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Centrale Mathématiques 1 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Coefficients de Fourier de la fonction e^{ix sin t} : forme intégrale, équation différentielle et zéros
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Le problème étudie les coefficients de Fourier exponentiels de la fonction 2π-périodique G_x(t) = e^{ix sin t}. Il établit successivement une forme intégrale et un développement en série entière de ces coefficients, une équation différentielle qu'ils vérifient, leur comportement asymptotique en +∞, puis la répartition de leurs zéros.

  1. 1I. Questions préliminairesPropriétés générales des coefficients de Fourier de G_x : parité, valeurs réelles, identité de Parseval.
  2. 2II. Forme intégrale et développement en série entièreExpression intégrale des coefficients puis développement en série entière et calcul numérique.
  3. 3III. Équation différentielle et étude de φ_n quand x → +∞Équation différentielle vérifiée par φ_n et comportement asymptotique par une méthode de variation des constantes.
  4. 4IV. Étude des zéros de φ_nComparaison à une équation différentielle modèle pour situer et ordonner les zéros de φ_n.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie la longueur et la difficulté du sujet de très raisonnables, tout en notant qu'elles ont permis une hiérarchisation nette des candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre exponentielle réelle et exponentielle imaginaire · Formule de Parseval appliquée sans module · Convergence normale non précisée en II.A
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Le sujet, construit comme un exercice de style autour des notions du programme d'analyse plutôt que comme une problématique unique, a permis un bon étalement des notes. Le jury observe que trop de candidats restent superficiels dans le traitement des questions et oublient des points clés de leurs démonstrations, tandis que les meilleurs se distinguent par la précision du raisonnement.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre exponentielle réelle et exponentielle imaginaire

    Certains candidats attribuent à la fonction exponentielle complexe des propriétés propres à l'exponentielle réelle, comme la positivité ou la croissance.

    « De nombreux élèves ne distinguent pas les propriétés de la fonction exponentielle réelle de celles de la fonction exponentielle imaginaire »
  2. 2
    Formule de Parseval appliquée sans module

    Oublier le module dans l'identité de Parseval conduit à un résultat manifestement faux.

    « La formule de Parseval est souvent appliquée sans module ce qui donne pourtant un résultat clairement absurde. »
  3. 3
    Convergence normale non précisée en II.AII.A

    Il fallait indiquer explicitement la variable et le domaine concernés par la convergence normale, sans se contenter d'invoquer la notion.

    « il fallait absolument préciser par rapport à quelle variable »
  4. 4
    Confusion entre normes de convergence

    La norme de la convergence uniforme est parfois confondue avec celle de la convergence en moyenne quadratique.

    « Il ne faut pas confondre la norme de la convergence uniforme avec celle de la convergence en moyenne quadratique. »
  5. 5
    Fonction non nulle confondue avec fonction ne s'annulant pas

    Cette confusion pose problème notamment dans l'étude des zéros isolés de la partie III.

    « Il ne faut pas confondre fonction non nulle et fonction ne s’annulant pas. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les meilleurs résultats ont été obtenus par les élèves précis dans leur raisonnement et concis dans la rédaction.
  • La méthode de variation des constantes, utilisée en partie III, est assez bien connue des candidats.

Conseils du jury

  • Bien maîtriser les points fondamentaux du programme d'analyse (fonctions, équations, convergences) avant l'épreuve.
  • Toujours préciser la variable et le domaine de convergence lors d'une interversion série-intégrale.
  • Relire sa copie : de nombreuses erreurs de signe ou de majoration sont évitables par une simple prise de recul.
  • Soigner l'orthographe des noms de théorèmes (Dirichlet, Parseval), signe de rigueur pour le correcteur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Mathématiques 1

On considère la famille de fonctions G_x : ℝ → ℂ définies pour x ∈ ℝ par
∀t ∈ ℝ G_x(t) = e^(ixsint)
Ces fonctions sont C^∞ sur ℝ, 2π-périodiques.
Pour tout x ∈ ℝ, on note (φ_n(x))_(n ∈ ℤ) la famille des coefficients de Fourier exponentiels de la fonction G_x.
Pour tout réel x on a donc :
∀n ∈ ℤ φ_n(x) = 1/(2π)∫_(− π)^π G_x(t)e^(− int) dt
Le but du problème est d'étudier quelques propriétés des fonctions φ_n ainsi définies.

I Questions préliminaires

Soit x un réel fixé.
I.A -
I.A.1) Justifier l'égalité
∀t ∈ ℝ G_x(t) = e^(ixsint) = ∑_(n = − ∞)^(+ ∞)φ_n(x)e^(int)
Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de G_x ?
I.A.2) Montrer que pour tout k dans ℕ^∗, |φ_n(x)| = o(1/(n^k)) lorsque n tend vers + ∞.
On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de G_x.
I.B - En exprimant G_x(− t) en fonction de G_x(t), montrer que pour n dans ℤ, φ_n(x) ∈ ℝ.
I.C - Exprimer G_x(t + π) et en déduire les égalités suivantes pour n dans ℤ :
φ_n(− x) = (− 1)^n φ_n(x) = φ_(− n)(x)
Que peut-on dire de la parité de φ_n pour n ∈ ℤ ?
I.D − Calculer ∑_(n = − ∞)^(+ ∞)|φ_n(x)|^2.
L'étude préliminaire permet de restreindre l'étude des fonctions réelles φ_n à ℝ^+et de se limiter au cas où n ⩾ 0.

II Forme intégrale et développement en série entière

Soit n un entier naturel.
II. A - Justifier que pour x réel, |φ_n(x)| ⩽ 1.
II.B - Montrer que pour x réel,
φ_n(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(x^k)/(k!)I_(n, k) avec I_(n, k) = 1/(2π)∫_(− π)^π i^k e^(− int)(sint)^k dt
II. C -
II.C.1) À l'aide de la formule d'Euler, justifier que pour (n, k) dans ℕ × ℕ,
I_(n, k) = ∑_(m = 0)^k(A_(m, k))/(2π)∫_(− π)^π e^(it(2m − k − n))dt
avec A_(m, k) des constantes à préciser.
II.C.2) Vérifier que
{I_(n, k) = 0, si n > k ou si k − n est impair; I_(n, k) = ((− 1)^p)/(2^(n + 2p))((n + 2p)/(n + p)), si k = n + 2p avec p ⩾ 0
II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour n ⩾ 0 et x ∈ ℝ :
φ_n(x) = ∑_(p = 0)^(+ ∞)((− 1)^p)/(p!(n + p)!)(x/2)^(n + 2p)
Préciser le rayon de convergence.
II.C.4) Montrer que φ_n est de classe C^∞ sur ℝ.

II.D - Relation de dérivation

Soit n dans ℕ^∗, vérifier que pour x réel
d/(dx)(x^n φ_n(x)) = x^n φ_(n − 1)(x)

II.E - Calcul numérique de φ_n(x) avec x > 0 fixé

On approche φ_n(x) à l'aide des sommes partielles
S_m = ∑_(p = 0)^m(− 1)^p a_p avec m ∈ ℕ et a_p = 1/(p!(n + p)!)(x/2)^(n + 2p)
II.E.1) À partir de quelle valeur p_0 de p la suite (a_p)_(p ∈ ℕ) est-elle décroissante ?
II.E.2) On suppose N > p_0. Majorer |R_N| en fonction de ( N, n, x) avec
R_N = ∑_(p = N + 1)^(+ ∞)(− 1)^p a_p
En déduire, pour ε > 0 fixé, une condition suffisante sur N pour que |φ_n(x) − S_N| < ε.
La somme partielle S_N est dite alors valeur approchée de φ_n(x) à ε près.
II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d'arguments ( n, x, ε ) retournant une valeur approchée de φ_n(x) à ε près. Les coefficients a_p seront calculés par récurrence.

III Équation différentielle et étude de φ_n quand x → + ∞

Soit n un entier naturel. On étudie l'équation différentielle d'inconnue y
x^2 y^(′′) + xy^′ + (x^2 − n^2)y = 0
On recherche des solutions dans l'ensemble E = C^2(]0, + ∞[).

III.A - Résolution et propriété des solutions

III.A.1) En utilisant le développement de φ_n en série entière (II.1), montrer que φ_n est solution sur [0, + ∞[ de (III.1).
III.A.2) Soit y une solution dans E de (III.1). On pose z(x) = √xy(x) pour tout x ∈ ]0, + ∞[.
Montrer que z est solution dans E d'une équation différentielle du type
z^(′′) + qz = 0
avec q ∈ E.
Préciser l'expression de la fonction q et vérifier que lim_(x → + ∞)q(x) = 1.
III.A.3) Justifier que si z est une solution non nulle de (III.2), alors pour x > 0, (z(x), z^′(x)) ≠ (0, 0).
En déduire que si α est un zéro de z, alors il existe un réel strictement positif η tel que α soit le seul point d'annulation de z sur I = ]α − η, α + η[.
On dit dans ce cas que α est un zéro isolé de z.
III.A.4) Vérifier que les zéros de φ_n sur ]0, + ∞[ sont isolés.
III.B - Comportement asymptotique de φ_n en + ∞
On étudie ici le comportement asymptotique au voisinage de + ∞ d'une solution z ∈ E de l'équation différentielle définie sur ]0, + ∞[, avec λ ∈ ℝ^∗ :
z^(′′) + (1 + λ/(x^2))z = 0
Soit x_0 dans ]0, + ∞[.
III.B.1) En considérant l'équation différentielle (III.3) sous la forme z^(′′) + z = g avec g(x) = (− λ)/(x^2)z(x), la résoudre sur ]0, + ∞[ par la méthode de variation des constantes.
En déduire qu'il existe deux réels A et B tels que
∀x ∈ ]0, + ∞[ z(x) = Acos(x) + Bsin(x) + λ∫_(x_0)^x z(u)sin(u − x)(du)/(u^2)
III.B.2) On pose pour x > 0
h(x) = ∫_(x_0)^x|z(u)|(du)/(u^2)
a) Montrer qu'il existe des constantes réelles μ et M telles que h vérifie l'inégalité différentielle pour x ⩾ x_0
h^′(x) − μ/(x^2)h(x) ⩽ M/(x^2)
Préciser les constantes μ et M en fonction de A, B et λ.
b) En déduire que h est bornée sur [x_0, + ∞[ puis que z est bornée sur ce même intervalle.
Multiplier par e^(μ/x) et intégrer l'inégalité de la question précédente.
III.B.3) Justifier que
∫_x^(+ ∞)z(u)sin(u − x)(du)/(u^2) = O(1/x)
au voisinage de + ∞.
En déduire l'existence de constantes α et β telles qu'au voisinage de + ∞,
z(x) = αcos(x − β) + O(1/x)
III.B.4) Soit n ∈ ℕ. Montrer qu'il existe un couple de réels ( α_n, β_n ) tel que pour x → + ∞,
φ_n(x) = (α_n)/(√x)cos(x − β_n) + O(1/(x√x))

IV Étude des zéros de φ_n

On introduit l'équation différentielle
z_1^(′′)(x) + c^2 z_1(x) = 0 avec c > 0
L'objectif de cette partie est de comparer les solutions des équations différentielles (III.2) et (IV.1) afin d'obtenir des informations sur les zéros des fonctions φ_n.
IV.A - En utilisant l'encadrement de la question II.E.2, montrer que φ_0(3) < 0. En déduire que φ_0 possède un zéro α_0 ∈ ]0, 3[.
On admettra que c'est le premier zéro de φ_0, c'est-à-dire que φ_0 ne s'annule pas sur ]0, α_0[.
IV.B - En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier n ⩾ 1 la fonction φ_n est strictement positive sur ]0, α_0[.
IV. C - Dans cette question, on fixe n ∈ ℕ et c ∈ ]0, 1[. On pose z(x) = √xφ_n(x), pour x > 0.
IV.C.1) Justifier qu'il existe un réel A > 0 tel que pour x > A, q(x) > c^2 ( q définie en III.A.2).
IV.C.2) Soit a > A. On pose pour x > 0, z_1(x) = sin(c(x − a)), solution de IV.1. On définit la fonction W = zz_1^′ − z_1 z^′.
Vérifier que pour x > 0, W^′(x) = (q(x) − c^2)z(x)z_1(x).
IV.C.3) On note I_a = ]a, a + π/c[ et on suppose que φ_n ne possède pas de zéros sur I_a.
Déterminer les signes de W(a), W(a + π/c) et de W^′ sur I_a et aboutir à une contradiction. En déduire que φ_n possède un zéro dans tout intervalle I_a avec a > A.
On pourra distinguer les cas suivant le signe de φ_n sur I_a.
IV.D - Soit n ∈ ℕ.
IV.D.1) Montrer qu'on peut ordonner les zéros de φ_n, c'est-à-dire qu'il existe une suite (α_k^((n)))_(k ∈ ℕ) strictement croissante de zéros de φ_n telle que φ_n ne s'annule pas sur ]0, α_0^((n)) [ et sur tout intervalle] α_k^((n)), α_(k + 1)^((n))[ avec k dans ℕ et que lim_(k → ∞)α_k^((n)) = + ∞.
Construire la suite (α_k^((n)))_(k ∈ ℕ) par récurrence sur k en montrant que l'ensemble Z_k des zéros de φ_n dans l'intervalle ]α_k^((n)), + ∞[ possède un plus petit élément.
IV.D.2) En déduire que la suite (α_k^((n)))_(k ∈ ℕ) vérifie la propriété de répartition asymptotique :
∀c ∈ ]0, 1[, ∃j ∈ ℕ tel que ∀k ∈ ℕ, 0 < α_(j + k + 1)^((n)) − α_(j + k)^((n)) < π/c

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Centrale 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 PSI Centrale 2013 ?

Le sujet porte sur les séries de Fourier et les séries entières, avec une équation différentielle du second ordre et l'étude asymptotique des zéros d'une famille de fonctions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2013 ?

Le jury signale des confusions entre exponentielle réelle et imaginaire, l'oubli du module dans la formule de Parseval, un manque de précision sur la convergence normale en II.A, et la confusion entre fonction non nulle et fonction ne s'annulant pas.

Ce sujet de maths 1 PSI Centrale 2013 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme d'une longueur et d'une difficulté très raisonnables, ce qui a néanmoins permis de bien hiérarchiser les candidats.

Ce sujet de Centrale PSI 2013 est-il un bon entraînement sur les séries de Fourier ?

Oui, le rapport indique que le sujet mobilise une part importante du programme d'analyse : séries de Fourier, séries entières, séries alternées et équations différentielles.

Pas de description pour le moment