Centrale Mathématiques 1 PSI 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Étude de polynômes orthogonaux : nombres complexes, suites récurrentes et endomorphismes auto-adjoints

Le sujet propose l'étude de polynômes orthogonaux, un outil fréquemment utilisé dans les sciences de l'ingénieur, et sert surtout de prétexte à un balayage large du programme de mathématiques. Il combine nombres complexes, suites récurrentes, courbes en polaires, séries entières, développements limités et endomorphismes auto-adjoints, avec un accent principal sur l'analyse.

1I. Première partieÉtude d'une application R et de l'angle theta définis à partir d'un nombre complexe, puis d'une suite récurrente liée aux polynômes.
2II. Deuxième partieÉtude d'une courbe en coordonnées polaires, puis de propriétés topologiques et de séries entières liées à la partie I.
3III. Troisième partieÉtude d'un produit scalaire défini par une intégrale, réduction d'un endomorphisme auto-adjoint et propriétés des polynômes associés.

Difficulté moyenne. Le rapport indique une absence de difficultés marquantes et un sujet sans difficulté majeure, mais suffisamment discriminant pour permettre un bon étalement des notes et une bonne sélection des élèves.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Erreur classique sur le complémentaire d'un produit cartésien · Existence de l'intégrale du produit scalaire quasiment jamais prouvée · Partie II.B soigneusement évitée

Le sujet était d'une longueur raisonnable et certains élèves ont pu le traiter presque en entier. Malgré l'absence de difficultés marquantes, les notes se sont bien étalées, les meilleurs élèves montrant une bonne maîtrise du programme et de bonnes qualités rédactionnelles.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Erreur classique sur le complémentaire d'un produit cartésienI.A
Plus des trois quarts des candidats n'ont pas réussi à trouver le complémentaire de l'ensemble donné, en croyant à tort que le complémentaire d'un produit cartésien est le produit des complémentaires.
« un simple dessin permettait d'éviter cette erreur basique »
2
Existence de l'intégrale du produit scalaire quasiment jamais prouvéeIII
Dans la définition du produit scalaire de la partie III, très peu de candidats ont cherché à prouver l'existence de l'intégrale, alors qu'il s'agissait d'une question classique.
« seuls 5% des candidats ont cherché à prouver l'existence de l'intégrale et 1% a réussi à le faire correctement »
3
Partie II.B soigneusement évitéeII.B
Cette partie est évitée par la majorité des candidats qui passent directement à la troisième partie, et les rares copies qui l'abordent montrent qu'elle n'est pas maîtrisée.
4
Confusion sur la liberté d'une famille de polynômesIII.B.2
De nombreux candidats pensent à tort qu'une famille de polynômes n'est libre que si les degrés des polynômes sont deux à deux distincts.
5
Étude des courbes en polaires mal maîtriséeII.A.2
L'étude de la courbe en coordonnées polaires n'est pas soignée, avec des dessins parfois fantaisistes malgré l'usage autorisé des calculatrices graphiques.

Ce qui a été bien réussi

Peu de copies étaient quasiment vides, car chaque partie proposait des questions vraiment simples.
La question III.B.4 a été bien réussie lorsqu'elle a été abordée.
La bijection réciproque de la question I.A.7 a été trouvée dans la plupart des copies ayant abordé cette question.

Conseils du jury

Prendre du recul par rapport au sujet et comprendre les objectifs de chacune des parties pour éviter de rester bloqué.
Justifier soigneusement l'existence des intégrales avant de définir un produit scalaire.
Faire un dessin avant de raisonner sur des ensembles définis par des conditions sur les parties réelle et imaginaire.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Notations

On note $⌊x⌋$ la partie entière du réel $x$ .
On se place dans le plan euclidien $ℝ^2$ muni de son repère orthonormé canonique $R$ , d'origine $O$ .

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes ; les parties II et III utilisent les notations

R(z)

V_n(z)

introduites dans la première partie.

I Première partie

IA

- Soit

z

un nombre complexe, de partie réelle

x

et de partie imaginaire

y

, tels que

(x, y) ∉ ℝ^− × {0}

. On note

θ(z) = 2arctan(y/(x + \sqrt(x^2 + y^2))) et R(z) = (z + |z|)/(\sqrt(2(Re(z) + |z|)))

I.A.1) Justifier que

θ

R

sont bien définies.
I.A.2) Lorsque

z

vaut successivement

z_1 = 4, z_2 = 2i

z_3 = 1 - i\sqrt3

, calculer

R(z), θ(z)

(R(z))^2

.
I.A.3) Vérifier que

θ(z) \in ] - π, π[

et que

R(z) \in P = {Z \in ℂ, Re(Z) > 0}

.
I.A.4) Représenter sur une figure le cercle

C

de centre

O

et de rayon

|z|

et les points

M

d'affixe

z

B

d'affixe -

|z|

.
En considérant des angles bien choisis, montrer que

θ(z) = Arg(z) = 2Arg(z + |z|)

où

Arg(z)

désigne la détermination principale de l'argument du nombre complexe

z

.
I.A.5) Déterminer

[R(z)]^2, θ \circ R(z)

|z|^(1/2)e^(iθ(z)/2)

en fonction de

z, R(z)

θ(z)

.
I.A.6) Résoudre à l'aide de

R

l'équation

Z^2 = z

, d'inconnue

Z \in ℂ

.
I.A.7) En déduire que

R

est une bijection de

ℂ∖ℝ^-

dans

P

. Préciser sa bijection réciproque.

Dans la suite du problème, on prolonge

R

ℂ

en posant

R(x) = i\sqrt(|x|)

x \in ℝ^-

.
I.B - Soient

a

b

deux nombres complexes tels que

(a, b) \neq (0, 0)

On dit qu'une suite complexe

U = (u_n)_(n \in ℕ)

vérifie la relation de récurrence (

E_(a, b)

) si l'on a

\foralln \in ℕ, u_(n + 2) = 2au_(n + 1) + bu_n

I.B.1) On suppose que

a^2 + b \neq 0

. On note

d = R(a^2 + b)

. On appelle

W

la suite

W = ((a + d)^n)_(n \in ℕ)

W^'

la suite

W^' = ((a - d)^n)_(n \in ℕ)

.
Montrer que

U

vérifie

E_(a, b)

si et seulement si

U \in Vect(W, W^')

.
Déterminer

U

vérifiant

E_(a, b)

et les conditions initiales

u_0 = 0

u_1 = 1

, en fonction de

d, W

W^'

.
I.B.2) On suppose que

a^2 + b = 0

a \neq 0

. On note

W

W^'

les suites

W = (a^n)_(n \in ℕ)

W^' = (na^n)_(n \in ℕ)

Montrer que

U

vérifie

E_(a, b)

si et seulement si

U \in Vect(W, W^')

.
Déterminer

U

vérifiant

E_(a, b)

et les conditions initiales

u_0 = 0

u_1 = 1

, en fonction de

a, W

W^'

.
Dans la suite du problème, on note:

$U(a, b) = (U_n(a, b))_(n \in ℕ)$ l'unique suite vérifiant $E_(a, b)$ et les conditions initiales $U_0(a, b) = 0$ et $U_1(a, b) = 1$ ;
$V_n(z) = U_(n + 1)(z, - 1)$ pour tous $z \in ℂ$ et $n \in ℕ$ .
I.B.3) Expliciter $V_1(z), V_2(z)$ et $V_3(z)$ et déterminer leurs racines dans $ℂ$ .
I.B.4) Montrer que, pour tous $z \in ℂ$ et $n \in ℕ$ , on a

V_n(z) = \sum_(j = 0)^(⌊n/2⌋)((n - j)/j)(2z)^(n - 2j)(- 1)^j

On pourra procéder par récurrence.

II Deuxième partie

Soit

z \in ℂ

. On note

C_z

(respectivement

Ω_z

) l'ensemble des points du plan d'affixe complexe

Z

tels que

|Z(Z - 2z)| = 1(

respectivement

|Z(Z - 2z)| < 1)

.
II.

A

- Dans cette question on suppose que

z

est un réel noté

a

On se place dans le repère orthonormé

R^'

de centre

O^'

d'affixe

a

, déduit de

R

par translation.
II.A.1) Montrer qu'une équation de la courbe

C_a

en «coordonnées polaires (

ρ, θ

)» dans le repère

R^'

est

(ρ^2 + a^2)^2 - 4a^2 ρ^2 cos^2 θ = 1

II.A.2) Simplifier cette équation lorsque

a = 1

. Étudier et tracer l'allure de la courbe

C_1

.
II.B - On suppose à nouveau

z

complexe quelconque.
II.B.1) Justifier que

Ω_z

est une partie bornée du plan. Est-elle ouverte ? fermée ? compacte ?
II.B.2) Justifier que l'origine

O

est un point intérieur à

Ω_z

.
II.

C

- On reprend dans cette question la notation

R

introduite dans la première partie à la question I.A.
II.C.1) Soit

z \in ℂ

tel que

z^2 \neq 1

. On note

r = |R(z^2 - 1)|, s = |z + R(z^2 - 1)|, t = |z - R(z^2 - 1)|, h = max(s, t)

Prouver que, pour tout

n \in ℕ, |V_n(z)| ⩽ (h^(n + 1))/r

.
II.C.2) Que dire du rayon de convergence de la série entière

Z \mapsto \sum_(n = 0)^(+ \infty)V_n(z)Z^n

On note

g_z

sa somme.
II.C.3) Lorsque cela a un sens, calculer

(1 - 2zZ + Z^2)g_z(Z)

.
II.C.4) Déterminer l'ensemble de définition

D_z

de la fonction

Z \mapsto 1/(1 - 2zZ + Z^2)

.
II.C.5) Montrer qu'il existe un disque ouvert non vide

Δ

de centre

O

inclus dans

Ω_z

tel que

\forallZ \in Δ, 1/(1 - 2zZ + Z^2) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)V_n(z)Z^n = \sum_(p = 0)^(+ \infty)(Z^p(2z - Z)^p)

II.C.6) En déduire que la fonction de la variable réelle

x

G_z : x \mapsto \sum_(p = 0)^(+ \infty)(x^p(2z - x)^p)

admet un développement limité à tout ordre en 0 . On le note

G_z(x) = \sum_(k = 0)^n a_k x^k + o(x^n) x \to 0

Déterminer les coefficients

a_k

pour

k \in ℕ

.
II.C.7) Retrouver alors la relation (I.1).

III Troisième partie

On note :

$α$ un réel tel que $α > - 1/2$ ;
$E$ le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions de classe $C^\infty$ sur $[ - 1, 1]$ et à valeurs réelles;
$F_n$ le sous-espace vectoriel de $E$ des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à $n$ , où $n \in ℕ$ ;
$φ_α$ l'application qui, à toute fonction $y$ de $E$ , associe la fonction

φ_α(y) : t \mapsto (1 - t^2)y^('')(t) - (2α + 1)ty^'(t)

$S_α$ l'application de $E \times E$ dans $ℝ$ définie par

S_α(f, g) = \int_(- 1)^1 f(t)g(t)(1 - t^2)^(α - 1/2) dt

III.A -

III.A.1) Vérifier que

S_α

est un produit scalaire sur

E

.
III.A.2) Justifier que

φ_α

est un endomorphisme de

E

. Est-il injectif ?
III.A.3) Montrer que

\forall(f, g) \in E^2, S_α(φ_α(f), g) = S_α(f, φ_α(g))

On pourra calculer la dérivée de

t \mapsto (1 - t^2)^(α + 1/2)f^'(t)

.
III. B - Soit

n \in ℕ

.
III.B.1) Justifier que

φ_α

induit sur

F_n

un endomorphisme et que cet endomorphisme induit (encore noté

φ_α

) est diagonalisable.
III.B.2) Montrer qu'il existe une base de

F_n

constituée de vecteurs propres de

φ_α

de degrés deux à deux distincts.
III.B.3) Vérifier que deux vecteurs propres de

φ_α

de degrés distincts sont associés à des valeurs propres distinctes.

On pourra s'intéresser au coefficient dominant d'un polynôme judicieux.
III.B.4) Justifier que deux vecteurs propres de

φ_α

de degrés distincts sont orthogonaux.
III.B.5) Montrer que tout vecteur propre de

φ_α

de degré supérieur ou égal à 1 s'annule au moins une fois dans l'intervalle

] - 1, 1[

.
III.

C

- Dans cette partie, on suppose

α = 1

On note

‖ \cdot ‖

la norme associée à

S_1

.
III.C.1) Justifier que, pour tout

k \in ℕ

, il existe un unique polynôme vecteur propre de

φ_1

de degré

k

, de norme 1 et de coefficient dominant positif. On le note

T_k

.
III.C.2) Soit

t \in ]0, π[

. Montrer que la fonction

H_t : x \mapsto 1/(1 - 2xcos(t) + x^2)

est développable en série entière sur

] - 1, 1[

.
III.C.3) En déduire que

\foralln \in ℕ, \forallt \in ]0, π[, V_n(cost) = (sin((n + 1)t))/(sint)

III.C.4) En dérivant deux fois la fonction

t \mapsto (sint)V_n(cost) - sin((n + 1)t)

, montrer que pour tout

n \in ℕ

V_n

est vecteur propre de

φ_1

.
III.C.5) En déduire que, pour tout

n \in ℕ, V_n

T_n

sont proportionnels. Expliciter le coefficient de proportionnalité.
III.C.6) Pour

n \in ℕ^*

, déterminer les racines de

T_n

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Centrale PSI 2014 ?

Le sujet balaie les nombres complexes, les suites récurrentes, les courbes en polaires, les séries entières et les endomorphismes auto-adjoints, autour de l'étude de polynômes orthogonaux.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une erreur classique sur le complémentaire d'un produit cartésien, l'absence quasi générale de preuve de l'existence de l'intégrale définissant le produit scalaire, et une confusion sur la liberté d'une famille de polynômes.

Ce sujet de maths 1 Centrale PSI 2014 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet sans difficulté majeure, mais suffisamment sélectif grâce aux questions techniques réparties dans chaque partie.

Quelle partie du sujet de maths 1 Centrale PSI 2014 est la plus discriminante ?

Le rapport souligne la partie III, en particulier la preuve de l'existence de l'intégrale du produit scalaire, quasiment jamais faite correctement, et la question I.A.4 dont le dessin s'est avéré très discriminant.

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