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E3A Mathématiques PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Quatre exercices : loi de probabilité à télescopage, endomorphisme intégral de polynômes, série entière d'une intégrale à paramètre, matrices orthotransposables
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L'épreuve de quatre heures, sans calculatrice, comporte quatre exercices indépendants. Ils couvrent les probabilités discrètes avec des séries télescopiques, la réduction d'un endomorphisme de polynômes, une équation différentielle résolue par série entière et intégrale à paramètre, puis des matrices orthogonales et orthotransposables.

  1. 1Exercice 1 : une loi de probabilité sur les entiersDécomposition en éléments simples, calcul de la constante de normalisation, puis de l'espérance et de la variance par télescopage.
  2. 2Exercice 2 : un endomorphisme de polynômesApplication qui associe à P la moyenne de son intégrale, bijectivité, matrice, spectre, diagonalisabilité et sous-espaces propres.
  3. 3Exercice 3 : équation différentielle et intégrale à paramètreSolution développable en série entière, régularité d'une intégrale à paramètre, puis développement en série entière grâce aux intégrales de Wallis.
  4. 4Exercice 4 : matrices orthotransposablesStabilité du groupe orthogonal, polynômes caractéristiques de AB et BA, théorème spectral et étude des matrices semblables à leur transposée par une matrice orthogonale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Manipulation de séries divergentes · Existence de l'espérance et de la variance · Valeurs propres de l'inverse
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Le jury rappelle que les quatre exercices parcouraient les parties les plus classiques du programme de PSI. Il déplore des copies mal présentées, une maîtrise insuffisante de l'algèbre linéaire et des grands théorèmes d'analyse, des calculs vite abandonnés et des arguments inventés pour atteindre le résultat annoncé.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Manipulation de séries divergentesExercice 1, question 2

    Séparer une somme infinie en deux séries divergentes est l'erreur la plus fréquente. Il faut travailler sur les sommes partielles.

    « il vaut toujours mieux manipuler des sommes partielles »
  2. 2
    Existence de l'espérance et de la varianceExercice 1, questions 3.1 à 3.3

    L'absolue convergence est rarement invoquée pour justifier l'existence de l'espérance, et l'existence de la variance est trop peu justifiée.

  3. 3
    Valeurs propres de l'inverseExercice 2, question 7

    Après avoir trouvé les valeurs propres de A, peu de candidats en déduisent celles de son inverse, et beaucoup ne voient pas l'incohérence de leurs résultats.

  4. 4
    Parité et périodicité confonduesExercice 3, questions 1 et 3.1

    À la question sur la parité de F, beaucoup répondent par une périodicité. Le jury rappelle aussi qu'une primitive de fonction périodique n'est pas forcément périodique.

    « la primitive d'une fonction périodique n'est pas a priori une fonction périodique »
  5. 5
    Séries entières de référence mal connuesExercice 3, questions 4.1 et 4.2

    Certains ne savent pas écrire le développement de l'exponentielle ni son domaine, et les interversions sont appliquées sans justification.

  6. 6
    Matrices orthogonales et déterminantExercice 4, question 1

    La stabilité par transposition est rarement justifiée et beaucoup croient qu'un déterminant égal à 1 ou -1 caractérise une matrice orthogonale.

Ce qui a été bien réussi

  • La matrice A de l'exercice 2 est en général obtenue (question 6).
  • Le calcul de UV et VU dans l'exercice 4 est globalement réussi (question 2.1).
  • Les questions 3, 5 et 6 de l'exercice 4 sont traitées correctement.

Conseils du jury

  • Démontrer toute affirmation au lieu d'écrire « il est trivial que ».
  • Vérifier explicitement les hypothèses des théorèmes utilisés.
  • Admettre clairement le résultat d'une question plutôt que de donner des arguments faux.
  • Présenter une copie ordonnée et lisible, avec une orthographe soignée.
  • Étudier la correction détaillée proposée dans le rapport.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

  1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout entier naturel n non nul, on a :
3/(n(n + 3)) = a/n + b/((n + 3))
  1. Déterminer le nombre réel α tel qu'il existe une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ^∗ vérifiant :
∀n ∈ ℕ^∗, ℙ(X = n) = 3/(n(n + 1)(n + 2)(n + 3))α

3. Espérance et variance de X

3.1. Après avoir justifié son existence, déterminer l'espérance 𝔼(X) de la variable aléatoire X. On pourra utiliser l'égalité : 2 = (n + 3) − (n + 1) afin d'introduire un télescopage.
3.2. Déterminer 𝔼(X(X + 1)).
3.3. En déduire la variance 𝕍(X) de la variable aléatoire X.

EXERCICE 2

Soient n un entier naturel non nul et E_n = ℝ_n[X].
  1. Soient q un réel et r un entier non nul. Donner, sans démonstration, une autre expression de ∑_(k = 0)^r q^k.
  2. Soit p un entier non nul.
Déterminer, dans ℝ[X], le reste et le quotient de la division euclidienne de X^p − 1 par X − 1.
3. Soit P ∈ E_n.
Montrer qu'il existe un unique polynôme Q de E_n tel que :
∀x ≠ 1, Q(x) = 1/(x − 1)∫_1^x P(t)dt
On définit ainsi une application f : P ↦ Q.
4. Prouver que f est un endomorphisme de E_n.
5. Montrer que f est un automorphisme de E_n et déterminer, pour tout Q de E_n, le polynôme f^(− 1)(Q) à l'aide de Q et de ses dérivées.
6. Soit A la matrice de f dans la base canonique ℬ de E_n. Déterminer A et A^(− 1).
7. Déterminer les spectres des matrices A et A^(− 1).
8. Les matrices A et A^(− 1) sont-elles diagonalisables?
9. Soit α ∈ ℂ une racine d'ordre de multiplicité k ∈ ℕ^∗ d'un polynôme Q de E_n. À quelles conditions α est-il racine de f^(− 1)(Q) et avec quel ordre de multiplicité ? On pourra étudier les cas α = 1 et α ≠ 1.
10. Déterminer les sous-espaces propres de f^(− 1).
11. Montrer que les sous-espaces propres de f^(− 1) sont aussi les sous-espaces propres de f.

EXERCICE 3

1. Question de cours

Soit f une fonction continue sur ℝ, à valeurs réelles et T-périodique.
Montrer que: ∀x ∈ ℝ, ∫_x^(x + T)f(u)du = ∫_0^T f(u)du.
On se propose de déterminer des fonctions y de classe C^2 sur ℝ et vérifiant, pour tout réel x, la relation :
xy^(′′)(x) + y^′(x) − 4xy(x) = 0. (∗∗)
  1. On suppose qu'il existe une fonction g, développable en série entière, de rayon de convergence non nul, vérifiant (∗∗), sous la forme g(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n et telle que g(0) = a_0 = 1.
    2.1. Prouver que a_1 = 0 et déterminer pour tout n ⩾ 1 une relation entre a_(n + 1) et a_(n − 1).
    2.2. Déterminer alors a_n pour tout entier naturel n.
    2.3. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g ainsi obtenue.
Soit F la fonction définie sur ℝ par:
F : x ↦ F(x) = 1/(2π)∫_0^(2π)exp(2xcos(t))dt

3. Quelques propriétés de la fonction F

3.1. Étudier la parité de la fonction F.
On pourra utiliser le changement de variable u = π − t et la question de cours.
3.2. Pour tout couple ( x, t ) de ℝ × [0, 2π], on pose h(x, t) = exp(2xcos(t)).
3.2.1. Justifier que h est C^1 sur ℝ × [0, 2π].
3.2.2. Prouver que pour k non nul, la fonction (∂^k h)/(∂x^k) existe et est continue sur ℝ × [0, 2π].
3.2.3. Soit I un segment de ℝ. Montrer que pour tout entier k non nul, il existe un réel positif M_k tel que :
∀(x, t) ∈ I × [0, 2π], 0 ⩽ |(∂^k h)/(∂x^k)(x, t)| ⩽ M_k
3.2.4. En déduire que F est de classe C^∞ sur ℝ.
3.2.5. Donner pour tout x réel et tout k ∈ ℕ^∗ une expression de F^((k))(x) sous la forme d'une intégrale.
3.3. Démontrer que F vérifie la relation (**).

4. Développement en série entière de F

4.1. Donner le développement en série entière au voisinage de zéro de la fonction exponentielle et son domaine de validité.
4.2. En utilisant la question précédente, montrer qu'il existe une suite (I_n)_(n ∈ ℕ) de réels tels que :
∀x ∈ ℝ, F(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)I_n x^n
où I_n s'exprime simplement à l'aide de l'intégrale J_n = ∫_0^(2π)cos^n(t)dt.
On citera les théorèmes utilisés en s'assurant que toutes leurs hypothèses sont bien vérifiées.
4.3. Calculer J_0 et J_1.
4.4. Soit n ⩾ 2. Déterminer une relation de récurrence entre J_n et J_(n − 2).
4.5. En déduire, pour tout entier naturel n, une expression de J_n en fonction de n.
4.6. Comparer alors les fonctions F et g.

EXERCICE 4

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
ℳ_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n, à coefficients réels.
O_n et I_n sont respectivement la matrice nulle et la matrice unité de ℳ_n(ℝ).
On note enfin O_n(ℝ) l'ensemble des matrices orthogonales de ℳ_n(ℝ).

1. Question de cours

Démontrer que O_n(ℝ) est stable pour la transposition et pour la multiplication matricielle.

Partie 1

  1. Soient A et B deux éléments de ℳ_n(ℝ) et λ un réel.
On considère les matrices par blocs de taille 2n :
U = (λI_n, − B; − A, I_n) et V = (I_n, B; 0_n, λI_n)
2.1. Calculer UV et VU.
2.2. Démontrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
3. Justifier que pour toute matrice M ∈ ℳ_n(ℝ), la matrice M^T M est diagonalisable dans une base orthonormale de ℝ^n muni de son produit scalaire canonique.
4. En déduire qu'il existe une matrice orthogonale R ∈ O_n(ℝ) telle que : M^T M = R^T MM^T R.

Partie 2

On note Δ_n l'ensemble des matrices M de ℳ_n(ℝ) pour lesquelles il existe une matrice Q dans O_n(ℝ) vérifiant : Q^T MQ = M^T. Une telle matrice M sera dite orthotransposable.
On rappelle que si S_n est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de ℳ_n(ℝ) et si A_n est le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de ℳ_n(ℝ), on a :
ℳ_n(ℝ) = S_n ⊕ A_n
  1. Montrer que S_n est inclus dans Δ_n.
  2. Démontrer que : ∀A ∈ A_n et ∀Q ∈ O_n(ℝ), Q^(− 1)AQ ∈ A_n.
  3. Soit M ∈ ℳ_n(ℝ).
Prouver qu'il existe une matrice T ∈ O_n(ℝ), une matrice D diagonale et une matrice A ∈ A_n telles que :
M = T(D + A)T^(− 1)
  1. Cas n = 2 : on démontre que toute matrice de ℳ_2(ℝ) est orthotransposable
    8.1. Déterminer toutes les matrices à la fois orthogonales et diagonales de ℳ_2(ℝ).
    8.2. On considère le sous-espace vectoriel de ℳ_2(ℝ) : L = {(a, b; − b, c), (a, b, c) ∈ ℝ^3}.
Déterminer alors une matrice W orthogonale et diagonale telle que :
∀L ∈ L, L^T = W^T LW
8.3. En utilisant la question 7 , démontrer que toute matrice de ℳ_2(ℝ) est orthotransposable.
9. On revient au cas général et on suppose à présent que n est impair
Pour toutes matrices A et B de ℳ_n(ℝ), on note [A, B] = AB − BA.
9.1. Montrer que si M ∈ Δ_n, alors [ M^T, M ] est semblable à son opposée.
9.2. En déduire que si M ∈ Δ_n, alors det([M^T, M]) = 0.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a PSI 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a PSI 2022 ?

Séries et probabilités discrètes, polynômes et réduction des endomorphismes, séries entières et intégrales à paramètre, matrices orthogonales et théorème spectral.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths e3a PSI 2022 ?

La manipulation de séries divergentes, l'existence de l'espérance non justifiée, la confusion entre parité et périodicité, des hypothèses de théorèmes non vérifiées et une caractérisation fausse des matrices orthogonales par le déterminant.

Le sujet de maths e3a PSI 2022 est-il classique ?

Oui selon le jury : les quatre exercices parcouraient les parties les plus classiques du programme de deuxième année de PSI.

Quels conseils de rédaction pour l'épreuve de maths e3a PSI ?

Justifier chaque résultat par le cours, vérifier les hypothèses des théorèmes, admettre proprement une question non résolue et soigner la présentation.

Pas de description pour le moment