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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Problème

Etant donné un entier naturel n on note ℝ_n[X] le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et dont le degré est inférieur ou égal à n.
Si P = ∑_(k = 0)^n a_k X^k ∈ ℝ_n[X], on dit que P est de degré n lorsque le coefficient a_n est non nul; ce coefficient est alors appelé «coefficient dominant de P ». Dans tout le problème on identifie le polynôme P = ∑_(k = 0)^n a_k X^k et sa fonction polynomiale associée.
Pour tout entier naturel n, on appelle c_n la fonction définie pour x ∈ [ − 1, 1] par : c_n(x) = cos(narccos(x))

Partie 1.

  1. Vérifier que pour tout entier naturel n, la fonction c_n est continue sur [ − 1, 1].
  2. Pour x ∈ [ − 1, 1], donner une expression polynomiale de c_0(x), c_1(x), c_2(x) et c_3(x).
  3. Représenter graphiquement dans un même repère orthonormal les fonctions c_0, c_1, c_2 et c_3.
  4. Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ [ − 1, 1], c_(n + 1)(x) + c_(n − 1)(x) = 2xc_n(x).
  5. Soit la suite de polynômes (T_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
T_0 = 1, T_1 = X, et ∀n ∈ ℕ, T_(n + 2) = 2XT_(n + 1) − T_n
Montrer que pour tout entier naturel n, T_n est un polynôme de degré n de coefficient dominant que l'on explicitera.
6. Prouver que, pour tout entier naturel n, la famille (T_0, T_1, …, T_n) est une base de ℝ_n[X].
7. Montrer que pour x ∈ [ − 1, 1] et n ∈ ℕ, on a T_n(x) = c_n(x).

Partie 2.

  1. Pour tout couple (P, Q) d'éléments de ℝ[X] on pose (P|Q) = ∫_(− 1)^1(P(t)Q(t))/(√(1 − t^2)) dt.
    1.1 Vérifier que l'on définit ainsi un produit scalaire sur ℝ[X]. On note ‖. ‖lanormeassociée.
Dans toute la suite du problème ℝ[X] est muni de ce produit scalaire.
1.2 Soient p et q dans ℕ, on pose I_(p, q) = ∫_0^π cos(pθ)cos(qθ)dθ.
Démontrer que, si l'on a p ≠ q alors I_(p, q) = 0.
Calculer I_(p, p).
1.3 Montrer que, pour tout entier naturel n, la famille ( T_0, T_1, …, T_n ) définie dans la partie 1 est une base orthogonale de ℝ_n[X].
Cette base est-elle orthonormale?
1.4 Prouver que pour tout entier naturel n non nul, T_n est orthogonal à ℝ_(n − 1)[X].
1.5 Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, (X^n|T_n) = (‖T_n‖^2)/(2^(n − 1)).
2. Soient n ∈ ℕ^∗, a_0, a_1, …, a_(n − 1) des réels et P le polynôme de ℝ_n[X] défini par : P = X^n + ∑_(k = 0)^(n − 1)a_k X^k
2.1 Justifier l'existence d'une unique famille de réels (b_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) telle que l'on a : P = ∑_(k = 0)^n b_k T_k
2.2 Calculer b_n.
2.3 Montrer que l'on a : ‖P‖^2 ⩾ π/2b_n^2
2.4 En déduire la valeur de :
Inf_((a_0, a_1, …, a_(n − 1)) ∈ ℝ^n)(∫_(− 1)^1((t^n + a_(n − 1)t^(n − 1) + … + a_0)^2)/(√(1 − t^2)) dt)

Partie 3.

Soit n ∈ ℕ^∗. Pour tout k ∈ {1, 2, ⋯, n}, on pose θ_k = ((2k − 1)π)/(2n) et x_k = cos(θ_k).
  1. Vérifier que x_1, x_2, …, x_n sont les racines du polynôme T_n défini dans la partie 1.
  2. Soit ℒ = (L_1, …, L_n) la famille des polynômes d'interpolation de Lagrange associés à ( x_1, …, x_n ), c'est-à-dire les polynômes de ℝ_(n − 1)[X] qui, pour tous i et j dans [ [1, n] ], vérifient
L_i(x_j) = δ_i^j
où δ_i^j est le symbole de Kronecker : δ_i^j = {1 si i = j; 0 sinon
2.1 ℒ est-elle une base de ℝ_(n − 1)[X] ?
2.2 Montrer qu'il existe des réels λ_1, …, λ_n tels que:
∀G ∈ ℝ_(n − 1)[X], ∫_(− 1)^1(G(t))/(√(1 − t^2)) dt = ∑_(i = 1)^n λ_i G(x_i) avec ∀j ∈ {1, …, n}, λ_j = ∫_(− 1)^1(L_j(t))/(√(1 − t^2)) dt
2.3 Soit R ∈ ℝ_(2n − 1)[X].
2.3a Justifier l'existence et l'unicité de deux polynômes S et U de ℝ_(n − 1)[X] tels que : R = ST_n + U.
2.3b Montrer que :
∫_(− 1)^1(R(t))/(√(1 − t^2)) dt = ∑_(i = 1)^n λ_i R(x_i)
2.4 Dans toute cette question on fixe un entier naturel k dans [ [1, n] ].
2.4a On rappelle que ∀x ∈ [ − 1, 1], T_n(x) = c_n(x) (voir partie 1.).
Montrer que :
T_n^′(x_k) = ((− 1)^(k + 1)n)/(√(1 − x_k^2)) = ((− 1)^(k + 1)n)/(sin(θ_k))
2.4b Soit la fonction ψ_k : ℝ → ℝ définie par : {ψ_k(x) = (T_n(x))/((x − x_k)T_n^′(x_k)) lorsque x ≠ x_k; et; ψ_k(x_k) = 1
Vérifier que, pour tout x réel, on a : ψ_k(x) = L_k(x).
2.4c Soit j ∈ ℕ.
Calculer lim_(θ → θ_k)(cos(jθ) − cos(jθ_k))/(cos(θ) − cos(θ_k)).
En déduire que l'intégrale u_j = ∫_0^π(cos(jθ) − cos(jθ_k))/(cos(θ) − cos(θ_k))dθ existe.
Montrer que l'on a λ_k = ((− 1)^(k + 1))/nu_n sin(θ_k).
2.4d Vérifier que :
∀j ∈ ℕ, u_(j + 2) − 2u_(j + 1)cos(θ_k) + u_j = 0
2.4e En déduire que λ_k = π/n.
3. Démontrer que, pour tout polynôme R ∈ ℝ_(2n − 1)[X], on a la relation :
∫_(− 1)^1(R(t))/(√(1 − t^2)) dt = π/n∑_(k = 1)^n R(cos(((2k − 1)π)/(2n)))

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