WikiPrépaLivrets

CCINP Mathématiques 2 PSI 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours CCINP

Explorer les annales

BanqueCCINPAnnée2014FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales CCINP PSI MathématiquesCCINP PSI 2014PSI MathématiquesMathématiques 2014

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Étude de polynômes de Legendre : endomorphisme auto-adjoint, relation de récurrence et localisation des racines
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie une famille de polynômes proches des polynômes de Legendre et leurs racines. La première partie introduit ces polynômes comme vecteurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n. La deuxième partie établit une relation de récurrence entre ces polynômes et localise leurs racines dans l'intervalle ]-1,1[. La troisième partie étudie une matrice tridiagonale associée pour comparer les valeurs propres et affiner la localisation des racines.

  1. 1Partie I : Étude d'un endomorphismeMontrer qu'une famille de polynômes forme une base de vecteurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint défini à partir d'un produit scalaire intégral.
  2. 2Partie II : Étude des racines de ces polynômesÉtablir une relation de récurrence entre les polynômes et montrer qu'ils admettent n racines simples dans ]-1,1[.
  3. 3Partie III : Étude d'une matriceÉtudier les valeurs propres d'une matrice tridiagonale associée pour démontrer une propriété d'entrelacement des racines des polynômes successifs.

Difficile. Le rapport signale qu'un nombre important de copies dénote une méconnaissance inquiétante du cours, et que la suite du problème, plus difficile, s'est révélée assez décevante à l'exception de deux questions faciles.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Produit scalaire mal compris · Faux raisonnements par récurrence · Calculs bâclés pour glaner des points faciles
Afficher ou masquer la section

Le problème couvrait une partie substantielle du programme d'algèbre : anneaux de polynômes, algèbre linéaire et bilinéaire. Le jury déplore le niveau extrêmement faible de certains candidats, qui confondent conjecture et démonstration, tout en appréciant les copies bien présentées où les résultats démontrés apparaissent clairement. Un petit nombre de copies s'est révélé de très bon niveau.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Produit scalaire mal comprisI.1.2

    Le jury relève une incompréhension fréquente du caractère défini positif d'un produit scalaire, notamment à la question I.1.2.

    « l'incompréhension du caractère défini positif d'un produit scalaire »
  2. 2
    Faux raisonnements par récurrenceII.1

    De nombreuses copies présentent comme une récurrence une démonstration qui n'utilise en réalité pas l'hypothèse de récurrence, notamment à la question II.1 où cette méthode est totalement inutile.

    « alors qu'ils n'utilisent pas l'hypothèse de récurrence. »
  3. 3
    Calculs bâclés pour glaner des points faciles

    Certains candidats se précipitent sur les questions calculatoires en espérant des points faciles, sans que les calculs soient toujours justes.

    « Certains candidats se précipitent sur les questions calculatoires afin de glaner des points »
  4. 4
    Détermination des racines mal maîtriséeI.2.5

    La détermination des racines des premiers polynômes explicites de la question I.2.5, pourtant simple, pose des problèmes à de trop nombreux candidats.

    « pose des problèmes à de trop nombreux candidats. »
  5. 5
    Stricte positivité de μn rarement démontréeII.3

    Peu de candidats traitent convenablement la question II.3, et ceux qui montrent que μn est strictement positif sont très rares.

    « Peu de candidats traitent convenablement cette question et ceux qui montrent que μn est strictement positif sont très rares. »
  6. 6
    Démonstrations d'algèbre linéaire non finaliséesII.4, II.5

    Aux questions II.4 et II.5, beaucoup de candidats saisissent vaguement l'idée d'une démonstration mais très peu la finalisent.

    « Beaucoup ont vaguement saisi l'idée d'une démonstration mais très peu la finalisent. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les candidats ont, pour l'essentiel, traité la première partie du problème.
  • La question III.1 a été assez généralement bien traitée.
  • La question III.2 a aussi été assez largement traitée par les candidats.
  • Les questions III.4.2 et III.4.3, corollaires faciles des questions précédentes, ont permis à certains candidats de gagner des points.

Conseils du jury

  • Apprendre à démontrer rigoureusement plutôt qu'à formuler des conjectures.
  • Ne pas recourir systématiquement au raisonnement par récurrence lorsqu'il n'est pas adapté à la question posée.
  • Vérifier la justesse des calculs avant de les considérer comme des points faciles à obtenir.
  • Présenter clairement les copies, en faisant apparaître les résultats démontrés après une démonstration bien construite.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 4 pages.

Notations :

  • ℕ désigne l'ensemble des entiers naturels et ℝ celui des nombres réels. Pour tout entier n ∈ ℕ, on note [ [0, n] ] l'ensemble {p ∈ ℕ; 0 ≤ p ≤ n}.
  • On note ℝ[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
  • Pour tout entier n, ℝ_n[X] est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
  • M_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels.
Pour tout polynôme P ∈ ℝ[X], on note encore P la fonction polynomiale associée définie sur ℝ. On rappelle qu'un polynôme P est dit unitaire si le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1 .
Objectifs : on se propose d'étudier une famille de polynômes et leurs racines. Dans une première partie, on introduit une famille de polynômes (P_n) vecteurs propres d'un endomorphisme de ℝ_n[X]. L'objet de la seconde partie est l'étude, dans un cas particulier, d'une famille de polynômes orthogonaux. Enfin, dans la dernière partie, on étudie les valeurs propres d'une matrice pour démontrer une propriété des racines de ces polynômes.

Partie I

Etude d'un endomorphisme

Dans cette partie, on pose :
A(X) = X^2 − 1, B(X) = 2X

I. 1 Une application linéaire

On considère l'application Φ : ℝ[X] → ℝ[X] définie par :
Φ(P) = AP^(′′) + BP^′.
I.1.1 Montrer que, pour tout entier n, la restriction, notée Φ_n de Φ à ℝ_n[X], définit un endomorphisme de ℝ_n[X].
I.1.2 Montrer brièvement que :
(P, Q) ↦ ⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)dt
définit un produit scalaire sur ℝ[X]. Vérifier que ⟨XP, Q⟩ = ⟨P, XQ⟩.

I. 2 Une base de vecteurs propres

I.2.1 Soient P et Q deux polynômes. Déterminer deux polynômes U et V tels que :
⟨Φ(P), Q⟩ − ⟨P, Φ(Q)⟩ = ∫_(− 1)^1(A(t)U(t) + A^′(t)V(t))dt
En déduire que pour tout entier n, l'endomorphisme Φ_n est auto-adjoint.
I.2.2 Ecrire la matrice de Φ_n : ℝ_n[X] → ℝ_n[X] dans la base canonique {1, X, ⋯, X^n} et en déduire les valeurs propres de Φ_n.
I.2.3 Montrer qu'il existe une base (P_0, ⋯, P_n) de ℝ_n[X] formée de vecteurs propres de Φ_n unitaires tels que degP_k = k pour tout k ∈ [ [0, n] ].
I.2.4 Montrer que si i ≠ k alors ⟨P_i, P_k⟩ = 0. En déduire que P_n est dans l'orthogonal de ℝ_(n − 1)[X].
I.2.5 Expliciter les polynômes P_0, P_1, P_2 et P_3, puis déterminer leurs racines.

Partie II

Etude des racines de ces polynômes

II. 1 Une relation de récurrence Soit n ≥ 2 un entier.
Justifier l'existence d'un réel λ_n tel que :
P_n − XP_(n − 1) + λ_n P_(n − 1) = S_n ∈ ℝ_(n − 2)[X].
II. 2 Dans cette question, on suppose n ≥ 3
En calculant ⟨XP_(n − 1), P_k⟩, pour tout polynôme P_k ∈ ℝ_k[X] (avec k ≤ n − 3 ), montrer que ⟨S_n, P_k⟩ = 0.
II. 3 Montrer que pour tout entier n ≥ 2, il existe λ_n ∈ ℝ et μ_n > 0, tels que :
P_n = (X − λ_n)P_(n − 1) − μ_n P_(n − 2).
Calculer de façon directe λ_2, μ_2, λ_3 et μ_3.
II. 4 Montrer que pour tout entier k ∈ ℕ^∗, on a :
∫_(− 1)^1 P_k(t)dt = 0
En déduire que P_k admet au moins une racine d'ordre impair dans ] − 1, 1[.
II. 5 Soient x_1, ⋯, x_k, les racines distinctes d'ordre impair de P_n dans ] − 1, 1 [ et soit Q le polynôme ∏_1^k(X − x_i). En considérant Q ⋅ P_n, montrer que P_n a n racines simples dans ] − 1, 1[ (on pourra raisonner par l'absurde et calculer ∫_(− 1)^1 Q(t)P_n(t)dt en supposant k < n ).

Partie III

Etude d'une matrice

III. 1 Etude d'un déterminant

Pour tout entier n > 0, on considère la matrice :
M_n = (0, √(μ_2), 0, ⋯, 0, 0; √(μ_2), λ_2, √(μ_3), ⋯, 0, 0; 0, √(μ_3), λ_3, ⋯, 0, 0; ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯, ⋯; 0, 0, 0, ⋯, λ_(n − 1), √(μ_n); 0, 0, 0, ⋯, √(μ_n), λ_n) ∈ M_n(ℝ).
III.1.1 On pose Q_0(X) = 1 et, pour tout entier n > 0, Q_n(X) = det(XI_n − M_n). Calculer Q_1(X). Exprimer Q_n(X) en fonction de Q_(n − 1)(X) et de Q_(n − 2)(X) pour n = 2 et pour n = 3.
III.1.2 Déterminer, pour tout entier n ≥ 3, une relation entre Q_n(X), Q_(n − 1)(X) et Q_(n − 2)(X).
III.1.3 En déduire que toutes les racines de P_n sont réelles (résultat déjà démontré en II.5).
III. 2 Valeurs propres de M_n On considère M_n comme la matrice d'un endomorphisme u de ℝ^n, muni du produit scalaire usuel (noté (x, y) ↦ ⟨x|y⟩ ), dans la base canonique. On note α_1 ≤ α_2 ≤ ⋯ ≤ α_(n − 1) ≤ α_n, les valeurs propres de M_n et ( e_1, e_2, ⋯, e_(n − 1), e_n ) une base orthonormée de vecteurs propres de M_n, tels que u(e_i) = α_i e_i.
III.2.1 Soit F_i le sous-espace vectoriel de ℝ^n engendré par ( e_1, e_2, ⋯, e_i ). Montrer que sur la sphère unité de F_i, l'application x ↦ ⟨u(x)|x⟩ atteint un maximum et le calculer.
III.2.2 Soit G_i le sous-espace vectoriel de ℝ^n engendré par ( e_i, ⋯, e_n ). Montrer que sur la sphère unité de G_i, l'application x ↦ ⟨u(x)|x⟩ atteint un minimum que l'on calculera.
III. 3 Une expression des valeurs propres Soit F un sous-espace vectoriel de ℝ^n de dimension i. Montrer que G_i ∩ F ≠ {0}_(ℝ^n) et que si x ∈ G_i ∩ F vérifie ‖x‖ = 1, alors ⟨u(x)|x⟩ ≥ α_i. En déduire que :
α_i = min_(Fsevvdeℝ^n; dimF = i){max_(x ∈ F, ‖x‖ = 1)⟨u(x)|x⟩}
III. 4 Une démonstration analogue montre, ce que l'on admettra, que :
α_i = max_(Fsev; dimF = ℝ^n; dimF + 1 − i){min_(x ∈ F, ‖x‖ = 1)⟨u(x)|x⟩}
III.4.1 On note β_1 ≤ β_2 ≤ ⋯ ≤ β_(n − 2) ≤ β_(n − 1) les valeurs propres de M_(n − 1). En utilisant ce qui précède, montrer que pour tout i ∈ {1, ⋯, n − 1}, on a β_i ≥ α_i et α_(i + 1) ≥ β_i.
III.4.2 En déduire que :
α_1 ≤ β_1 ≤ α_2 ≤ ⋯ ≤ α_(n − 1) ≤ β_(n − 1) ≤ α_n
III.4.3 Soit n un entier strictement positif. On sait que P_n admet n racines distinctes (x_1, ⋯, x_n) rangées par ordre croissant dans l'intervalle ] − 1, 1 [. Montrer que pour tout i ∈ {1, ⋯, n − 1}, le polynôme P_(n − 1) admet une racine dans chaque intervalle [x_i, x_(i + 1)].

fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2014 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 CCINP PSI 2014 ?

Elle porte sur les anneaux de polynômes, l'algèbre linéaire et bilinéaire, les endomorphismes auto-adjoints, la réduction des endomorphismes symétriques et les valeurs propres d'une matrice tridiagonale.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 CCINP PSI 2014 sur les polynômes de Legendre ?

Une incompréhension du caractère défini positif d'un produit scalaire, des faux raisonnements par récurrence, des calculs bâclés sur les questions jugées faciles, et des démonstrations d'algèbre linéaire non finalisées.

Ce sujet de mathématiques 2 CCINP PSI 2014 est-il difficile ?

Oui, le rapport signale un niveau extrêmement faible chez certains candidats et indique que la suite du problème, plus difficile, s'est révélée assez décevante, à l'exception de deux questions faciles en fin de sujet.

Le sujet CCINP maths 2 PSI 2014 porte-t-il sur les polynômes de Legendre ?

Le sujet porte sur l'étude d'une famille de polynômes orthogonaux, vecteurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint, dont la construction est proche de celle des polynômes de Legendre.

Pas de description pour le moment