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Mines Mathématiques 2 PSI 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions d'endomorphismes symétriques : quotient de Rayleigh, relation d'ordre de Löwner et inégalité de Löwner-Heinz
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Le problème étudie la notion de fonction d'un endomorphisme symétrique. La première partie explore les propriétés des endomorphismes symétriques et la construction de f(T) pour une fonction f et un endomorphisme symétrique T. La deuxième partie introduit la relation d'ordre de Löwner sur les endomorphismes symétriques et la croissance de certains opérateurs. La troisième partie démontre l'inégalité de Löwner-Heinz à l'aide de l'intégration de fonctions à valeurs dans un espace d'endomorphismes.

  1. 1Partie 1 : Fonctions d'endomorphismes symétriquesÉtude des propriétés des endomorphismes symétriques, du quotient de Rayleigh et de la construction de f(T) pour une fonction f et un endomorphisme symétrique T.
  2. 2Partie 2 : Relation d'ordre sur les endomorphismes symétriquesÉtude de la relation d'ordre de Löwner et de la croissance de certains opérateurs associés à des fonctions réelles.
  3. 3Partie 3 : Inégalité de Löwner-HeinzDémonstration de la croissance de l'opérateur t vers t puissance a pour a entre 0 et 1, à l'aide de l'intégrabilité de fonctions à valeurs dans les endomorphismes.

Difficile. La moyenne des candidats n'est que de 8,55/20 malgré un barème généreux, et le rapport qualifie explicitement les prestations de globalement très décevantes.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,55 / 20
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Moyenne
8,55/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre endomorphisme et sa matrice · Confusion entre valeur propre et homothétie · Notation T^j mal comprise
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Le problème a été perçu comme simple par une majorité de candidats, alors qu'il est assez subtil. La plupart sont passés à côté des difficultés sans les identifier, par méconnaissance du cours et par manque de temps consacré à la compréhension de l'énoncé. Malgré un barème généreux, la moyenne n'est que de 8,55/20 et le jury juge les prestations globalement très décevantes, avec des raisonnements souvent flous et un cours mal maîtrisé.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre endomorphisme et sa matrice1

    Pour la question 1, pourtant très simple, certains candidats parlent de « la transposée de T », ce qui n'a pas de sens car T est un endomorphisme et non une matrice.

    « Certains candidats utilisent ”la transposée de T”, ce qui n’a pas de sens, car T est un endomorphisme et non une matrice. »
  2. 2
    Confusion entre valeur propre et homothétie2

    Certaines copies affirment que si λ est valeur propre de T, alors Tx = λx pour tout vecteur x, ce qui reviendrait à dire qu'un endomorphisme ayant une valeur propre est une homothétie.

    « Ainsi, un endomorphisme qui a au moins une valeur propre est une homothé tie ! »
  3. 3
    Notation T^j mal comprise6

    De nombreux candidats ne comprennent pas la signification de la puissance d'un endomorphisme et écrivent des égalités absurdes, comme si l'on élevait le vecteur T(x) à la puissance j.

    « Beaucoup de candidats n’ont même pas compris la signification de l’expression ”T j”. »
  4. 4
    Nombre de solutions fantaisiste pour C² = S11

    Très peu de candidats montrent correctement l'existence et l'unicité d'une solution positive à l'équation C² = S ; les réponses données pour le nombre total de solutions dans l'ensemble des endomorphismes symétriques sont souvent fantaisistes.

    « Le nombre de solutions trouvées dans Sn est la plupart du temps fantaisiste : 2, 2n, ou n! »
  5. 5
    Définition de la relation d'ordre méconnue12

    La définition d'une relation d'ordre, avec ses conditions exactes (réflexivité, antisymétrie, transitivité), est très largement méconnue des candidats.

    « La définition d’une relation d’ordre est très largement méconnue. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions traitées avec le plus de succès ont été les questions 2, 4 (le sens facile), 8 (le sens facile), 9, 10, la première partie de la question 11, le contre-exemple de la question 14 et le début de la question 15.

Conseils du jury

  • Lire le sujet en entier avant de commencer la résolution, pour obtenir une vision globale utile à certaines questions.
  • Bien connaître son cours, qui contient tous les outils nécessaires à la rédaction d'une bonne solution.
  • Réfléchir complètement à une question avant d'en commencer la rédaction, pour garantir clarté et rigueur.
  • Lorsqu'on utilise un théorème, en donner un énoncé exact et vérifier que toutes ses hypothèses sont satisfaites.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions d'endomorphismes

Dans ce texte on note R l'ensemble des nombres réels, R^+l'ensemble des réels positifs ou nul et R^(+ ∗) l'ensemble des réels strictement positifs.
Pour tout entier n strictement positif on note L_n l'ensemble des endomorphismes de R^n; l'identité de L_n est notée I. Le produit scalaire Euclidien de R^n est noté ( x, y ) et la norme associée ‖x‖ = (x, x)^(1/2). Si s ∈ L_n, l'ensemble des valeurs propres de S est noté σ(s). On définit la fonction Q_s sur R^n∖{0} à valeurs dans R de la façon suivante :
Q_S(x) = ((S(x), x))/(‖x‖^2);
c'est le quotient de Rayleigh de S.
On note S_n l'ensemble des endomorphismes symétriques de R^n. Si T ∈ S_n, on note respectivement m(T) et M(T) le minimum et le maximum de σ(T). On dit que T ∈ S_n est un endomorphisme positif (resp. strictement positif) si ∀x ≠ 0, x ∈ R^n, on a (T(x), x) ≥ 0(resp.(T(x), x) > 0). L'ensemble des endomorphismes positifs (resp. strictement positifs) est noté S_n^+(resp. S_n^(+ ∗) ).

1 Fonctions d'endomorphismes symétriques

Dans cette partie on considère T ∈ S_n.
Question 1 Soient T_1 et T_2 appartenant à S_n, démontrer que T_1 + T_2 ∈ S_n.
Question 2 Montrer que Q_T(x) : R^n∖{0} ⟶ R atteint les valeurs m(T) et M(T).
Question 3 Démontrer que l'on a
m(T) = min_(x ∈ R^n, x ≠ 0)Q_T(x) et M(T) = max_(x ∈ R^n, x ≠ 0)Q_T(x)
On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de T à cet effet.
Question 4 Montrer que T ∈ S_n^+(resp. T ∈ S_n^(+ ∗) ) si et seulement si σ(T) ⊂ R^+(resp. σ(T) ⊂ R^(+ ∗)).
Soit J un intervalle contenant σ(T) et f une fonction définie sur J, à valeurs dans R.
Question 5 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire U telle que
U(y) = f(λ)y, ∀λ ∈ σ(T), ∀y ∈ ker(T − λI)
et que U ∈ S_n.
On notera U = f(T) l'endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à considérer f comme une application de S_n dans lui-même.
Question 6 Soit p la restriction à J d'une fonction polynômiale à coefficients réels; on note p(t) = ∑_(j = 0)^k α_j t^j, avec α_j ∈ R pour tout j vérifiant 0 ≤ j ≤ k. Démontrer que l'endomorphisme symétrique p(T) est égal à α_0 I + ∑_(j = 1)^k α_j T^j, où
T^j = T ∘ T ∘ ⋯ ∘ T_()_(j fois).
Question 7 Y-a-t-il des fonctions g : J ⟶ R telles que g(T) ne soit pas égal à un polynôme de T ?
Question 8 Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de f(T) en fonction de ceux de T .
Question 9 Pour des fonctions f et g définies sur l'intervalle J, démontrer que (fg)(T) = f(T) ∘ g(T).
Question 10 On considère s ∈ S_n^(+ ∗) et la fonction f définie sur ]0, + ∞[ par f(t) = 1/t. Montrer que f(s) = s^(− 1), où s^(− 1) note l'inverse de l'endomorphisme s .
Question 11 On considère s ∈ S_n^+. Lorsque f(t) = √t on note √s l'endomorphisme f(s). Montrer que l'endomorphisme √s est bien défini et que (√s)^2 = s. En admettant que toutes les valeurs propres de S sont simples, combien y − a − t − il de solutions C dans S_n^+, puis dans S_n, à l'équation C^2 = S ?

2 Relation d'ordre sur S_n

Soient T_1 et T_2 deux éléments de S_n. On note T_2 ≥ T_1 si et seulement si
T_2 − T_1 ∈ S_n^+.
Question 12 Démontrer que la relation ≥ définit une relation d'ordre dans S_n, estelle totale?
Question 13 Soit U ∈ S_n, démontrer que si T_2 ≥ T_1, alors UoT_2 ∘ U ≥ U ∘ T_1 ∘ U.
Soit J un intervalle de R, on dit que la fonction f : J ⟶ R définit un opérateur croissant si pour tout T_1 et tout T_2, endomorphismes symétriques vérifiant σ(T_1) ⊂ J, σ(T_2) ⊂ J, alors
T_2 ≥ T_1 ⟹ f(T_2) ≥ f(T_1)
Question 14 Démontrer que l'application f : R^+ ⟶ R donnée par f(t) = t^2 ne définit pas un opérateur croissant.
On pourra considérer à cet effet les endomorphismes T_1 et T_2 de matrices respectives
M_1 = (1, 1; 1, 1) et M_2 = (2, 1; 1, 1)
dans la base canonique.
Question 15 Soient T_1 et T_2 ∈ S_n^(+ ∗) tels que T_2 ≥ T_1; en s'aidant de la question 13 avec U = T_2^(− 1/2), montrer que les valeurs propres de UoT_1 ∘ U sont inférieures ou égales a^‵1. En déduire que U^(− 1) ∘ T_1^(− 1) ∘ U^(− 1) ≥ I, puis que l'application f : R^(+ ∗) ⟶ R donnée par f(t) = − 1/t définit un opérateur croissant.
Question 16 Soient T_1 et T_2 ∈ S_n^+, tels que T_2 ≥ T_1. Démontrer que les valeurs propres de T_2^(1/2) − T_1^(1/2) sont positives. En déduire que l'application f : R^+ ⟶ R donnée par f(t) = √t définit un opérateur croissant.

3 Inégalité de Löwner-Heinz

On va montrer que pour tout a ∈ ]0, 1[, la fonction φ_a : R^+ ⟶ R définie par φ_a(t) = t^a définit un opérateur croissant. Pour u ∈ R^+, on note f_u : R^(+ ∗) ⟶ R la fonction donnée par
f_u(t) = t/(t + u)
Question 17 Démontrer que f_u définit un opérateur croissant. On pourra à cet effet s'aider de la question 15.
Soient φ une application : R^(+ ∗) ⟶ L_n et B une base de R^n. On note Φ(s) la matrice de l'endomorphisme φ(s) dans la base B et (Φ(s)_(ij))_(1 ≤ i, j ≤ n) les applications coordonnées de Φ(s). On dira que φ est continue et intégrable sur ]0, + ∞[ si les fonctions coordonnées s → Φ(s)_(ij) le sont. Par définition on notera ∫_0^(+ ∞)φ(s)ds l'endomorphisme dont la matrice dans la base B a pour coefficients les ∫_0^(+ ∞)Φ(s)_(ij) ds. Cette matrice sera notée ∫_0^(+ ∞)Φ(s)ds.
Question 18 Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base B.
On considère s ∈ S_n^(+ ∗) et a ∈ ]0, 1[.
Question 19 Montrer que la fonction φ à valeurs dans L_n définie par φ(u) = f_u(s)u^(a − 1) est continue et intégrable sur ]0, + ∞[. On pourra trouver utile de faire appel à une base orthonormée adaptée à S .
On admet que
t^a = (sinaπ)/π∫_0^(+ ∞)f_u(t)u^(a − 1) du.
Question 20 Montrer que
S^a = (sinaπ)/π∫_0^(+ ∞)f_u(S)u^(a − 1) du
Question 21 En déduire que la fonction φ_a définit un opérateur croissant.

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PSI Mines 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 PSI Mines 2012 ?

Le sujet, sur les fonctions d'endomorphismes symétriques, mobilise la diagonalisation, le quotient de Rayleigh, les relations d'ordre et l'intégration de fonctions à valeurs dans un espace d'endomorphismes, avec pour objectif l'inégalité de Löwner-Heinz.

Quelle est la moyenne du sujet de maths 2 PSI Mines 2012 ?

La moyenne des candidats est de 8,55/20, malgré un barème que le jury qualifie de généreux.

Ce sujet de maths 2 PSI Mines 2012 est-il difficile ?

Oui, le rapport le décrit comme un problème d'apparence simple mais en réalité subtil, où les prestations des candidats ont été globalement très décevantes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 PSI Mines 2012 ?

Le jury relève une confusion fréquente entre un endomorphisme et sa matrice, une méconnaissance de la notion de valeur propre et de la définition d'une relation d'ordre, ainsi que des raisonnements flous ou fantaisistes.

Pas de description pour le moment