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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 7 pages.

Notations

On désigne par

ℝ

l'ensemble des nombres réels et par

ℂ

l'ensemble des nombres complexes. Dans tout le problème, on note

n

un entier naturel non nul et on désigne par

𝕂

l'ensemble

ℝ

ou l'ensemble

ℂ

.
On note

M_n(𝕂)

(respectivement

M_(n, 1)(𝕂)

) le

𝕂

-espace vectoriel des matrices carrées à

n

lignes (respectivement le

𝕂

-espace vectoriel des matrices colonnes à

n

lignes), à coefficients dans

𝕂

. La notation

A = (a_(i, j))

signifie que

a_(i, j)

est le coefficient de la ligne

i

et de la colonne

j

de la matrice

A

. Lorsqu'une matrice

A

M_n(𝕂)

est inversible, on note

A^(- 1)

sa matrice inverse. Soient

I

un intervalle de

ℝ

F

un espace vectoriel de matrices à coefficients dans

𝕂

.
Une application

A : I \to F

est continue (respectivement dérivable), lorsque, pour

t

décrivant

I

, les coefficients de la matrice

A(t)

sont des fonctions continues (respectivement dérivables) de

I

dans

𝕂

. On dira en abrégé que

A

est une matrice continue (respectivement dérivable) sur

I

et on notera

A(t) = (a_(i, j)(t))

pour tout

t

dans

I

. Lorsque cette matrice est dérivable, on note

A^'(t) = (a_(i, j)^'(t))

la matrice dérivée.
Pour deux matrices dérivables

M(t)

N(t)

, dont le produit existe, on admettra la formule

(MN)^'(t) = M^'(t)N(t) + M(t)N^'(t)

Équations différentielles matricielles

Soit

I

un intervalle de

ℝ

, soient

A

une matrice carrée d'ordre

n

continue sur

I

B

une matrice colonne à

n

lignes continue sur

I

, les coefficients des matrices

A

B

étant des fonctions à valeurs dans

𝕂

.
On considère l'équation différentielle (

E

) :

X^'(t) = A(t)X(t) + B(t)

où les solutions

X(t)

sont des matrices colonnes à

n

lignes dérivables sur

I

, dont les coefficients sont des fonctions à valeurs dans

𝕂

.
On note

(E_0) : X^'(t) = A(t)X(t)

l'équation différentielle homogène associée.
On dira que (

E

) et (

E_0

) sont des équations différentielles matricielles. On note

S_0

l'ensemble des solutions de

(E_0)

. On rappelle que:

$S_0$ est un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n$ ;
les solutions de ( $E$ ) s'obtiennent en ajoutant à l'ensemble $S_0$ une solution particulière de (E);
pour tout $t_0$ de $I$ et pour toute matrice $V$ de $M_(n, 1)(𝕂)$ , il existe une solution et une seule $X$ de $(E)$ sur $I$ vérifiant $X(t_0) = V$ (existence et unicité de la solution sur $I$ du problème de Cauchy).
On appelle système fondamental de solutions de $(E_0)$ , toute base $(X_1, \dots, X_n)$ de $S_0$ .
On note $W(t) = (X_1(t), \dots, X_n(t))$ la matrice carrée d'ordre $n$ dont les $X_j(t)$ sont les colonnes et on dit que $W(t)$ est la matrice wronskienne de ce système fondamental de solutions de $(E_0)$ .

Objectifs

Dans la première partie, il faut résoudre un exemple d'équation différentielle matricielle à coefficients constants.
Dans la deuxième partie, on traite le cas général de l'équation différentielle matricielle

(E)

en définissant la matrice résolvante de

(E_0)

.
Dans la troisième partie, on utilise les résultats de la deuxième partie pour résoudre une équation différentielle scalaire du second ordre.

Partie I. Cas d'une matrice à coefficients constants

On considère les équations différentielles :

(E) : X^'(t) = AX(t) + B(t) et (E_0) : X^'(t) = AX(t)

où

A

désigne une matrice à coefficients constants appartenant à

M_n(𝕂)

.
On suppose que

I = ℝ

.
I. 1 Soient

V

un vecteur non nul de

M_(n, 1)(𝕂)

λ

un élément de

𝕂

. Montrer que la matrice

X(t) = e^(λt)V

est une solution de

(E_0)

si et seulement si

V

est un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ

I. 2 Un exemple

On suppose

n = 4, A = (0, - 1, 1, - 1; 0, 2, 0, 0; 0, 1, 1, 0; 1, - 1, 1, 0)

B(t) = (te^t; e^t; 0; - te^t)

.
I.2.1 On suppose

𝕂 = ℂ

et on considère l'équation différentielle (

E_0

Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice

A

.
En déduire un système fondamental de solutions, puis la solution générale complexe de (

E_0

) sur l'intervalle

I = ℝ

.
I.2.2 On suppose

𝕂 = ℝ

et on considère l'équation

(E) : X^'(t) = AX(t) + B(t)

On note

X(t) = (x_1(t); x_2(t); x_3(t); x_4(t))

.
Écrire le système d'équations différentielles linéaires scalaires vérifié par les quatre fonctions

x_k(t)

.
Déterminer la solution générale réelle de (

E

) sur l'intervalle

I = ℝ

(on pourra déterminer successivement

x_2(t)

, puis

x_3(t)

, puis

x_1(t)

x_4(t))

Préciser la solution

X

(E)

telle que

X(0) = (- 1; - 1; - 1; 0)

Partie II. Matrice résolvante

On reprend le cas général d'une équation différentielle

(E) : X^'(t) = A(t)X(t) + B(t)

définie dans la partie notations. On prendra

I

un intervalle de

ℝ, t \in I

𝕂 = ℝ

ℂ

.
On note

S_0

l'espace vectoriel de dimension

n

des solutions de l'équation différentielle linéaire homogène (

E_0

) associée.
Pour

t_0 \in I

donné, on note

Φ_(t_0)

l'application de

S_0

dans

M_(n, 1)(𝕂)

définie par :

\forallX \in S_0, Φ_(t_0)(X) = X(t_0)

D'après le rappel sur le problème de Cauchy, l'application

Φ_(t_0)

est un isomorphisme de

S_0

sur

M_(n, 1)(𝕂)

.
Soit

X_1, \dots, X_n

un système fondamental de solutions de (

E_0

).
II. 1 Soient

t_0

t

dans

I

. Soit

V \in M_(n, 1)(𝕂)

et soit

X \in S_0

la solution de

(E_0)

telle que

X(t_0) = V

. Justifier l'égalité

(Φ_t \circ Φ_(t_0)^(- 1))(V) = X(t)

.
II. 2 On rapporte l'espace vectoriel

S_0

à la base (

X_1, \dots, X_n

) et l'espace vectoriel

M_(n, 1)(𝕂)

à sa base canonique

(C_1, \dots, C_n)

.
II.2.1 Soit

t_0 \in I

. Prouver que la matrice, dans ce couple de bases, de l'application linéaire

Φ_(t_0)

S_0

dans

M_(n, 1)(𝕂)

est la matrice wronskienne :

W(t_0) = (X_1(t_0), \dots, X_n(t_0))

II.2.2 Soient

t_0

t

dans

I

. On note

R(t, t_0) = W(t)(W(t_0))^(- 1)

. Prouver que la matrice

R(t, t_0)

ne dépend pas du système fondamental

(X_1, \dots, X_n)

de solutions choisi.

La matrice

R(t, t_0)

s'appelle la résolvante de l'équation différentielle linéaire (

E_0

II. 3 Propriétés de la résolvante

Soient

t, t_0, t_1

t_2

dans

I

.
II.3.1 Pour simplifier, on note

R^'(t, t_0)

, la dérivée par rapport à

t

de la matrice

R(t, t_0)

Montrer que

R^'(t, t_0) = A(t)R(t, t_0)

. En déduire que, pour tout

V \in M_(n, 1)(𝕂)

, la matrice

X(t) = R(t, t_0)V

est la solution de

(E_0)

telle que

X(t_0) = V

.
II.3.2 Montrer que

R(t_2, t_1)R(t_1, t_0) = R(t_2, t_0)

. En déduire

(R(t, t_0))^(- 1) = R(t_0, t)

II. 4 Application de la résolvante : recherche d'une solution particulière de l'équation $(E)$

Soient

t

t_0

dans

I

, on cherche une solution particulière de

(E)

sous la forme :

X(t) = R(t, t_0)V(t)

où

V : I \to M_(n, 1)(𝕂)

est une application dérivable à déterminer.
II.4.1 On suppose que

X(t) = R(t, t_0)V(t)

est une solution de

(E)

. Montrer que :

R(t, t_0)V^'(t) = B(t)

II.4.2 En déduire que

V(t) = \int_(t_0)^t R(t_0, u)B(u)du

est une solution de

(E)

(la matrice

V(t)

étant la matrice colonne dont les coefficients sont les intégrales des coefficients de la matrice colonne

R(t_0, u)B(u))

.
II.4.3 Montrer que

Y(t) = \int_(t_0)^t R(t, u)B(u)du

est une solution particulière de

(E)

Partie III. Une application de la résolvante

Dans cette partie,

𝕂 = ℝ

.
III. 1 On considère l'équation différentielle:

(e_0) : t(t - 1)y^('') + 3y^' - 6y = 0,

où

y = y(t)

est une fonction deux fois dérivable définie sur un intervalle

I

.
III.1.1 En cherchant les polynômes solutions de (

e_0

) sous la forme

y(t) = a_m t^m + \dots + a_0

avec

a_m \neq 0

, déterminer le degré de ces polynômes puis déterminer tous les polynômes solutions de (

e_0

) sur

ℝ

. Préciser le polynôme

P

solution de

(e_0)

et vérifiant

P(0) = 1

.
III.1.2 Vérifier que la fonction

Q(t) = 1/((1 - t)^2)

est solution de

(e_0)

sur l'intervalle

] - 1; 1[

.
III.1.3 On cherche les solutions non nulles de

(e_0)

développables en série entière :

y(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)a_k t^k

pour

|t| < R

, où

R > 0

est le rayon de convergence de la série.
III.1.3.1 Pour tout entier naturel

k

, écrire, selon les valeurs de

k

, les relations entre

a_k

a_(k + 1)

. Déterminer le rayon de convergence

R

.
III.1.3.2 Montrer qu'il existe un entier non nul

k_0

à déterminer, tel que pour

k \geq k_0

, le coefficient

a_k

s'exprime en fonction de

a_(k_0)

. Donner l'expression de

a_k

en fonction de

a_(k_0)

. Comment retrouve-t-on les fonctions

P

Q

parmi ces solutions?
III. 2 On considère l'équation différentielle:

(E) : y^('') + a(t)y^' + b(t)y = φ(t),

où

a, b, φ

sont des fonctions continues définies sur un intervalle

I

.
III.2.1 On définit la fonction

z

par

z(t) = y^'(t)

et on note

X(t) = ((y(t))/(z(t)))

. Déterminer une matrice carrée

A(t)

et une matrice colonne

B(t)

telles que l'équation différentielle

(E)

s'écrive matriciellement sous la forme (

E

) :

X^'(t) = A(t)X(t) + B(t)

.
III.2.2 On note

(f(t), g(t))

une base de l'espace vectoriel des solutions sur

I

de l'équation différentielle

(E_0) : y^('') + a(t)y^' + b(t)y = 0

.
Les matrices

((f(t))/(f^'(t))), ((g(t))/(g^'(t)))

forment alors un système fondamental de solutions de l'équation différentielle

(E_0) : X^'(t) = A(t)X(t)

.
Soit

W(t) = (f(t), g(t); f^'(t), g^'(t))

la matrice wronskienne de ce système fondamental de solutions.
Pour

t

t_0

dans

I

, on note en abrégé

f

pour

f(t), f_0

pour

f(t_0), g

pour

g(t), g_0

pour

g(t_0), f^'

pour

f^'(t), f_0^'

pour

f^'(t_0), g^'

pour

g^'(t)

g_0^'

pour

g^'(t_0)

.
Exprimer les coefficients de la matrice

(W(t_0))^(- 1)

en fonction de

f_0, g_0, f_0^', g_0^'

. puis ceux de la matrice résolvante

R(t, t_0)

, en fonction de

f, f_0, g, g_0, f^', f_0^', g^', g_0^'

.
III. 3 On considère l'équation différentielle :

(e) : t(t - 1)y^('') + 3y^' - 6y = 20t^4

et on prend

I = ]0; 1[

.
III.3.1 Écrire l'équation différentielle (e) sous la forme de l'équation différentielle (

E

) de la question III.2.
En déduire les matrices

A(t)

B(t)

telles que l'équation différentielle (

e

) s'écrive matriciellement sous la forme

(E)

X^'(t) = A(t)X(t) + B(t)

.
III.3.2 On applique les résultats de la question III. 2 avec

f(t) = P(t)

g(t) = Q(t)

, où

P

Q

sont les fonctions définies dans III.1. Pour

t

u

dans

]0; 1[

, expliciter le déterminant de

W(u)

et la valeur de

Q(t)P(u) - P(t)Q(u)

.
III.3.3 Soient

t

t_0

dans

]0; 1[

. En appliquant les résultats précédents de cette partie et de la partie II, montrer que la fonction :

y(t) = 1/((1 - t)^2)\int_(t_0)^t(4t^5 - 5t^4 - 4u^5 + 5u^4)du

est une solution particulière de l'équation différentielle (e).
Montrer que cette solution est encore valable pour

t_0 = 0

.
Expliciter la solution générale de (e) sur l'intervalle [

0; 1

[. Quelles sont les solutions de (e) sur

[0; 1[

qui vérifient

y(0) = y^'(0) = 0

Fin de l'énoncé

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MATHEMATIQUES 1

Notations

Équations différentielles matricielles

Objectifs

Partie I. Cas d'une matrice à coefficients constants

I. 2 Un exemple

Partie II. Matrice résolvante

II. 3 Propriétés de la résolvante

II. 4 Application de la résolvante : recherche d'une solution particulière de l'équation (E)

Partie III. Une application de la résolvante

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II. 4 Application de la résolvante : recherche d'une solution particulière de l'équation $(E)$