Mines Mathématiques 2 PSI 2013Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

La formule du triple produit de Jacobi et son application au dénombrement des partitions d'un entier

Le sujet de mathématiques 2 de la filière PSI au concours Mines-Ponts 2013 démontre la formule du triple produit de Jacobi, qui transforme des sommes infinies en produits infinis. Il mobilise suites, séries, séries entières, analyse classique et dénombrement, avant d'appliquer le résultat au calcul du nombre de partitions d'un entier.

11. PréambuleDémonstration par récurrence d'une inégalité sur un produit fini de complexes, utile pour la suite du problème.
22. La formule de JacobiÉtude de la convergence de produits infinis puis de séries entières associées, pour aboutir à la démonstration de la formule du triple produit.
33. Le nombre de partitions d'un entierApplication de la formule précédente pour établir la formule des nombres pentagonaux d'Euler et calculer les premières valeurs du nombre de partitions.

Difficile. Le rapport indique que les résultats ont été très décevants sur des mathématiques pourtant classiques, avec une moyenne de 8,36/20 malgré un barème remonté de façon importante.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,36 / 20

Moyenne: 8,36/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Récurrence mal initialisée · Calcul avec les nombres complexes mal maîtrisé · Convexité de l'exponentielle non exploitée

Le jury juge les prestations globalement décevantes : l'énoncé est souvent insuffisamment lu, les raisonnements sont flous ou fantaisistes, et le cours est très souvent mal su. Il relève aussi un grand nombre de copies mal écrites, avec des raisonnements rédigés comme au brouillon plutôt que comme une solution aboutie.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Récurrence mal initialiséeQ1
À la question 1, la récurrence est souvent non initialisée ou initialisée avec un entier k au lieu de 1, alors que la démonstration attendue est simple.
« La récurrence est souvent non initialisée, ou initialisée avec un entier k au lieu de 1 »
2
Calcul avec les nombres complexes mal maîtriséQ4
La question 4 est quasiment jamais réussie : les candidats ont de grandes difficultés à calculer avec des nombres complexes.
« Les candidats ont beaucoup de difficultés à calculer avec des nombres complexes. »
3
Convexité de l'exponentielle non exploitéeQ6
La question 6 est souvent abordée mais quasiment jamais réussie, alors qu'il suffisait d'utiliser la convexité de la fonction exponentielle.
« On pouvait utiliser avec profit la convexité de la fonction exponentielle. »
4
Confusion entre série entière et série de LaurentQ9
À la question 9, beaucoup de candidats invoquent à tort l'unicité des coefficients d'une série entière, alors que F se décompose en une série de Laurent, notion hors programme.
« mais d’une série de Laurent, notion qui ne figure pas au programme. »
5
Copies rédigées comme un brouillon
Le jury signale un grand nombre de copies mal écrites, avec ratures et absence de rédaction, alors que la copie doit être le résultat abouti d'une réflexion menée au brouillon.
« La copie rendue par un candidat ne doit pas être le lieu de ses réflexions, de ses essais, de ses erreurs et de ses égarements. »

Ce qui a été bien réussi

La question 7, sur la réindexation de sommes de séries, est l'une des plus appréciées et des mieux réussies, même si le jury attendait une rédaction rigoureuse malgré un résultat donné dans l'énoncé.
Le jury indique avoir eu la satisfaction de corriger un certain nombre de très bonnes copies.

Conseils du jury

Lire le sujet en entier avant de commencer la résolution, pour bénéficier d'une vision globale utile à certaines questions.
Bien connaître son cours, qui fournit tous les outils nécessaires à la rédaction d'une solution correcte.
Réfléchir complètement à une question avant d'en commencer la rédaction, pour éviter les simulacres de démonstration.
Rédiger la copie comme une solution aboutie et non comme un brouillon, en réservant essais et erreurs au brouillon.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2013

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

La formule du triple produit de Jacobi

On note

N

l'ensemble des entiers naturels,

N^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls,

Z

l'ensemble des entiers relatifs,

C

l'ensemble des nombres complexes et

C^*

l'ensemble des nombres complexes non nuls.

a_n, n \geq 1

est une suite numérique, on note

\prod_(n = 1)^(+ \infty)a_n

la limite (si elle existe) de la suite

A_n = \prod_(k = 1)^n a_k = a_1 a_2\dotsa_(n - 1)a_n

L'expression :

i = 1, m

signifie "pour tout

i

entier tel que

1 \leq i \leq m

."
Soit

ζ \in C

, on rappelle que si

ℜ𝔢ζ > 0

, alors

Argζ = Arctg(ℑ𝔪ζ/ℜ𝔢ζ)

.
Dans tout ce problème

z

notera un nombre complexe non nul et

x

un nombre réel tel que

|x| < 1

1 Préambule

Question 1 Soient

(ξ_k)_(k \in N)

une suite dans

C

n \in N

, démontrer par récurrence que

|\prod_(k = 1)^n(1 + ξ_k) - 1| \leq \prod_(k = 1)^n(1 + |ξ_k|) - 1

2 La formule de Jacobi

On pose

Q(x) = \prod_(k = 1)^\infty(1 - x^(2k)) et H(x, z) = \prod_(k = 1)^\infty(1 + z^2 x^(2k - 1))

Question 2 Montrer que

Q(x)

est bien défini, c'est-à-dire que la suite de terme général

\prod_(k = 1)^n(1 - x^(2k))

converge.
Question 3 Soit

ρ_k = |1 + z^2 x^(2k - 1)|

, montrer que le produit infini

\prod_(k = 1)^\inftyρ_k

converge. On pourra utilement penser à l'utilisation du Logarithme pour transformer le produit infini en série.
Question 4 Soit

θ_k = Arg(1 + z^2 x^(2k - 1))

, montrer que la série

\sum_(k = 1)^\inftyθ_k

converge.
Question 5 En déduire que

H

est bien défini.
Question 6 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que

Q(x) \to 1

quand

x \to 0

.
On pose

F(x, z) = H(x, z)H(x, z^(- 1)).

Question 7 Montrer que

F(x, xz) = (1 + z^(- 2)x^(- 1))\prod_(k = 1)^\infty(1 + z^2 x^(2k + 1))\prod_(k = 1)^\infty(1 + z^(- 2)x^(2k - 1))

et en déduire que

xz^2 F(x, xz) = F(x, z)

.
On admettra que

F(x, z)

se décompose de façon unique sous la forme suivante :

F(x, z) = F_1(x, z) + F_2(x, z^(- 1))

où pour

x

fixé,

F_1(x, ξ)

F_2(x, ξ)

sont les sommes respectives de deux séries entières de rayon de convergence infini, soit

F_1(x, ξ) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)a_k(x)ξ^k et F_2(x, ξ) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)a_(- k)(x)ξ^k

les fonctions

a_k, k = 0, + \infty

a_(- k), k = 1, + \infty

de la variable réelle

x

étant à valeurs dans C. On notera

F(x, z) = \sum_(k = - \infty)^(+ \infty)a_k(x)z^k, z \in C^*

Question 8 On pose

F_1^n(x, z) = \sum_(k = 0)^n a_k(x)z^k

. Démontrer que

a_0(x) = F_1(x, 0)

et que, pour

n \geq 0, a_(n + 1)(x) = lim_(z \to 0)(F_1(x, z) - F_1^n(x, z))/z^(n + 1)

.
Question 9 En déduire que si

F(x, z)

vérifie à la fois (4) et

F(x, z) = \sum_(k = - \infty)^(+ \infty)d_k(x)z^k

, alors

\forallk \in Z

les fonctions

a_k

d_k

sont égales, c'est-à-dire que les coefficients

a_k(x)

dans l'expression (4) de

F(x, z)

sont déterminés de façon unique.
Question 10 Montrer qu'il existe des fonctions

b_m, m \in Z

, de la variable réelle

x, a^‵

valeurs dans

C

, telles que

\forallz \in C^*, F(x, z) = \sum_(m = - \infty)^(+ \infty)b_m(x)z^(2m)

Question 11 A l'aide de la question 7, montrer que

\forallm \in Z, b_m(x) = b_(m - 1)(x)x^(2m - 1)

.
Question 12 Montrer que

\forallm \in N, b_m(x) = b_(- m)(x)

et donner l'expression de

b_m(x)

en fonction de

b_0(x)

x

.
Question 13 A l'aide de l'inégalité (1) démontrer que

H(x, z) \to 1

quand

x \to 0

.
Question 14 En déduire que

b_0(x) \to 1

quand

x \to 0

.
On pose

P(x, z) = Q(x)F(x, z) et η = e^(iπ/4)

Question 15 Montrer que

P(x, η) = \prod_(k = 1)^\infty(1 - x^(4k))\prod_(k = 1)^\infty(1 - x^(4k - 2))\prod_(k = 1)^\infty(1 + x^(4k - 2))

Question 16 En déduire que

P(x, η) = P(x^4, i)

.
On pose

c_m(x) = Q(x)b_m(x)

.
Question 17 A l'aide de la question 16 et de l'expression de

b_m(x)

de la question 12, montrer que

c_0(x^4) = c_0(x)

.
Question 18 En utilisant une récurrence et à l'aide des questions 14 et 6, en déduire que pour tout

x \in ] - 1, 1[, c_0(x) = 1

et la formule du triple produit

\prod_(k = 1)^\infty(1 - x^(2k))\prod_(k = 1)^\infty(1 + z^2 x^(2k - 1))\prod_(k = 1)^\infty(1 + z^(- 2)x^(2k - 1)) = \sum_(m = - \infty)^(+ \infty)x^(m^2)z^(2m).

3 Le nombre de partitions d'un entier

Question 19 En posant

x = t^(3/2)

et par un choix judicieux de

z^2

, déduire la formule des nombres pentagonaux d'Euler :

\prod_(m = 1)^\infty(1 - t^m) = \sum_(m = - \infty)^(+ \infty)(- 1)^m t^((3m^2 + m)/2), t \in R, 0 \leq t < 1,

de celle du triple produit (6).
Si

n

est un entier positif, on note

p(n)

et on appelle nombre de partitions de

n

le nombre de façons de représenter

n

comme une somme d'entiers positifs sans prendre en considération l'ordre des termes; c'est encore le nombre de solutions

(r_1, r_2, \dots, r_n) \in (N^*)^n

de l'équation

\sum_(j = 1)^n r_j = n, telles que r_1 \geq r_2 \geq \dots \geq r_n \geq 1.

On aura par exemple

p(3) = 3

car

3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1

, partitions que l'on représente sous la forme des trois diagrammes de Ferrer suivants :

On note

S_1

l'ensemble des solutions de (8). On note également

S_2

l'ensemble des solutions

(q_1, q_2, \dots, q_n) \in (N^*)^n

\sum_(j = 1)^n jq_j = n.

On note

f

l'application

(N^*)^n ⟶ (N^*)^n

définie par

f(q_1, q_2, \dots, q_n) = (r_1, r_2, \dots, r_n)

où

r_j = \sum_(i = j)^n q_i

.
Question 20 En s'aidant de l'application

f

, démontrer que

S_1

S_2

comportent le même nombre d'éléments.
Question 21 Démontrer que pour

n > 0, p(n)

est le coefficient de

t^n

dans le développement de

\prod_(k = 1)^n(\sum_(i = 0)^n t^(ik))

.
Question 22 A l'aide de la formule d'Euler (7), démontrer que

(1 + \sum_(k = 1)^\inftyp(k)t^k)(\sum_(m = - \infty)^(+ \infty)(- 1)^m t^((3m^2 + m)/2)) = 1.

Question 23 En déduire la valeur de

p(n), n = 1, 7

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 PSI Mines-Ponts 2013 ?

Le sujet démontre la formule du triple produit de Jacobi à partir de suites, séries et séries entières, puis l'applique au dénombrement du nombre de partitions d'un entier.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 PSI Mines-Ponts 2013 ?

La moyenne obtenue par les candidats est de 8,36 sur 20, malgré un barème remonté de façon importante selon le rapport.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de mathématiques 2 PSI 2013 ?

Le jury relève des récurrences mal initialisées, de grandes difficultés à calculer avec des nombres complexes, des questions bâclées ou non exploitées (convexité de l'exponentielle) et une confusion entre série entière et série de Laurent.

Ce sujet de mathématiques 2 PSI 2013 est-il difficile ?

Le rapport le juge globalement décevant : la moyenne de 8,36/20 et le grand nombre de raisonnements flous ou de simulacres de démonstration montrent un sujet mal maîtrisé par la majorité des candidats.

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