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Sujet Centrale Mathématiques 1 PSI 2024

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Centrale Mathématiques 1 PSI 2024

Intégrales de Wallis et de Gauss, équation différentielle et polynômes d'Hermite

Le sujet part du calcul de l'intégrale de Gauss à l'aide des intégrales de Wallis. Il cherche ensuite les solutions développables en série entière d'une équation différentielle d'ordre 2 et les relie à une intégrale à paramètre, puis étudie les polynômes d'Hermite, orthogonaux pour un produit scalaire intégral. La dernière partie montre que cette famille est totale, via une transformation de Fourier.

  1. 1Partie I : intégrale de Wallis et intégrale de Gauss(première et deuxième années)On étudie la suite des intégrales de Wallis, on en déduit un équivalent puis la valeur de l'intégrale de Gauss.
  2. 2Partie II : autour d'une équation différentielle(deuxième année)On cherche les solutions développables en série entière de xy'' + y' + xy = 0 et on montre qu'une intégrale à paramètre en est solution.
  3. 3Partie III : étude d'un endomorphisme sur un espace préhilbertien(deuxième année)On définit les polynômes d'Hermite, un produit scalaire intégral pour lequel ils sont orthogonaux, et un endomorphisme autoadjoint dont ils sont vecteurs propres.
  4. 4Partie IV : une famille totale(deuxième année)À l'aide d'une transformation de Fourier et d'un développement en série entière, on montre que l'orthogonal de la famille des polynômes d'Hermite est réduit à zéro.
Intégrales généraliséesSéries entièresÉquations différentielles linéairesIntégrales à paramètreProduits scalaires et espaces préhilbertiensEndomorphismes autoadjoints et réductionPolynômes

Ce qu'a observé le jury

La partie I a été réussie par une grande majorité de candidats et la partie II bien abordée, même si les théorèmes sur les intégrales à paramètre sont souvent mal connus. La partie III a été traitée de façon inégale, ses sous-parties III.C et III.D étant moins réussies, et la partie IV, plus technique, a été très peu abordée. Le jury regrette une rédaction trop approximative dans trop de copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1.Erreurs sur les suitesPartie I

    Une suite décroissante n'est pas forcément convergente, et une suite convergente ne vérifie pas forcément u_n équivalent à u_{n+1}.

  2. 2.Intégrales traitées sans précisionPartie I

    Il faut évoquer la continuité avant l'étude de convergence, la positivité pour les théorèmes de comparaison, le caractère C¹ d'un changement de variable et les limites du crochet avant une intégration par parties.

    « l’intégrale d’un produit de fonctions n’est pas égale au produit des intégrales ! »
  3. 3.Théorème de Cauchy invoqué à tortPartie II

    Beaucoup ont vu un problème de Cauchy dans l'équation de la partie II, alors que l'annulation du coefficient x devant y'' en 0 empêchait d'appliquer ce théorème.

  4. 4.Produit scalaire mal vérifiéQ19

    Il fallait justifier l'existence de l'intégrale, utiliser la continuité pour le caractère défini et ne pas confondre linéaire et bilinéaire.

  5. 5.Orthogonalité et libertéQ22

    Beaucoup ont affirmé qu'une famille orthogonale est libre sans préciser que les vecteurs doivent être non nuls.

    « Dans la question 22, beaucoup de candidats ont affirmé que l’orthogonalité impliquait la liberté ! »
  6. 6.Degré des polynômes

    Appartenir à ℝ_n[X] signifie deg(P) ≤ n et non deg(P) = n, et la dérivée d'un polynôme constant ne fait pas baisser le degré de 1.

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats les plus sérieux ont traité l'intégralité de la partie I.
  • La première moitié de la partie III (définition et propriétés des polynômes d'Hermite) a été globalement réussie.
  • La majorité des copies est clairement présentée, avec des questions numérotées et des résultats encadrés.
  • Quelques candidats ont réussi les questions plus difficiles du sujet.

Conseils du jury

  • Rédiger les récurrences complètement : propriété, initialisation, hérédité et conclusion.
  • Prouver les deux inclusions pour une égalité d'ensembles et les deux implications pour une équivalence.
  • Articuler les raisonnements avec des mots de liaison et limiter les abréviations et les symboles logiques dans les phrases.
  • Utiliser un brouillon avant de rédiger pour éviter les erreurs grossières.
  • Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre, barrer proprement et encadrer les résultats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 Centrale PSI 2024 ?

Le sujet mobilise les suites, les intégrales généralisées et à paramètre, les séries entières, les équations différentielles, les polynômes, les produits scalaires et les endomorphismes autoadjoints.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 1 Centrale PSI 2024 ?

Le jury signale des erreurs sur les suites et les intégrales, un recours injustifié au théorème de Cauchy en partie II, un produit scalaire mal vérifié en Q19 et l'idée qu'une famille orthogonale est toujours libre en Q22.

Y avait-il une erreur d'énoncé dans Centrale maths 1 PSI 2024 ?

Oui. Le rapport indique que la partie II proposait de résoudre l'équation différentielle sur ℝ[X] au lieu de ℝ. Le barème a prévu plusieurs cas, mais très peu de candidats semblent avoir repéré l'erreur.

Quelle partie de Centrale maths 1 PSI 2024 a été la mieux réussie ?

La partie I sur les intégrales de Wallis et l'intégrale de Gauss a été réussie par une grande majorité des candidats. La partie IV, plus technique, a été très peu abordée.

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Notations

  • On note ℝ[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans ℝ.
  • Tout au long du sujet, un polynôme de ℝ[X] sera identifié à sa fonction polynomiale.
  • Une fonction de ℝ dans ℝ continue est dite intégrable sur ℝ si et seulement si ∫_(− ∞)^(+ ∞)|f(x)|dx converge.
  • Pour une famille de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ), on appelle vect(P_n, n ∈ ℕ) l'espace vectoriel engendré par cette famille, c'est à dire :
vect(P_n, n ∈ ℕ) = {g : ℝ → ℝ, ∃N ∈ ℕ, ∃(a_0, …, a_N) ∈ ℝ^(N + 1), g = ∑_(k = 0)^N a_k P_k}
Le sujet illustre des applications du calcul de l'intégrale de Gauss dans différents domaines.
La partie I est consacrée au calcul de cette intégrale.
La partie II est consacrée à la résolution d'une équation différentielle du second ordre à l'aide des séries entières. Elle utilise le résultat final de la partie I. Elle est totalement indépendantes des deux parties suivantes.
La partie III est consacrée à l'étude d'un endomorphisme autoadjoint de ℝ[X] et d'une suite de polynômes orthogonaux associés à cet endomorphisme. Elle est indépendante de la partie II.
La partie IV est consacrée à montrer des propriétés sur la famille de polynômes construite à la partie III. Le but est d'établir que c'est une famille totale d'un espace préhilbertien. Ce résultat est en fait un résultat général dans la théorie des espaces de Hilbert.

I Partie I: Intégrale de Wallis et Intégrale de Gauss

I.A − On définit ∀n ∈ ℕ, W_n = ∫_0^(π/2)cos^n(t)dt.
Q1. Étudier la monotonie de la suite ( W_n ).
Q 2. Montrer que ∀n ∈ ℕ, (n + 2)W_(n + 2) = (n + 1)W_n.
Q 3. Montrer que ∀n ∈ ℕ, (n + 1)W_n W_(n + 1) = π/2.
Q 4. En déduire que W_n ∼ _(n → + ∞)√(π/(2n)).
I.B − On note I = ∫_0^(+ ∞)e^(− x^2)dx et J = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− x^2)dx
Q 5. Justifier l'existence de I.
Q 6. Montrer que lim_(n → + ∞)∫_0^(√n)(1 − (x^2)/n)^n dx = I.
Q 7. En utilisant le changement de variable x = √nsinu, après avoir justifié qu'il est licite, montrer que pour tout n ⩾ 1 :
∫_0^(√n)(1 − (x^2)/n)^n dx = √nW_(2n + 1)
Q 8. En déduire la valeur de I puis de J.

II Partie II : Autour d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle définie sur ℝ[X] par
xy^(′′) + y^′ + xy = 0

II.A -

Q 9. Déterminer les solutions développables en série entière de II. 1 sur ℝ[X].
Q 10. Démontrer qu'il existe une unique solution développable en série entière, notée S, telle que S(0) = 1.
II. B − On définit, ∀x ∈ ℝ, G(x) = 1/π∫_0^π cos(xsin(t))dt.
Q 11. Montrer que G est définie sur ℝ et de classe C^2 sur ℝ.
Q 12. Montrer que G est solution de II. 1 sur ℝ.
Q 13. Montrer que G = S.

III Partie III: Étude d'un endomorphisme sur un espace préhilbertien

III.A - Les polynômes d'Hermite.

On note w l'application de ℝ dans ℝ, de classe C^∞, définie pour tout x ∈ ℝ par w(x) = e^(− x^2). Pour tout n ∈ ℕ, on note H_n l'application de ℝ dans ℝ définie pour tout x ∈ ℝ par H_n(x) = (− 1)^n e^(x^2)w^((n))(x), où w^((n)) désigne la dérivée n-ième de w.
En particulier : H_0(x) = 1.
Q 14. Calculer, pour tout x ∈ ℝ, H_1(x), H_2(x), H_3(x).
Q 15. Montrer, pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ :
H_(n + 1)(x) = 2xH_n(x) − H_n^′(x)
Q 16. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ, H_n est un polynôme de degré n dont vous déterminerez la parité.
Q 17. Déterminer, pour tout n ∈ ℕ, le coefficient dominant de H_n.

III.B - Un produit scalaire.

On note E l'ensemble des applications f de ℝ dans ℝ continues et telles que ∫_(− ∞)^(+ ∞)f^2(x)e^(− x^2)dx converge.
Q 18. Montrer que E est un ℝ espace vectoriel contenant ℝ[X].
Q 19. On note ⟨.,. ⟩l^′ applicationdeE^2 dans ℝ qui à tout (f, g) ∈ E^2 associe 1/(√π)∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)g(x)e^(− x^2)dx. Montrer que ⟨.,. ⟩estunproduitscalairesurE.
On notera ||.|| la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.

III.C - Lien entre le produit scalaire et les polynômes d'Hermite

Q 20. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout P ∈ ℝ[X] :
⟨P^′, H_(n − 1)⟩ = ⟨P, H_n⟩,
Q 21. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout P ∈ ℝ_(n − 1)[X] : (P|H_n) = 0.
Q 22. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, la famille (H_0, …, H_n) est une base orthogonale de ℝ_n[X].
Soit n ∈ ℕ.
Q 23. Montrer : ‖H_n‖^2 = ⟨H_n^((n)), H_0⟩.
Q 24. En déduire la valeur de ‖H_n‖.

III.D - Étude d'un endomorphisme autoadjoint

On note u, v, w les applications définies de ℝ[X] dans ℝ[X], pour tout P ∈ ℝ[X], par :
u(P) = − P^(′′) + 2XP^′ + P, v(P) = 2XP − P^′, w(P) = P^′
Q 25. Montrer que u est un endomorphisme de ℝ[X] et que ∀n ∈ ℕ, ℝ_n[X] est stable par u.
Par la suite, on notera u_n l'endomorphisme induit par u sur ℝ_n[X].
On admet que v et w sont aussi des endomorphismes de ℝ[X], et on note Id l'application identique de ℝ[X].
Q 26. Etablir : v ∘ w = u − Id et w ∘ v = u + Id.
Q 27. En déduire: u ∘ v − v ∘ u = 2v.
Q 28. Montrer que, pour tout λ ∈ ℝ et tout P ∈ ℝ[X], si u(P) = λP, alors u(v(P)) = (λ + 2)v(P).
Q 29. Montrer que ∀k ∈ ℕ, H_k est un vecteur propre de u et déterminer la valeur propre associée.
Q 30. Soit n ∈ ℕ. Justifier que u_n est diagonalisable sur ℝ.
Q 31. Établir, pour tout (P, Q) ∈ ℝ[X]^2 :
⟨P^′, Q^′⟩ = ⟨u(P), Q⟩ − ⟨P, Q⟩.
Soit n ∈ ℕ.
Q 32. Montrer que u_n est un endomorphisme autoadjoint de ℝ_n[X].
Q 33. Justifier, d'une deuxième manière, que u_n est diagonalisable sur ℝ dans une base orthonormée de ℝ_n[X] formée de vecteurs propres de u_n.
Q 34. Donner une base orthonormale de ℝ_n[X] constituée de vecteurs propres de u_n.

IV Partie IV : Une famille totale

Dans cette partie, nous conservons les notations de la partie III. L'espace E muni de son produit scalaire et la famille (H_n)_(n ∈ ℕ) précédemment construite. Nous allons montrer que (vect(H_n, n ∈ ℕ))^⊥ = {0}. On dit dans ce cas là que la famille (H_n)_(n ∈ ℕ) est totale dans l'espace préhilbertien E ou encore que c'est une base hilbertienne de E.
Q 35. Soit ξ ∈ ℝ. Pour ξ ∈ E, montrer que x ⟼ f(x)e^(− ixξ)e^(− x^2) est intégrable sur ℝ.
On pourra écrire f(x)e^(− ixξ)e^(− x^2) = f(x)e^(− x^2/2)e^(− ixξ)e^(− x^2/2).
On définit ainsi
∀ξ ∈ ℝ, F(f)(ξ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)e^(− itξ)e^(− t^2)dt
F est une application linéaire sur E, appelée la transformation de Fourier de f sur l'espace préhilbertien E. Nous admettrons pour la suite que F est injective sur E.
Q 36. Montrer que, pour tout entier naturel p, la fonction x ↦ x^(2p)exp(− x^2) est intégrable sur ℝ.
On note M_p = ∫_(− ∞)^(+ ∞)x^(2p)exp(− x^2)dx. Déterminer la valeur de M_p.
Q 37. Soit f ∈ E. Justifier que
∀ξ ∈ ℝ, F(f)(ξ) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)∑_(n = 0)^(+ ∞)f(x)e^(− x^2)((− i)^n ξ^n x^n)/(n!)dx
Q 38. Montrer que F(f) est développable en série entière sur ℝ.
Dans la suite de la partie, on suppose que f ∈ (vect(H_n, n ∈ ℕ))^⊥. Le but est de montrer que f est la fonction nulle.
Q 39. Montrer que ∀n ∈ ℕ, ∫_(− ∞)^(+ ∞)x^n f(x)e^(− x^2)dx = 0.
Q 40. En déduire que F(f) est la fonction nulle.
Q 41. Conclure.

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