WikiPrépaLivrets

E3A Mathématiques PSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours E3A

Explorer les annales

BanqueE3AAnnée2021FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales E3A PSI MathématiquesE3A PSI 2021PSI MathématiquesMathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

On note F l'espace vectoriel des fonctions définies sur J = ] − 1, + ∞[ à valeurs réelles. Soit p ∈ ℕ. Pour tout k ∈ [ [ − 1, p] ], on définit les fonctions f_k sur J par:
∀x ∈ J, f_(− 1)(x) = ln(1 + x) et ∀k ∈ [ [0, p] ], f_k(x) = 1/((1 + x)^k).

1. Étude du sous-espace vectoriel engendré par ces fonctions

1.1. Soient (a_k)_(k ∈ [ [ − 1, p] ]) des réels tels que ∑_(k = − 1)^p a_k f_k est la fonction nulle.
Démontrer que a_(− 1) = 0.
1.2. Démontrer alors que la famille ℬ = (f_k)_(k ∈ [ [ − 1, p] ]) est libre.
On note E = Vect(ℬ).
1.3. En déduire la dimension de E.
2. On note u l'application qui à toute fonction f de E associe la fonction g définie sur J par :
∀x ∈ J, g(x) = (1 + x)f^′(x)
2.1. Déterminer, pour tout k ∈ [ [ − 1, p] ], les images de f_k par u.
2.2. Vérifier que u est un endomorphisme de E.
2.3. Déterminer le noyau et l'image de u.
2.4. Préciser u^(− 1)({f_(− 1)}), l'ensemble des antécédents de f_(− 1).
2.5. Déterminer la matrice M de u dans la base ℬ.
2.6. L'endomorphisme u est-il diagonalisable?
2.7. L'endomorphisme u^2 est-il diagonalisable?
3. Résoudre sur J l'équation différentielle ( ED ) f_(− 1)(t) = (1 + t)y^′(t).
4. Soit h_2 la solution de l'équation différentielle ( ED ) nulle en zéro.
4.1. On note h_3 la solution de l'équation différentielle h_2(t) = (1 + t)y^′(t) nulle en zéro. Expliciter h_3.
4.2. En itérant le procédé, on note pour tout entier naturel k ⩾ 2, h_k la solution nulle en zéro de l'équation différentielle h_(k − 1)(t) = (1 + t)y^′(t).
Expliciter h_k.
5. Étude de la série de fonction ∑_(k ⩾ 2)h_k
5.1. Montrer que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 2)h_k converge simplement sur J et calculer sa somme H.
5.2. La fonction H est-elle dans E ?
5.3. En utilisant la question 5.1, vérifier que H est dérivable et que H^′ ∈ E.

Exercice 2

On note S l'ensemble des suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant la relation :
∀n ∈ ℕ, u_(n + 2) = u_(n + 1) + u_n.
  1. On note γ la racine positive du trinôme x^2 − x − 1.
Justifier que γ > 1 et que la deuxième racine est − 1/γ.
2. On considère la suite réelle (y_n)_(n ∈ ℕ) de S vérifiant : y_0 = 0, y_1 = 1.
Parmi les réponses proposées, une seule est l'expression correcte de y_n valable pour tout entier naturel n. Laquelle?
(1) y_n = (γ^n)/(√5) + ((− 1)^(n + 1))/(γ^(n + 1)√5);
(2) y_n = ((− 1)^(n + 1)γ^n)/(√5) + 1/(γ^n√5);
(3) y_n = (γ^n)/(√5) + ((− 1)^(n + 1))/(γ^n√5).
3. Soit (X_n)_(n ∈ ℕ) une suite de variables aléatoires définie par:
  • X_0 et X_1 sont indépendantes et suivent toutes les deux une loi de Poisson de paramètres respectifs λ > 0 et μ > 0;
  • pour tout entier naturel n : X_(n + 2) = X_(n + 1) + X_n.
    3.1. Montrer que la variable aléatoire X_2 suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
    3.2. Démontrer que les deux variables aléatoires X_1 et X_2 ne sont pas indépendantes.
    3.3. Montrer que : ∀n ∈ ℕ^∗, X_n = y_(n − 1)X_0 + y_n X_1.
    3.4. Étude de l'espérance de la variable aléatoire X_p pour p ∈ ℕ
    3.4.1. Soit p ∈ ℕ. Justifier que la variable aléatoire X_p possède une espérance que l'on notera x_p et la calculer en fonction de λ, μ et de termes de la suite (y_n)_(n ∈ ℕ).
    3.4.2. Déterminer un équivalent de x_p lorsque p tend vers l'infini.
    3.5. Soit p ∈ ℕ. Justifier que la variable aléatoire X_p possède une variance que l'on notera 𝕍(X_p) et la calculer en fonction de λ, μ et de termes de la suite (y_n)_(n ∈ ℕ).
    3.6. Soient p et q deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 .
Calculer, en fonction de λ, μ et de termes de la suite (y_n)_(n ∈ ℕ), la covariance Cov(X_p, X_q) des deux variables aléatoires X_p et X_q. Que peut-on en conclure?

Exercice 3

Pour tout entier naturel n non nul, on pose : I_n = ∫_1^(+ ∞)exp(− t^n)dt.
  1. Justifier, pour tout n ∈ ℕ^∗, l'existence de I_n.
  2. En citant précisément le théorème utilisé, justifier l'existence et déterminer la limite de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗).
  3. En le justifiant, effectuer le changement de variable u = t^n dans I_n.
  4. Déterminer alors lim_(n → + ∞)nI_n.
On donnera le résultat en fonction d'une intégrale J que l'on ne cherchera pas à calculer.
5. En déduire un équivalent de I_n au voisinage de + ∞ en fonction de J.
6. On considère la série entière ∑_(n ⩾ 1)I_n x^n.
6.1. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière.
6.2. On pose pour tout x réel et lorsque cela est possible f(x) = ∑_(n ⩾ 1)I_n x^n.
Donner l'ensemble de définition de f.

Exercice 4

Soient E un ℂ-espace vectoriel de dimension finie n ⩾ 1, u un endomorphisme de E, m ∈ ℕ^∗ et λ_1, …, λ_m m nombres complexes distincts deux à deux.
  1. On suppose que u est diagonalisable et que son spectre est {λ_1, …, λ_m}.
On rappelle que dans ce cas, E = ⨁_(j = 1)^m E_j où chaque E_j est le sous-espace propre associé à la valeur propre λ_j.
Montrer qu'il existe des projecteurs de E, (p_j)_(j ∈ [ [1, m] ]) non nuls, tels que :
∀k ∈ ℕ, u^k = ∑_(j = 1)^m λ_j^k p_j(∗)
  1. Dans cette question, on ne suppose plus u diagonalisable.
On suppose cependant qu'il existe une suite d'endomorphismes (p_j)_(j ∈ [ [1, m] ]) de E, non nuls et que la suite de scalaires (λ_j)_(j ∈ [ [1, m] ]) vérifie (*).
2.1. Vérifier que l'on a : ∀P ∈ ℂ[X], P(u) = ∑_(j = 1)^m P(λ_j)p_j.
2.2. Montrer que u est diagonalisable.
On pourra chercher un polynôme annulateur de u scindé à racines simples.
2.3. Pour tout j ∈ [ [1, m] ], on considère le polynôme L_j(X) = ∏_(k = 1, k ≠ j)^m(X − λ_k)/(λ_j − λ_k).
2.3.1. Déterminer, pour tout couple (i, j) ∈ [ [1, m] ]^2, L_j(λ_i).
2.3.2. Prouver que la famille ℬ = (L_j)_(j ∈ [ [1, m] ]) est une base de ℂ_(m − 1)[X].
2.3.3. Soit P ∈ ℂ_(m − 1)[X]. Déterminer les composantes de P dans la base ℬ.
2.4. Prouver que l'on a : ∀j ∈ [ [1, m] ], p_j = L_j(u).
2.5. Démontrer enfin que les λ_j sont les valeurs propres de l'endomorphisme u.

Pas de description pour le moment