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CCINP Mathématiques PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonction de Bessel, marche aléatoire surZ, puissances de matrices et limites de suites de matrices

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Présentation du sujet

Fonction de Bessel, marche aléatoire sur Z et limite des puissances d'une matrice avec la méthode de Gauss-Seidel
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L'épreuve comporte un exercice et deux problèmes indépendants. L'exercice obtient le développement en série entière d'une fonction de Bessel définie par une intégrale, solution d'une équation différentielle. Le premier problème étudie la probabilité de retour à l'origine et le nombre moyen de passages à l'origine d'une marche aléatoire sur Z. Le second étudie la convergence vers 0 des puissances d'une matrice dont les valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1, puis l'applique à la méthode de Gauss-Seidel.

  1. 1Exercice : fonction de BesselIntégrale à paramètre, équation différentielle, solution développable en série entière et interversion série-intégrale.
  2. 2Problème 1 : marche aléatoire sur ZDéveloppement en série entière de (1+x)^α, loi binomiale, formule de Stirling, probabilité de retour à l'origine et espérance du nombre de passages.
  3. 3Problème 2, partie I : puissances d'une matrice particulièreDiagonalisation d'une matrice, polynôme annulateur, division euclidienne et limite des puissances.
  4. 4Problème 2, partie II : limite des puissances d'une matriceCas triangulaire supérieur par récurrence, puis cas général par trigonalisation dans Mn(C).
  5. 5Problème 2, partie III : méthode de Gauss-SeidelConvergence de la méthode itérative pour une matrice à diagonale strictement dominante.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10 / 20 · écart-type 3,96 · 5 103 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10/ 20
Écart-type
3,96
Présents
5 103
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 1005101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Réponses disproportionnées · Séries entières mal manipulées · Unicité invoquée hors contexte
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Les copies sont assez bien présentées, mais trop de ratures, de surcharges et d'abréviations nuisent à la lisibilité. Le jury insiste sur l'honnêteté intellectuelle : donner le résultat réellement obtenu rapporte des points, alors que forcer le résultat de l'énoncé n'en rapporte aucun. Les fins de l'exercice et du second problème ont été peu abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Réponses disproportionnéesQ1

    Montrer qu'une intégrale est bien définie ne demande pas un théorème de continuité des intégrales à paramètre. Il faut savoir ce que l'on cherche avant de rédiger.

    « La plupart des candidats ne savent pas vraiment ce qu'ils cherchent »
  2. 2
    Séries entières mal manipuléesQ5, Q6

    Les réindexations dérapent, le rayon de convergence est rarement précisé et l'interversion série-intégrale est rarement justifiée.

    « l'interversion série intégrale est rarement correctement justifiée »
  3. 3
    Unicité invoquée hors contexteQ7

    Le théorème de Cauchy ou l'unicité d'un développement en série entière sont cités par réflexe, sans préciser dans quel cadre ils s'appliquent.

  4. 4
    Indépendance oubliéeQ11, Q15

    Avant de conclure à une loi binomiale, il faut préciser que les variables sont indépendantes. Le paramètre d'une loi de Bernoulli issu d'un calcul ne vaut pas forcément p.

    « l'oubli de préciser que les variables sont indépendantes avant de conclure à une loi binomiale »
  5. 5
    Outils hors sujet en réductionQ22

    Le théorème de Cayley-Hamilton ne montre pas qu'un polynôme donné est annulateur, et le polynôme minimal n'est pas au programme. Le cas a = 0 est souvent oublié.

  6. 6
    Égalités vectorielles et normes confonduesQ25, Q30

    Il faut distinguer une égalité entre vecteurs d'une égalité entre normes. Pour l'inversibilité en Q30, une matrice triangulaire n'est pas forcément inversible.

    « le candidat ne distingue pas les égalités vectorielles des égalités en normes »

Ce qui a été bien réussi

  • La question de cours Q9 sur le développement de (1+x)^α est plutôt bien réussie.
  • Les questions 11 et 14 sur la marche aléatoire sont assez bien ou plutôt bien traitées.
  • Les questions 18 et 19, au début du problème d'algèbre, sont souvent bien traitées.
  • La caractérisation de la diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples est en général bien exploitée (Q22).

Conseils du jury

  • Utiliser systématiquement un brouillon avant de rédiger.
  • Proscrire les abréviations dans la copie.
  • Donner le résultat réellement obtenu plutôt que forcer celui de l'énoncé.
  • Lire les questions suivantes, qui guident souvent la démarche et évitent des calculs inutiles.
  • Réutiliser les résultats des questions précédentes en vérifiant qu'ils s'appliquent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé d'un exercice et de deux problèmes indépendants.
Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

EXERCICE

Fonction de Bessel

Soit une fonction f : ℝ → ℝ définie par :
∀x ∈ ℝ, f(x) = ∫_0^π cos(xsin(t))dt
Pour tout n ∈ ℕ, on note :
W_n = ∫_0^π sin^(2n)(t)dt
Q1. Montrer que f est bien définie sur ℝ.
Q2. Montrer que f est de classe C^2 sur ℝ et donner des expressions sous forme d'intégrales de f^′(x) et f^(′′)(x) pour tout x ∈ ℝ.
Q3. Soit une fonction h : ℝ^2 → ℝ définie par :
∀(x, t) ∈ ℝ^2, h(x, t) = cos(t)sin(xsin(t)).
Justifier l'existence de (∂h)/(∂t), puis déterminer (∂h)/(∂t)(x, t) pour tout (x, t) ∈ ℝ^2.
Q4. En déduire que f est solution de l'équation différentielle :
xy^(′′) + y^′ + xy = 0.
Q5. On suppose qu'il existe une solution de ( E ) développable en série entière notée ∑_(n ≥ 0)a_n x^n de rayon de convergence R > 0.
Montrer que a_1 = 0 et que pour tout n ∈ ℕ, n ≥ 2 :
a_n = − (a_(n − 2))/(n^2).
Q6. En utilisant un théorème d'interversion série intégrale, montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0 et exprimer les coefficients du développement de f en fonction des termes de la suite (W_n)_(n ∈ ℕ).
Q7. Déduire des questions précédentes que f est l'unique solution développable en série entière de ( E ) vérifiant f(0) = π.
Q8. En déduire, pour tout n ∈ ℕ, une expression de W_n en fonction de n.

PROBLÈME 1

Marche aléatoire sur ℤ

On considère une particule se déplaçant sur une droite graduée par les entiers relatifs. Sa position à l'instant initial t = 0 est k = 0. À chaque instant t ∈ ℕ^∗, elle se déplace aléatoirement de sa position k ∈ ℤ à la position k + 1 ou k − 1.
Soit p ∈ ]0; 1[. On définit sur un espace probabilisé ( Ω, Σ, P ) une suite de variables aléatoires indépendantes (X_t)_(t ∈ ℕ^∗) et identiquement distribuées dont la loi est définie par :
∀t ∈ ℕ^∗, P(X_t = 1) = p et P(X_t = − 1) = 1 − p.
Enfin, pour tout n ∈ ℕ^∗, on pose S_n = ∑_(t = 1)^n X_t.
Pour tout t ∈ ℕ^∗, la variable aléatoire X_t modélise le déplacement de la particule à l'instant t. Si X_t = 1, la particule se déplace vers la droite. Si X_t = − 1, la particule se déplace vers la gauche. Ainsi, pour tout n ∈ ℕ^∗, S_n modélise la position de la particule après n déplacements.
On rappelle la formule de Stirling :
n! ∼ _(n → + ∞)√(2πn)(n/e)^n.

Partie I - Un développement en série entière

Q9. Soit α ∈ ℝ tel que α ∉ ℕ. Donner sans démonstration un développement en série entière de la fonction réelle x ↦ (1 + x)^α au voisinage de 0 en précisant son rayon de convergence.
Q10. En déduire que pour tout x ∈ ] − 1; 1[ :
1/(√(1 − x)) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(2^(2n))((2n)/n)x^n.

Partie II - Probabilité de retour à l'origine

On définit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) par :
∀n ∈ ℕ^∗, u_n = P(S_n = 0).
Q11. Pour tout t ∈ ℕ^∗, déterminer la loi de la variable aléatoire (X_t + 1)/2. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, la variable aléatoire ∑_(t = 1)^n(X_t + 1)/2 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Q12. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ :
u_n = {(n/(n/2))(p(1 − p))^(n/2), si n est pair; 0, sinon
Q13. Déterminer la limite de la suite (u_(2n))_(n ∈ ℕ^∗) lorsque n tend vers + ∞ selon les valeurs de p et interpréter le résultat.

Partie III - Nombre de passages par l'origine

Pour tout j ∈ ℕ, on note O_(2j) la variable aléatoire égale à 1 si la particule est à l'origine à l'instant t = 2j, 0 sinon. Pour tout n ∈ ℕ, on pose T_n = ∑_(j = 0)^n O_(2j). On note 𝔼(T_n) l'espérance de la variable aléatoire T_n.
Dans cette partie, on souhaite déterminer lim_(n → + ∞)𝔼(T_n).
Q14. Soit n ∈ ℕ. Que modélise la variable aléatoire T_n ?
Q15. Soit j ∈ ℕ. Déterminer la loi de la variable aléatoire O_(2j). En déduire que :
𝔼(T_n) = ∑_(j = 0)^n((2j)/j)(p(1 − p))^j
Q16. On suppose dans cette question que p ≠ 1/2. En utilisant le résultat de la Q10, calculer lim_(n → + ∞)𝔼(T_n) et interpréter le résultat.
Q17. On suppose dans cette question que p = 1/2. Montrer par récurrence que :
∀n ∈ ℕ, 𝔼(T_n) = (2n + 1)/(2^(2n))((2n)/n)
et en déduire lim_(n → + ∞)𝔼(T_n).

PROBLÈME 2

Puissances de matrices et limites de suites de matrices

Soit (n, p) ∈ ℕ^∗ × ℕ^∗. On s'intéresse ici à la convergence de suites matricielles (M_k)_(k ∈ ℕ) où pour tout k ∈ ℕ, M_k ∈ M_(n, p)(ℂ) avec p = 1 (matrices colonnes) ou p = n (matrices carrées). Pour tout k ∈ ℕ, on note alors M_k = (m_(i, j)^((k)))_((i, j) ∈ [ [1; n] ] × [ [1; p] ]) ou plus simplement M_k = (m_(i, j)^((k))).
On suppose que l'espace vectoriel M_(n, p)(ℂ) est muni d'une norme notée ‖. ‖indifféremment des valeurs de n et p. En particulier, si V ∈ M_(n, 1)(ℂ), V est une matrice colonne assimilée à un vecteur de ℂ^n et on note ‖V‖ sa norme.
On rappelle que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
  1. la suite (M_k)_(k ∈ ℕ) converge vers la matrice A = (a_(i, j)) ∈ M_(n, p)(ℂ);
  2. la suite des normes (‖M_k − A‖)_(k ∈ ℕ) converge vers 0 ;
  3. pour tout (i, j) ∈ [ [1; n] ] × [ [1; p] ], la suite de nombres complexes (m_(i, j)^((k)))_(k ∈ ℕ) converge vers a_(i, j) ∈ ℂ (convergence des coefficients de la matrice).
    On s'intéresse en particulier à la suite des puissances itérées (M^k)_(k ∈ ℕ) d'une matrice donnée M ∈ M_n(ℂ).

Partie I - Diagonalisation et puissances d'une matrice particulière

Soit n ∈ ℕ tel que n ≥ 3. Pour tout (a, b) ∈ ℂ^2, on définit la matrice M(a, b) ∈ M_n(ℂ) par :
M(a, b) = (b, a, a, ⋯, a; a, b, a, ⋯, a; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; a, ⋯, a, b, a; a, ⋯, a, a, b)
et on note P_(a, b) le polynôme caractéristique de la matrice M(a, b).
On note I_n la matrice identité de M_n(ℂ) et on remarque que pour tous réels a et b,
M(a, b) = bI_n + aM(1, 0).
Q18. On suppose, dans cette question uniquement, que (a, b) ∈ ℝ^2. Montrer que dans ce cas M(a, b) est diagonalisable.
Q19. Montrer que V = (1; ⋮; 1) ∈ M_(n, 1)(ℂ) est un vecteur propre de M(a, b) et déterminer la valeur propre associée à V.
Q20. Montrer que P_(1, 0)(X) = (X − (n − 1))(X + 1)^(n − 1).
Q21. On suppose que a ≠ 0. Montrer que P_(a, b)(X) = a^n P_(1, 0)((X − b)/a). En déduire l'ensemble des valeurs propres de M(a, b) ainsi que leurs multiplicités.
Q22. On définit le polynôme Q_(a, b) ∈ ℂ[X] par Q_(a, b)(X) = (X − (b − a))(X − (b + (n − 1)a)). Montrer que Q_(a, b) est un polynôme annulateur de M(a, b) et en déduire que M(a, b) est diagonalisable (on distinguera les cas a = 0 et a ≠ 0 ).
Q23. Soit k ∈ ℕ. On suppose que a ≠ 0. Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme X^k par le polynôme Q_(a, b) et en déduire une expression de M(a, b)^k comme combinaison linéaire de M(a, b) et de I_n.
Q24. Supposons que |b − a| < 1 et |b + (n − 1)a| < 1. Déterminer la limite de la suite de matrices (M(a, b)^k)_(k ∈ ℕ).

Partie II - Limite des puissances d'une matrice

Soit n ∈ ℕ^∗. On considère l'espace vectoriel ℂ^n muni d'une norme notée ‖. ‖.Onnotesabase canonique B = (e_1, …, e_n). Soit u un endomorphisme de ℂ^n vérifiant la propriété suivante :
∀λ ∈ Sp(u), |λ| < 1
où Sp(u) est l'ensemble des valeurs propres de u. On note A la matrice de l'endomorphisme u dans la base B.
L'objectif de cette partie est de montrer que lim_(k → + ∞)A^k = 0.
On suppose (sauf à la Q29) que A = T où T est une matrice triangulaire supérieure :
T = (λ_1, ∗, ⋯, ⋯, ∗; 0, λ_2, ∗, ⋯, ∗; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ∗; 0, ⋯, ⋯, 0, λ_n)
Q25. Montrer que lim_(k → + ∞)‖u^k(e_1)‖ = 0 et en déduire lim_(k → + ∞)u^k(e_1).
On suppose qu'il existe i ∈ [ [1; n − 1] ] tel que pour tout j ∈ [ [1; i] ], lim_(k → + ∞)u^k(e_j) = 0.
Q26. Montrer qu'il existe x ∈ Vect(e_j)_(j ∈ [ [1; i] ]) tel que :
u(e_(i + 1)) = λ_(i + 1)e_(i + 1) + x.
En déduire que pour tout k ∈ ℕ^∗ :
u^k(e_(i + 1)) = λ_(i + 1)^k e_(i + 1) + ∑_(m = 0)^(k − 1)λ_(i + 1)^(k − m − 1)u^m(x).
Q27. Montrer que lim_(k → + ∞)‖∑_(m = 0)^(k − 1)λ_(i + 1)^(k − m − 1)u^m(x)‖ = 0. En déduire que lim_(k → + ∞)u^k(e_(i + 1)) = 0.
Q28. Montrer alors que lim_(k → + ∞)T^k = 0.
Q29. On ne suppose plus que A est triangulaire supérieure. Montrer que lim_(k → + ∞)A^k = 0.

Partie III - Application à la méthode de Gauss-Seidel

Soit A = (a_(i, j)) ∈ M_n(ℂ) telle que:
∀i ∈ [ [1; n] ], |a_(i, i)| > ∑_(j = 1; j ≠ i)^n|a_(i, j)|.
On dit alors que A est une matrice à diagonale strictement dominante. On admet que dans ce cas A est inversible.
On définit ensuite M ∈ M_n(ℂ) et F ∈ M_n(ℂ) de la manière suivante : pour tout (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2,
  • si i ≥ j, m_(i, j) = a_(i, j) et f_(i, j) = 0;
  • si i < j, m_(i, j) = 0 et f_(i, j) = − a_(i, j).
Ainsi, A = M − F où F est la partie triangulaire supérieure de diagonale nulle de − A et où M est la partie triangulaire inférieure de A.
Soit Y ∈ M_(n, 1)(ℂ). On note X ∈ M_(n, 1)(ℂ) l'unique matrice colonne telle que :
AX = Y.
Le but de cette partie est de trouver une suite qui converge vers X.
Q30. Justifier que M est inversible.
Dans la suite de cette partie, on pose B = M^(− 1)F. On définit par récurrence une suite de matrices colonnes (X_k)_(k ∈ ℕ) avec X_0 ∈ M_(n, 1)(ℂ) quelconque et:
∀k ∈ ℕ, X_(k + 1) = BX_k + M^(− 1)Y.
Q31. Montrer que X = BX + M^(− 1)Y.
Soit λ une valeur propre quelconque de la matrice B. On note V ∈ M_(n, 1)(ℂ) un vecteur propre de B associé à cette valeur propre.
Par convention, si (u_j)_(j ∈ ℕ) est une suite de nombres complexes alors ∑_(j = n + 1)^n u_j = ∑_(j = 1)^0 u_j = 0.
Q32. Montrer que FV = λMV. En déduire que :
∀i ∈ [ [1; n] ], λa_(i, i)v_i = − (∑_(j = i + 1)^n a_(i, j)v_j + λ∑_(j = 1)^(i − 1)a_(i, j)v_j).
Q33. Montrer qu'il existe i_0 ∈ [ [1; n] ] tel que |v_(i_0)| = max_(j ∈ [ [1; n] ])|v_j| et v_(i_0) ≠ 0. En déduire que :
|λa_(i_0, i_0)| ≤ (∑_(j = i_0 + 1)^n|a_(i_0, j)| + |λ|∑_(j = 1)^(i_0 − 1)|a_(i_0, j)|).
Q34. En déduire que |λ| < 1, puis que lim_(k → + ∞)B^k = 0.
Q35. Montrer que :
∀k ∈ ℕ, X_k − X = B^k(X_0 − X)
et conclure.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths PSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths PSI 2023 ?

Sur les intégrales à paramètre, les séries entières et les équations différentielles (exercice), les probabilités discrètes et la formule de Stirling (problème 1), puis la réduction des matrices et les suites de matrices (problème 2).

Quelles erreurs le jury du CCINP maths PSI 2023 a-t-il relevées ?

Des réponses disproportionnées en Q1, des interversions série-intégrale non justifiées en Q6, l'oubli de l'indépendance avant une loi binomiale en Q11, Cayley-Hamilton utilisé hors sujet en Q22 et des confusions entre vecteurs et normes en Q25.

Les parties du sujet CCINP maths PSI 2023 sont-elles indépendantes ?

Oui : l'exercice et les deux problèmes sont indépendants. Il est donc possible de commencer par le problème de probabilités ou par celui d'algèbre.

Quelle question du CCINP maths PSI 2023 était la plus difficile ?

Le rapport qualifie la question 27 de difficile, avec des bonnes réponses exceptionnelles. Les questions 31 et 32 étaient sans difficulté mais trop peu abordées.

Pas de description pour le moment