer les

b_(ij)

.
6. Déterminer

rg(B)

et les sous-espaces vectoriels

Im(B)

Ker(B)

.
7. Déterminer une matrice colonne

C \in ℳ_(n + 1, 1)(ℝ)

et une matrice ligne

L \in ℳ_(1, n + 1)(ℝ)

telles que

B = CL

.
8. Démontrer que

B^2 = tr(B)B

.
9. Déterminer les valeurs propres de

B

. La matrice

B

est-elle diagonalisable ?

EXERCICE 2

Questions de cours

Soit $n$ un entier naturel. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne dans $ℝ[X]$ du polynôme $X^(n + 1) - 1parX - 1$ .
Donner, sans justification, la somme de la série entière $\sum_(n ⩾ 0)x^n$ ainsi que son ensemble de définition.

3. Étude d'une suite

3.1. Montrer que l'intégrale

\int_0^1(1 - t)/(1 - t^(n + 1)) dt

converge pour tout entier naturel

n \in ℕ^*

.
3.2. On pose, pour

n ⩾ 1, u_n = \int_0^1 1/(1 + t + \dots + t^n) dt

Démontrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers un réel

ℓ

que l'on déterminera.
On vérifiera soigneusement les hypothèses du théorème utilisé.

4. Étude de la série de terme général $u_n - ℓ$

4.1. Soit

n \in ℕ^*

Pour tout entier naturel non nul

p

, et tout réel

t \in [0, 1]

, on pose

g_p(t) = (1 - t)t^(p(n + 1))

. Démontrer que la série de fonctions

\sum_(p ⩾ 1)g_p

converge simplement sur

[0, 1]

et déterminer sa somme.
4.2. Calculer l'intégrale

\int_0^1 g_p(t)dt

et en donner un équivalent lorsque

p

tend vers

+ \infty

.
4.3. En utilisant la série de fonctions définie au 4.1, démontrer que :

\foralln \in ℕ^*, u_n - ℓ = \sum_(p = 1)^(+ \infty)1/(((n + 1)p + 2)((n + 1)p + 1))

4.4. Pour tout

p

entier naturel non nul , on pose

h_p(t) = (t^2)/(((t + 1)p + 2)((t + 1)p + 1))

Démontrer que la série de fonctions

\sum_(p ⩾ 1)h_p

converge normalement sur

ℝ_+

.
4.5. En déduire que, pour

n

au voisinage de

+ \infty

, on a :

u_n = ℓ + (π^2)/(6n^2) + o(1/(n^2))

On admettra que :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^2) = (π^2)/6

EXERCICE 3

Soit

p

un entier naturel supérieur ou égal à 3 .
Pour toute matrice

M \in ℳ_p(ℝ)

, on note

M^⊤

sa transposée et on rappelle que :

\forall(M, N) \in ℳ_p(ℝ)^2, (MN)^⊤ = N^⊤M^⊤.

L'espace

E = ℝ^p

est muni de son produit scalaire canonique :

\forall(X, Y) \in E^2, (X|Y) = X^⊤Y

et pour tout vecteur

X

E

, sa norme est notée

‖X‖ = \sqrt(X^⊤X)

Soit

n

un entier relatif supérieur ou égal à -1 .
On dit qu'une matrice

A \in ℳ_p(ℝ)

est de type

n

lorsque

A^⊤ = A^n

1. Quelques exemples

1.1. Déterminer l'ensemble des matrices de

ℳ_p(ℝ)

de type 0 .
1.2. Déterminer l'ensemble des matrices de

ℳ_p(ℝ)

de type 1 .
1.3. Déterminer l'ensemble des matrices de

ℳ_p(ℝ)

de type -1 .

En donner un exemple différent de la matrice identité lorsque

p = 4

On suppose désormais que $n$ est supérieur ou égal à 2 .

Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $p = 3$ et pour tout réel $θ$ , on note :

A(θ) = (1, 0, 0; 0, cos(θ), - sin(θ); 0, sin(θ), cos(θ))

2.1. Démontrer que l'on a :

\forallm \in ℕ, (A(θ))^m = A(mθ)

.
2.2. Déterminer alors l'ensemble des réels

θ

tels que

A(θ)

soit une matrice de type

n

On revient au cas général avec $p ⩾ 3$ .

Soit $A$ une matrice de $ℳ_p(ℝ)$ de type $n$ .
3.1. Établir l'égalité : $A^(n^2) = A$ .
3.2. On note $B = A^(n + 1)$ .
3.2.1. Montrer que $B^n = B$ .
3.2.2. Démontrer que $B$ est une matrice symétrique.
3.2.3. Prouver que les valeurs propres de $B$ sont positives ou nulles. On pourra examiner $X^⊤BX$ où $X$ est un vecteur bien choisi de $E$ .
3.2.4. Déterminer les valeurs propres de la matrice $B$ , lorsque $B$ n'est ni la matrice nulle ni la matrice identité.
3.2.5. Prouver que $B$ est une matrice de projection orthogonale. On précisera ses éléments caractéristiques.
3.3. $Prouver$ que $Ker(B) = Ker(A)$ .
3.4. Démontrer que $Im(A) = Im(B)$ .
3.5. Prouver que $Im(A)$ et $Ker(A)$ sont supplémentaires orthogonaux.
3.6. Démontrer que l'on a : $\forallX \in Im(A), ‖AX‖ = ‖X‖$ .
3.7. Prouver que si $A$ est de plus inversible, alors $A$ est aussi de type -1 .
Prouver enfin que si $A$ est à la fois de type $n$ et de type $n + 1$ , alors $A$ est une matrice de projecteur orthogonal.

EXERCICE 4

Dans tout cet exercice, i désigne le nombre complexe usuel vérifiant

i^2 = - 1

Questions de cours

Pour tout réel $θ$ , donner le module et un argument du nombre complexe $e^(iθ)$ .
Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $t$ , démontrer que $sin(nπ + t) = (- 1)^n sin(t)$ .
Soit $(a_n)_(n \in ℕ)$ une suite de réels, décroissante et de limite nulle.
3.1. Justifier que la série $\sum_(n ⩾ 0)(- 1)^n a_n$ converge.
3.2. Pour tout entier naturel $p$ , justifier que la série $\sum_(n ⩾ p)(- 1)^n a_n$ converge.

Sa somme sera notée

T_p

.
3.3. Justifier que la suite

(T_p)_(p \in ℕ)

converge et donner sa limite.
3.4. Rappeler le signe de

T_p

suivant les valeurs de

p

.
4. Soit

f

une fonction continue sur

ℝ

à valeurs dans

ℝ

. Justifier que la fonction

x \mapsto \int_0^(\sqrtx)f(t)dt

est de classe

C^1

sur

ℝ_+^*

et que sa dérivée est la fonction

x \mapsto (f(\sqrtx))/(2\sqrtx)

.
On admet que le résultat reste valable pour une fonction

f

continue sur

ℝ

à valeurs dans

ℂ

.
5. Soit

F

la fonction définie sur

ℝ

et à valeurs dans

ℂparF(x) = \int_0^1(e^(ix(1 + t^2)))/(1 + t^2) dt

On rappelle que si

φ

est une fonction dérivable sur

ℝ

à valeurs réelles, alors la dérivée de la fonction complexe

x \mapsto e^(iφ(x))

est la fonction

x \mapsto iφ^'(x)e^(iφ(x))

.
5.1. Démontrer que

F

est de classe

C^1

sur

ℝ

On vérifiera les hypothèses du théorème utilisé.
5.2. Démontrer que pour tout réel

x

strictement positif :

F^'(x) = (ie^(ix))/(\sqrtx)\int_0^(\sqrtx)e^(iu^2) du.

6. Convergence d'intégrales

6.1. Montrer que les intégrales

\int_0^π(sin(u))/(\sqrtu) du

\int_0^π(cos(u))/(\sqrtu) du

convergent.
6.2. En effectuant une intégration par parties, montrer que

\int_π^(+ \infty)(e^(iu))/(\sqrtu) du

converge.
6.3. En déduire que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(e^(iu))/(\sqrtu) du

converge.
6.4. Prouver enfin que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)e^(iv^2) dv

converge.

On pourra effectuer un changement de variable.
7. Pour tout entier naturel

n

, on pose

w_n = \int_(nπ)^((n + 1)π)(sin(u))/(\sqrtu) du

.
7.1. Montrer que, pour tout entier naturel

n, w_n

existe.
7.2. On pose, pour tout entier naturel

n : α_n = (- 1)^n w_n

Prouver que

α_n

est un réel strictement positif.
On pourra effectuer sur

w_n

le changement de variable affine

t = u - nπ

.
7.3. Prouver que la suite

(α_n)_(n \in ℕ)

est décroissante.
7.4. Prouver que la série

\sum_(n ⩾ 0)w_n

converge et préciser le signe de sa somme.

On pourra utiliser les questions de cours.
7.5. Démontrer que :

\sum_(n = 0)^(+ \infty)w_n = \int_0^(+ \infty)(sin(u))/(\sqrtu) du

.
8. Montrer que pour tout

x

réel positif :

F(x) = π/4 + i(\int_0^(\sqrtx)e^(iu^2) du)^2

On admet que $lim_(x \to + \infty)F(x) = 0$ .

En déduire que

\int_0^(+ \infty)cos(x^2)dx = \int_0^(+ \infty)sin(x^2)dx = (\sqrtπ)/(2\sqrt2)

.
On pourra utiliser la question 6.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet e3a maths PSI 2023 ?

Sur les probabilités discrètes et la réduction des matrices (exercice 1), les intégrales et séries de fonctions (exercice 2), les espaces euclidiens (exercice 3) et les intégrales à paramètre et intégrales généralisées (exercice 4).

Quelles erreurs le jury de l'e3a maths PSI 2023 a-t-il relevées ?

Des affirmations non démontrées, des hypothèses non vérifiées, des équivalents fantaisistes, des récurrences mal posées, une confusion entre continuité et dérivation sous l'intégrale et un théorème du rang mal écrit.

Faut-il traiter l'exercice de probabilités à l'e3a maths PSI 2023 ?

Le jury rappelle qu'un exercice de probabilités est posé chaque année. Près de 30 % des candidats ne l'ont pas abordé en 2023.

Les exercices de l'e3a maths PSI 2023 sont-ils indépendants ?

Oui, le sujet est formé de quatre exercices distincts, ce qui permet de choisir son ordre de traitement.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

RAPPEL DES CONSIGNES

Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE 1

EXERCICE 2

Questions de cours

3. Étude d'une suite

4. Étude de la série de terme général u_n − ℓ

EXERCICE 3

1. Quelques exemples

On suppose désormais que n est supérieur ou égal à 2 .

On revient au cas général avec p ⩾ 3.

EXERCICE 4

Questions de cours

6. Convergence d'intégrales

FIN

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet e3a maths PSI 2023 ?

Quelles erreurs le jury de l'e3a maths PSI 2023 a-t-il relevées ?

Faut-il traiter l'exercice de probabilités à l'e3a maths PSI 2023 ?

Les exercices de l'e3a maths PSI 2023 sont-ils indépendants ?

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4. Étude de la série de terme général $u_n - ℓ$

On suppose désormais que $n$ est supérieur ou égal à 2 .

On revient au cas général avec $p ⩾ 3$ .