X ENS Mathématiques PSI 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Fonctions de matrices définies par des séries entières, via le polynôme minimal et l'interpolation d'Hermite

L'épreuve de mathématiques X-ENS PSI 2024 (4 heures, sans calculatrice) définit l'image d'une matrice par une fonction développable en série entière. Plutôt que des séries matricielles, le sujet utilise les polynômes de matrices, le polynôme minimal et l'interpolation d'Hermite aux valeurs propres. Il se termine par des calculs explicites sur des matrices nilpotentes, de rang 1, de Fourier discrète et par des séries génératrices de lois binomiale et géométrique.

1Partie I : préliminairesRayon de convergence d'une série entière et ensemble des matrices dont le rayon spectral est inférieur à ce rayon.
2Partie II : fonctions de matricesConstruction du polynôme minimal, de ses racines, puis définition d'une fonction de matrice par un polynôme d'interpolation d'Hermite et premières propriétés.
3Partie III : cas de matrices diagonalisablesCalcul de l'image d'une matrice diagonalisable par une fonction grâce à la diagonalisation et à l'invariance par similitude.
4Partie IV : application à des cas particuliersMatrice nilpotente, matrice de rang 1, matrice de la transformation de Fourier discrète et séries génératrices de variables aléatoires appliquées à une matrice.

Difficulté moyenne. Le jury juge l'énoncé peu calculatoire, aux difficultés progressives, avec deux premières parties très largement abordées et des dernières questions réservées aux très bonnes copies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,14 / 20 · écart-type 3,5 · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,14/ 20
Écart-type: 3,5

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Rédaction imprécise des équivalences · Mauvais outils sur les rayons de convergence · Réciproques oubliées sur le polynôme minimal

Le jury estime que le sujet a permis à presque tous les candidats de s'exprimer selon leur niveau, sans être trop calculatoire. Les copies se sont distinguées sur la compréhension des fonctions de matrices, la rigueur des raisonnements et la maîtrise de la réduction et des séries entières. Le point le plus discriminant a été de comprendre comment on évalue une fonction en une matrice par interpolation d'Hermite aux racines du polynôme minimal.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rédaction imprécise des équivalencesQ1, Q2
La condition nécessaire est souvent trouvée mais la réciproque est mal rédigée, et la construction d'une matrice compatible reste floue.
2
Mauvais outils sur les rayons de convergenceQ5, Q6
Certains invoquent la règle de d'Alembert au lieu du résultat de cours, d'autres affirment à tort que le rayon d'une somme est le minimum des rayons.
« certains candidats utilisent malencontreusement la règle de d'Alembert »
3
Réciproques oubliées sur le polynôme minimalQ11, Q12
On montre que les valeurs propres sont racines du polynôme minimal, mais presque jamais l'inverse. Pour une matrice réelle, l'unicité du polynôme minimal par conjugaison était l'argument naturel.
« la réciproque n'a presque jamais été traitée »
4
Multiplicités des racines mal comptéesQ13
La question sur l'interpolation d'Hermite est souvent abordée mais rarement résolue, faute de rigueur sur les ordres de multiplicité et sur la réduction à une preuve d'injectivité.
« Le jury a observé de nombreuses lacunes dans le décompte des racines avec leurs ordres de multiplicité »
5
Arguments insuffisants sur des questions faciles en apparenceQ15
Pour la matrice scalaire, presque tous pensent avoir répondu mais très peu donnent le bon argument, qui passait par la question 14.
« Tous les candidats ou presque a cru répondre à la question mais très peu ont donné le bon argument »
6
Fonction de matrice mal compriseQ20, Q21, Q22
Beaucoup ne savent pas évaluer une fonction en une matrice donnée, ce qui bloque les questions de la partie III sur les matrices diagonalisables et semblables.
« de nombreux candidats n'ont pas compris comment évaluer une fonction »

Ce qui a été bien réussi

L'implication vers R infini en question 3 est bien traitée dans la majorité des copies.
La nilpotence d'une matrice complexe dont 0 est l'unique valeur propre est connue d'une large majorité (question 4).
Les questions 9 et 10 sur le polynôme minimal sont plutôt bien traitées, et la question calculatoire 16 est souvent réussie.

Conseils du jury

Rédiger séparément chaque sens d'une équivalence et ne pas négliger les réciproques.
Appliquer directement les résultats de cours sur les séries entières plutôt que des critères inadaptés.
S'assurer d'avoir compris une définition nouvelle introduite par l'énoncé avant d'enchaîner les questions qui l'utilisent.
Penser au polynôme caractéristique et au polynôme minimal pour les matrices triangulaires nilpotentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERE PSI - Epreuve n

^\circ1

MATHEMATIQUES (XUSR)

Aucun document n'est autorisé Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le texte, on adopte les notations suivantes :

Pour tous entiers naturels $m, n$ , on note $[ [m; n] ]$ l'ensemble des entiers naturels $k$ vérifiant $m ⩽ k ⩽ n$ .
Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ la factorielle de $n$ . On convient que $0! = 1$ .
Soit $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ . Pour tous $n \in ℕ^*$ et $m \in ℕ^*, ℳ_(n, m)(𝕂)$ désigne l'ensemble des matrices à coefficients dans $𝕂$ ayant $n$ lignes et $m$ colonnes. Si $A \in ℳ_(n, m)(𝕂)$ et $(i, j) \in [ [1; n] ] \times [ [1; m] ]$ , on note $[A]_(i, j)$ le coefficient de $A$ appartenant à la $i$ -ème ligne et à la $j$ -ème colonne. La matrice transposée de $A$ est notée $^t A \in ℳ_(m, n)(𝕂)$ et sa matrice conjuguée est notée $A¯ \in ℳ_(n, m)(𝕂)$ . Les coefficients de $A¯$ sont donnés par

\forall(i, j) \in [ [1; n] ] \times [ [1; m] ], [A¯]_(i, j) = [A]_(i, j)^-.

On pose

ℳ_n(𝕂) = ℳ_(n, n)(𝕂)

, et on note

I_n

la matrice identité de

ℳ_n(𝕂)

0_n

la matrice nulle de

ℳ_n(𝕂)

. Le déterminant d'une matrice carrée

A \in ℳ_n(𝕂)

sera noté

det(A)

. Pour tout

k \in ℕ^*

, on note

A^k

la puissance

k

-ème de

A

et on convient que

A^0 = I_n

.
Quand

n = 1

, on identifie la matrice

A \in ℳ_1(𝕂)

à son unique coefficient

[A]_(1, 1) \in 𝕂

Soit $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ . On note $𝕂[X]$ le $𝕂$ -espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Si $P \in 𝕂[X]$ , on note $deg(P)$ le degré de $P$ . Pour tout $k \in ℕ^*, P^((k))$ désigne la dérivée $k$ -ème de $P$ . On convient que $P^((0)) = P$ . Pour tout entier $n ⩾ 0$ , on désigne par $𝕂_n[X]$ le $𝕂$ -espace vectoriel des polynômes à coefficients dans $𝕂$ et de degré inférieur ou égal à $n$ .
Soit ( $Ω, A, ℙ$ ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.

Dans toute la suite de cet énoncé,

n ⩾ 2

désigne un entier naturel. Pour toute matrice

A \in ℳ_n(ℂ)

, on note

Spec(A)

l'ensemble des valeurs propres complexes de

A

et on pose

ρ(A) = max{|λ||λ \in Spec(A)}.

On note

𝒱(A)

l'ensemble

𝒱(A) = {P ∈ ℂ[X]|P ≠ 0_(ℂ[X]) et P(A) = 0_n}.

(c'est-à-dire l'ensemble des polynômes de

ℂ[X]

non nuls et annulateurs de

A

).
Pour toute suite

u = (u_k)_(k ⩾ 0)

de nombres complexes, on adopte les notations suivantes

on note $R_u \in [0, + \infty]$ le rayon de convergence de la série entière $\sumu_k z^k$ et $D_u$ son disque ouvert de convergence défini par

D_u = {z ∈ ℂ||z|<R_u}.

pour tout $z \in D_u$ , on note $U(z)$ (avec $U$ lettre majuscule) la somme

U(z) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)u_k z^k

On convient que $u^((0)) = u$ et on note $u^((1))$ la suite définie par

\forallk \in ℕ, u_k^((1)) = (k + 1)u_(k + 1),

Plus généralement pour tout entier naturel

m ⩾ 0

, on pose

u^((m + 1)) = (u^((m)))^((1)).

Pour tout

m ⩾ 0

et tout

z \in D_(u^((m)))

on pose

U^((m))(z) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)u_k^((m))z^k.

Si $v = (v_k)_(k ⩾ 0)$ est une autre suite de nombres complexes, on note $u + v$ la suite $(u_k + v_k)_(k ⩾ 0)$ et $u⋆v$ la suite $(w_k)_(k ⩾ 0)$ de terme général donné par

w_k = \sum_(i = 0)^k u_i v_(k - i) pour tout k ⩾ 0.

On dit qu'une matrice

A \in ℳ_n(ℂ)

est compatible avec

u

ρ(A) < R_u.

On note

M_n(u)

l'ensemble de toutes les matrices de

ℳ_n(ℂ)

compatibles avec

u

𝕄_n(u) = {A ∈ ℳ_n(ℂ)|ρ(A) < R_u}.

Les parties III et IV de cet énoncé sont majoritairement indépendantes.

Partie I : préliminaires

Soit

u = (u_k)_(k ⩾ 0)

une suite de nombres complexes.
(1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur

R_u

pour que

𝕄_n(u) = \emptyset

et donner un exemple de

u

pour laquelle on a cette égalité.
(2) Montrer que

𝕄_n(u) ≠ {0_n}

.
(3) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes
(i)

R_u = + \infty

,
(ii)

M_n(u) = ℳ_n(ℂ)

,
(iii)

𝕄_n(u) \neq \emptyset

\forallA \in 𝕄_n(u), \forallB \in 𝕄_n(u), A + B \in 𝕄_n(u)

,
et donner un exemple de suite

u

vérifiant ces trois assertions et telle que

u_k \neq 0

pour tout

k \in ℕ

.
(4) Soit

A \in ℳ_n(ℂ)

. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes
(i)

A \in 𝕄_n(v)

pour toute suite

v = (v_k)_(k ⩾ 0)

ℂ

vérifiant

R_v > 0

.
(ii)

A

est nilpotente (c'est-à-dire il existe

k \in ℕ^*

tel que

A^k = 0_n

).
(5) Montrer que pour tout entier

m ⩾ 0

, on a

D_(u^((m))) = D_u.

(6) Soit

v = (v_k)_(k ⩾ 0)

une autre suite de nombres complexes. Montrer que

𝕄_n(u) \cap 𝕄_n(v) \subset 𝕄_n(u + v) \cap 𝕄_n(u⋆v).

(7) On suppose dans cette question que

0 < R_u ⩽ 1

. Soient

A \in 𝕄_n(u)

B \in 𝕄_n(u)

deux matrices symétriques telle que

AB = BA

. Montrer que

AB \in 𝕄_n(u)

Partie II : Fonctions de matrices

Soit

u = (u_k)_(k ⩾ 0)

une suite de

ℂ

telle que

𝕄_n(u) \neq \emptyset

. Soit

A \in 𝕄_n(u)

.
(8) Montrer que

𝒱(A)

est non vide.
(9) Soit

m = min{k \in ℕ|\existsP \in 𝒱(A) avec deg(P) = k}

Montrer qu'il existe un et un seul polynôme

p \in ℂ[X]

vérifiant les trois conditions
(i)

p \in 𝒱(A)

,
(ii)

deg(p) = m

,
(iii)

p

unitaire.

On note désormais

φ_A

ce polynôme.
(10) Soit

P \in 𝒱(A)

. Montrer que

φ_A

divise

P

.
(11) Montrer que les racines de

φ_A

dans

ℂ

sont exactement les valeurs propres de

A

.
(12) Montrer que si

A \in ℳ_n(ℝ)

alors

φ_A

est à coefficients réels (c'est-à-dire

φ_A \in ℝ[X]

On note désormais

λ_1, \dots, λ_ℓ

les valeurs propres de

A

, avec

λ_i \neq λ_j

i \neq j

. On note

m_1 ⩾ 1, \dots, m_ℓ ⩾ 1

les multiplicités de

λ_1, \dots, λ_ℓ

respectivement en tant que racines de

φ_A

. Ainsi on a

φ_A(X) = (X - λ_1)^(m_1)\dots(X - λ_ℓ)^(m_ℓ)

avec

m = m_1 + \dots + m_ℓ

(13) Montrer que l'application

T : P \in ℂ_(m - 1)[X] \mapsto (P(λ_1), P^'(λ_1), \dots, P^((m_1 - 1))(λ_1), \dots, P(λ_ℓ), P^'(λ_ℓ), \dots, P^((m_ℓ - 1))(λ_ℓ)) \in ℂ^m

est un isomorphisme et en déduire qu'il existe un et un seul polynôme

Q \in ℂ_(m - 1)[X]

tel que

\foralli \in [ [1; ℓ] ], \forallk \in [ [0; m_i - 1] ], Q^((k))(λ_i) = U^((k))(λ_i).

Dans toute la suite, on pose

u(A) = Q(A)

(14) Soit

P \in ℂ[X]

. Montrer que

u(A) = P(A)

si et seulement si

\foralli \in [ [1; ℓ] ], \forallk \in [ [0; m_i - 1] ], P^((k))(λ_i) = U^((k))(λ_i).

(15) Soit

α \in ℂ

tel que

|α| < R_u

. Montrer que

u(αI_n) = U(α)I_n

(16) On suppose dans cette question uniquement que

n = 2

. Déterminer

u(A)

dans le cas suivant :

A = (α, γ; 0, β)

où

α, β

γ

sont des réels fixés avec

α \neq β

{α, β} ⊂ D_u

. On exprimera les coefficients de

u(A)

en fonction

α, β

γ, U(α)

U(β)

.
(17) Soit

B \in 𝕄_n(u)

.
(a) Montrer qu'il existe un polynôme

R \in ℂ[X]

tel que

u(A) = R(A) et u(B) = R(B).

(b) On suppose que

AB \in 𝕄_n(u)

BA \in 𝕄_n(u)

. Montrer que

Au(BA) = u(AB)A

(18) Soit

v = (v_k)_(k ⩾ 0)

une autre suite de

ℂ

telle que

A \in 𝕄_n(v)

. On suppose dans cette question uniquement que les valeurs

λ_1, \dots, λ_ℓ

sont réelles. Montrer que

(u⋆v)(A) = u(A)v(A)

(après avoir justifié que

A \in 𝕄_n(u⋆v)

Partie III : cas de matrices diagonalisables

Soit

u = (u_k)_(k ⩾ 0)

une suite de

ℂ

telle que

𝕄_n(u) \neq \emptyset

. Soit

A \in 𝕄_n(u)

. On suppose dans toute cette partie que

A

est diagonalisable dans

ℳ_n(ℂ)

et on note

λ_1, \dots, λ_ℓ

ses valeurs propres avec

λ_i \neq λ_j

i \neq j

.
(19) Montrer que

φ_A(X) = (X - λ_1)\dots(X - λ_ℓ).

(20) Pour tout

k \in [ [1; ℓ] ]

on définit le polynôme :

Q_k^A(X) = \prod_(j = 1, j \neq k)^ℓ(X - λ_j)/(λ_k - λ_j)

(on notera que les polynômes

Q_k^A

dépendent de la matrice

A

).
(a) Montrer que

u(A) = \sum_(k = 1)^ℓ U(λ_k)Q_k^A(A).

(b) Montrer que pour tout

k \in [ [1; ℓ] ], Q_k^A(A)

est une projection dont on précisera l'image et le noyau.
(c) En déduire que

\sum_(k = 1)^ℓ Q_k^A(A) = I_n.

(21) Soit

B \in ℳ_n(ℂ)

une matrice inversible. Montrer que

u(BAB^(- 1)) = Bu(A)B^(- 1).

(22) Soit

D \in ℳ_n(ℂ)

une matrice diagonale et

S \in ℳ_n(ℂ)

une matrice inversible telles que

A = SDS^(- 1)

.
(a) Montrer que

u(D)

est diagonale et que

\foralli \in [ [1; n] ], [u(D)]_(i, i) = U([D]_(i, i)).

(b) En déduire une expression de

u(A)

Partie IV : application À des cas particuliers

Dans cette partie, on suppose que

n ⩾ 4

. Soit

u = (u_k)_(k ⩾ 0)

une suite de

ℂ

vérifiant la condition

(C^⋆)

R_u > 1 (C^⋆)

(23) Soit

H \in ℳ_n(ℂ)

la matrice donnée par

H = (0, 1, 0, \dots, 0; 0, 0, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 0, \dots, \dots, 0, 0).

(a) Déterminer le polynôme

φ_H

dans ce cas.
(b) Soit

A = H + αI_n

où

α \in ℂ

est tel que

|α| < R_u

. Montrer que

u(A) = \sum_(k = 0)^(n - 1)(U^((k))(α))/(k!)H^k

et en déduire que

u(A) = (U(α), (U^((1))(α))/(1!), (U^((2))(α))/(2!), \dots, (U^((n - 1))(α))/((n - 1)!); 0, U(α), (U^((1))(α))/(1!), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, (U^((2))(α))/(2!); ⋮, ⋱, ⋱, (U^((1))(α))/(1!); 0, \dots, \dots, 0, U^((α))).

(24) Soit

G \in ℳ_n(ℂ)

la matrice définie par

G = Y^t Z

où

Y, Z \in ℳ_(n, 1)(ℝ)

sont deux vecteurs colonnes tels que

^t YY = ^t ZZ = 1

.
(a) Montrer que

G

est de rang 1 et donner son image.
(b) Montrer que 0 et

^t ZY

sont les seules valeurs propres de

G

.
(c) En déduire que

G \in 𝕄_n(u)

.
(d) Déterminer

φ_G

quand

^t ZY \neq 0

.
(e) En déduire que si

^t ZY \neq 0

alors

u(G) = U(0)I_n + (U(^t ZY) - U(0))/(^t ZY)G.

(f) Déterminer une expression simple de

u(G)

quand

^t ZY = 0

.
(25) Soit

F \in ℳ_n(ℂ)

la matrice définie par

[F]_(k, j) = 1/(\sqrtn)ω^((k - 1)(j - 1)) pour tout (k, j) \in [ [1; n] ]^2

où

ω = e^(- 2πi/n)

(ici

i

désigne le nombre complexe usuel vérifiant

i^2 = - 1

).
(a) Montrer que

F

est inversible et que

F^(- 1) = F¯

.
(b) Montrer que

F^2 \in ℳ_n(ℝ)

.
(c) En déduire que

F^4 = I_n

et que

F \in 𝕄_n(u)

.
(d) En déduire que

u(F) =, 1/4(U(1)(F + I_n) - U(- 1)(F - I_n))(F^2 + I_n); + i/4(U(i)(F + iI_n) - U(- i)(F - iI_n))(F^2 - I_n)

(26) On suppose que pour tout

k \in ℕ, u_k = ℙ(X = k)

où

X

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

.
(a) On suppose que

X

suit une loi binomiale de paramètres (

N, p

). Vérifier que

u

satisfait la condition

(C^⋆)

et trouver une expression simple de

u(A)

pour tout

A \in 𝕄_n(u)

.
(b) On suppose que

X

suit un loi géométrique de paramètre

p \in ]0, 1[

. Vérifier que

u

satisfait la condition

(C^⋆)

et montrer que

u(A) = p(I_n - (1 - p)A)^(- 1)A

pour toute matrice

A \in 𝕄_n(u)

diagonalisable.

Questions fréquentes

5 questions

Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PSI 2024 ?

Sur les fonctions de matrices construites à partir de séries entières, en passant par le polynôme minimal et l'interpolation d'Hermite, avec des applications aux matrices nilpotentes, de rang 1 et de Fourier discrète.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths X-ENS PSI 2024 ?

Le jury indique une moyenne de 10,14 et un écart-type de 3,5, avec des notes réparties sur toute l'échelle de 0 à 20.

Quelles erreurs le jury de maths XUSR PSI 2024 a-t-il le plus relevées ?

Réciproques non traitées, confusion sur le rayon de convergence d'une somme, multiplicités des racines mal comptées et surtout une mauvaise compréhension de l'évaluation d'une fonction en une matrice.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths Polytechnique PSI 2024 ?

Les séries entières, les polynômes de matrices et le polynôme minimal, la réduction des matrices et, pour la fin du sujet, les fonctions génératrices de variables aléatoires discrètes.

Une question du sujet X-ENS maths PSI 2024 a-t-elle été neutralisée ?

Oui, la question 7 a été neutralisée car le mot « réelles » manquait dans l'hypothèse sur les deux matrices symétriques.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Mathématiques PSI 2024

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