Centrale Mathématiques 2 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

Exponentielle de matrice

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Exponentielle de matrices : matrices antisymétriques, diagonalisables, nilpotentes puis cas général

Ce problème de mathématiques 2, filière PSI, définit l'exponentielle de matrices complexes comme limite d'une suite plutôt que par développement en série entière, à partir d'une question préliminaire sur la limite de (1+z/n)^n. Il étudie ensuite ce cas particulier des matrices antisymétriques réelles en dimensions 2 et 3, puis des matrices diagonalisables et nilpotentes, avant de traiter le cas général par une réduction par blocs.

1I. Question préliminaireÉtablir que la limite de (1+z/n)^n vaut exp(z) pour tout complexe z, ce qui motive la définition de l'exponentielle de matrice utilisée dans le sujet.
2II. Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3Étude de l'exponentielle de matrices antisymétriques réelles, d'abord en dimension 2 puis en dimension 3.
3III. Exponentielle de matrices diagonalisablesExistence et propriétés de l'exponentielle pour les matrices diagonales puis diagonalisables, et exponentielle d'une somme.
4IV. Exponentielle de matrices nilpotentesÉtude de l'exponentielle d'une matrice nilpotente.
5V. Cas généralTraitement du cas général de l'exponentielle d'une matrice, via le polynôme caractéristique et une réduction par blocs.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie le sujet de progressif, avec une longueur et une difficulté bien adaptées à la filière, abordable par tous grâce à de nombreuses questions élémentaires, tout en permettant aux meilleurs candidats de se distinguer et un étalement important des notes.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Calcul d'argument mal maîtrisé · Caractérisation incomplète du groupe spécial orthogonal · Réflexe erroné sur la norme d'une matrice orthogonale

Le jury observe que les meilleurs candidats ont su entrer de plain-pied dans le cadre du sujet et mettre en valeur leur maîtrise du cours, tandis qu'un nombre non négligeable de copies se contentait de paraphraser les questions. Il relève surtout un manque récurrent de recul critique face aux résultats obtenus.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Calcul d'argument mal maîtriséI.A
Le calcul d'un argument nécessitait de distinguer différents cas selon les valeurs du réel a ; beaucoup de candidats ont oublié que la fonction arctan est à valeurs dans un intervalle borné.
2
Caractérisation incomplète du groupe spécial orthogonalII.A.1
Beaucoup de candidats se limitent au calcul du déterminant pour prouver qu'une matrice appartient au groupe spécial orthogonal, sans caractérisation complète.
3
Réflexe erroné sur la norme d'une matrice orthogonaleII.B.3
Une affirmation incorrecte revient souvent dans les copies alors qu'un simple calcul aurait permis de l'éviter.
« une matrice orthogonale est de norme 1 »
4
Justification fausse de l'inversibilité de l'exponentielle
Certains candidats justifient l'inversibilité de l'exponentielle d'une matrice diagonale par des affirmations fausses sur les matrices ou sur l'exponentielle complexe.
« toute matrice diagonale est inversible »
5
Manque de rigueur avec la formule du binôme matricielle
Dans la partie sur les matrices nilpotentes, l'emploi de la formule du binôme dans un cadre matriciel est utilisé sans être justifié, alors que cela est indispensable puisque les matrices ne commutent pas toujours.

Ce qui a été bien réussi

Le calcul de la limite de la question I.B a été plutôt bien traité malgré le recours nécessaire à des développements limités.
La définition d'un morphisme de groupes, utilisée en III.A.3, est en général connue des candidats.
Certains candidats ont pensé à utiliser et justifier un argument de continuité du produit matriciel en II.B.4, ce qui leur a valu la bienveillance des correcteurs.

Conseils du jury

Prendre du recul et examiner d'un œil critique les résultats obtenus plutôt que de vouloir fournir une réponse coûte que coûte.
Redémontrer un résultat hors programme plutôt que de l'invoquer directement, même si la démonstration est courte.
Utiliser les résultats déjà établis dans le sujet (par exemple la partie I) plutôt que de recourir à des outils mal maîtrisés comme les logarithmes ou équivalents matriciels.
Justifier explicitement l'emploi de la formule du binôme dans un cadre matriciel, où la commutativité n'est pas automatique.
Soigner la présentation de la copie et mettre les résultats en valeur en les encadrant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Exponentielle de matrices

Le but du sujet est d'étudier l'exponentielle de matrices, réelles ou complexes.
Dans tout le sujet,

p

désigne un entier naturel non nul.
Si

𝕂

désigne un corps,

ℝ

ℂ

, on adopte les notations suivantes :

$𝕂[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients dans $𝕂$ .
$𝕂_p[X]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients dans $𝕂$ de degré au plus $p$ .
$M_p(𝕂)$ est l'ensemble des matrices carrées d'ordre $p$ à coefficients dans $𝕂$ .
$I_p$ est la matrice identité de $M_p(𝕂)$ .
Une matrice $A \in M_p(𝕂)$ est dite antisymétrique si $^t A = - A$ .
$GL_p(𝕂)$ est l'ensemble des matrices inversibles de $M_p(𝕂)$ .
On note tr l'application trace et det l'application déterminant.
$O_p(ℝ)$ est l'ensemble des matrices orthogonales à coefficients dans $ℝ$ et d'ordre $p$ .
$SO_p(ℝ)$ est l'ensemble des matrices de $O_p(ℝ)$ de déterminant 1 .
On munit $M_p(𝕂)$ de la norme quadratique $‖ \cdot ‖_2$ définie par

\forallA = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p) \in M_p(𝕂), ‖A‖_2 = \sqrt(\sum_(i = 1)^p\sum_(j = 1)^p|a_(ij)|^2⎷) = \sqrt(tr(^t A¯A))

et on munit

M_p(𝕂)

de la structure d'espace vectoriel normé associée.

Si $A$ est une matrice de $M_p(𝕂)$ , on note $u_A$ l'endomorphisme de $𝕂^p$ canoniquement associé à la matrice $A$ et, par abus de notation, $KerA = Keru_A$ .
Si $A$ est une matrice de $M_p(𝕂)$ on définit, lorsque la limite existe,

E(A) = lim_(n \to \infty)(I_p + 1/nA)^n

Lorsque $𝕂 = ℝ$ on munit $ℝ^p$ de sa structure canonique d'espace euclidien.

I Question préliminaire

Soit

z \in ℂ

.
On pose

z = a + ib

, où

a, b \in ℝ

.
I.

A

- Soit

n \in ℕ^*

. Déterminer le module et un argument de

(1 + z/n)^n

en fonction de

a, b

n

I.B

- En déduire que

lim_(n \to \infty)(1 + z/n)^n = e^z

II Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3

II.A - Matrices antisymétriques d'ordre 2

Soit

n \in ℕ^*

. Soit

A \in M_2(ℝ)

une matrice antisymétrique. On pose

A = (0, - α; α, 0)

où

α \in ℝ

.
II.A.1) Déterminer un nombre

β_n \in ℝ_+^*

tel que

1/(β_n)(I_2 + 1/nA) \in SO_2(ℝ)

II.A.2) Déterminer un nombre réel

θ_n

tel que

1/(β_n)(I_2 + 1/nA) = (cosθ_n, - sinθ_n; sinθ_n, cosθ_n)

II.A.3) En déduire que

E(A)

existe et que c'est une matrice de rotation, dont on précisera l'angle.

II.B - Matrices antisymétriques d'ordre 3

II.B.1) Soit

B \in M_3(ℝ)

antisymétrique.
a) Montrer que

detB = 0

.
b) Montrer que

(Keru_B)^⊥

est stable par

u_B

.
c) En déduire que

B

est de rang 0 ou 2 .
II.B.2) Montrer qu'il existe une matrice

P

O_3(ℝ)

et un réel

β

tels que

B = P(0, 0, 0; 0, 0, - β; 0, β, 0)P^(- 1)

II.B.3) Montrer que lorsque l'égalité de la question précédente est vérifiée, on a

|β| = (‖B‖_2)/(\sqrt2)

.
II.B.4) Montrer que

E(B)

existe et est une matrice de rotation. Préciser la valeur de son angle non orienté en fonction de

‖B‖_2

III Exponentielle de matrices diagonalisables

III.A - Cas des matrices diagonales

Soit

D \in M_p(𝕂)

une matrice diagonale.
III.A.1) Montrer que

E(D)

existe et que

E(D) \in GL_p(ℂ)

.
III.A.2) Montrer qu'il existe un polynôme

Q \in ℂ[X]

tel que

Q(D) = E(D)

.
III.A.3) Soit (

Δ, +

) le sous-groupe additif de

M_p(ℝ)

formé par les matrices diagonales.

Montrer que

E

définit un morphisme de groupe de (

Δ, +

) dans (

GL_p(ℝ), \times

III.B - Existence et propriétés de $E(A)$ lorsque $A$ est diagonalisable

Soit

A \in M_p(𝕂)

une matrice diagonalisable.
III.B.1) Montrer que

E(A)

existe.
III.B.2) Montrer que

det(E(A)) = e^(tr(A))

.
III.B.3) Soit

x \in ℂ

Montrer que

E(xI_p + A)

existe et que

E(xI_p + A) = e^x E(A)

III.C - Exponentielle de la somme

Soient

A, B \in M_p(𝕂)

deux matrices diagonalisables. On suppose que

A

B

commutent.
III.C.1) Montrer qu'il existe

P \in GL_p(ℂ)

telle que

P^(- 1)AP

P^(- 1)BP

soient diagonales.

On étudiera les restrictions de

u_B

aux sous-espaces propres de

u_A

.
III.C.2) En déduire que

E(A + B)

existe et que

E(A + B) = E(A)E(B) = E(B)E(A)

IV Exponentielle de matrices nilpotentes

Soit

A \in M_p(ℂ)

k \in ℕ^*

tel que

A^k = 0

A^(k - 1) \neq 0

(on dit que

A

est nilpotente d'ordre

k

). Soit également

B \in M_p(ℂ)

IV.A -

IV.A.1) Montrer que, pour tout entier

j

tel que

1 ⩽ j ⩽ k, KerA^(j - 1)

est inclus strictement dans

KerA^j

.
IV.A.2) En déduire que

k ⩽ p

.
IV.B - Montrer que

E(A)

existe. Proposer une procédure Maple ou Mathematica prenant en entrée une matrice triangulaire supérieure stricte

A

et renvoyant la valeur de

E(A)

.
IV.

C

- Montrer qu'il existe un polynôme

Q \in ℂ[X]

tel que

Q(A) = E(A)

.
IV.D - Soit

B \in M_p(ℂ)

. On suppose que

A

B

commutent et que

E(B)

existe.

On admet que, pour tout entier

i

compris entre 1 et

p

lim_(n \to \infty)(I_p + 1/nB)^n = lim_(n \to \infty)(I_p + 1/nB)^(n - i)

Montrer que

E(A + B)

existe et que

E(A + B) = E(A)E(B)

.
IV.E - Soit

x \in ℂ

Montrer que

E(xI_p + A)

existe et que

E(xI_p + A) = e^x E(A)

.
IV.F - Montrer que

E(A) - I_p

est nilpotente.

V Cas général

Soit

A \in M_p(ℂ)

n \in ℕ^*

. On note

P_n(X) = (1 + X/n)^n \in ℂ[X]

χ_A

le polynôme caractéristique de

A

défini par

χ_A(X) = det(A - XI_p)

V.A - Liens avec le polynôme caractéristique

V.A.1) Montrer qu'il existe un unique couple

(Q_n, R_n) \in ℂ[X] \times ℂ_(p - 1)[X]

tel que

P_n = Q_n χ_A + R_n

V.A.2) Montrer que

E(A)

existe si et seulement si

lim_(n \to \infty)R_n(A)

existe.
V.A.3) Soient

k \in ℕ^*

λ_1, λ_2, \dots, λ_k

les racines de

χ_A

deux à deux distinctes, dont on note

n_1, n_2, \dots, n_k

les ordres de multiplicité respectifs.

Pour tout entier

q

compris entre 1 et

p

, on note

J_q

la matrice de

M_q(ℂ)

dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés juste au-dessus de la diagonale qui valent 1.

Montrer que, pour tout

x \in ℂ

, pour tout entier

q

compris entre 1et

p

, la famille

{(xI_q + J_q)^i, 0 ⩽ i ⩽ q − 1}

est libre.
V.A.4) Soit

B = diag{λ_1 I_(n_1) + J_(n_1), …, λ_k I_(n_k) + J_(n_k)}

la matrice diagonale par blocs définie par

B = (λ_1 I_(n_1) + J_(n_1), 0, \dots, 0; 0, λ_2 I_(n_2) + J_(n_2), \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, λ_k I_(n_k) + J_(n_k))

Montrer que

χ_B = χ_A

V. $B$ - Convergence de $E(A)$

V.B.1) Soit

i

un entier

⩾ 1

Montrer que

B^i = ((λ_1 I_(n_1) + J_(n_1))^i, 0, \dots, 0; 0, (λ_2 I_(n_2) + J_(n_2))^i, \dots, 0; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, \dots, 0, (λ_k I_(n_k) + J_(n_k))^i)

V.B.2) Soit

P

un polynôme annulateur non nul de la matrice

B

.
a) Montrer que le degré de

P

est

⩾ p

.
b) En déduire que la famille

{B^i, 0 ⩽ i ⩽ p − 1}

est libre.
V.B.3) Montrer que

lim_(n \to \infty)P_n(B)

existe.
V.B.4) En déduire que

E(A)

existe.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 de Centrale PSI 2013 ?

Elle porte sur l'exponentielle de matrices : matrices antisymétriques réelles, matrices diagonalisables, matrices nilpotentes et cas général, en mobilisant l'algèbre linéaire et bilinéaire ainsi que des outils d'analyse.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de Centrale PSI ?

Le jury signale un manque de recul critique face aux résultats obtenus, des caractérisations incomplètes du groupe spécial orthogonal, des affirmations fausses sur l'inversibilité des matrices diagonales et un usage non justifié de la formule du binôme dans un cadre matriciel.

Ce sujet de mathématiques 2 de Centrale PSI 2013 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme progressif, avec une difficulté bien adaptée à la filière et abordable par tous, tout en permettant aux meilleurs candidats de se distinguer sur les questions les plus délicates.

Faut-il bien connaître le cours sur les matrices antisymétriques et diagonalisables pour ce sujet ?

Oui, le sujet mobilise directement ces notions de cours et le jury valorise les candidats capables d'entrer dans le cadre du sujet en s'appuyant sur une maîtrise solide du cours plutôt que de paraphraser les questions.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Exponentielle de matrices

I Question préliminaire

II Matrices antisymétriques réelles d'ordre 2 ou 3

II.A - Matrices antisymétriques d'ordre 2

II.B - Matrices antisymétriques d'ordre 3

III Exponentielle de matrices diagonalisables

III.A - Cas des matrices diagonales

III.B - Existence et propriétés de E(A) lorsque A est diagonalisable

III.C - Exponentielle de la somme

IV Exponentielle de matrices nilpotentes

IV.A -

V Cas général

V.A - Liens avec le polynôme caractéristique

V. B - Convergence de E(A)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 de Centrale PSI 2013 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de Centrale PSI ?

Ce sujet de mathématiques 2 de Centrale PSI 2013 est-il difficile ?

Faut-il bien connaître le cours sur les matrices antisymétriques et diagonalisables pour ce sujet ?

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III.B - Existence et propriétés de $E(A)$ lorsque $A$ est diagonalisable

V. $B$ - Convergence de $E(A)$