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Centrale Mathématiques 2 PSI 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Quelques applications de la formule de Stirling

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Quelques applications de la formule de Stirling : intégrale de Gauss, marche aléatoire et loi de l'arcsinus
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Le sujet part de l'intégrale de Gauss, démontre puis affine la formule de Stirling, et l'applique à une marche aléatoire sur les entiers. Il utilise les intégrales à paramètres, les séries numériques et les séries entières, puis se conclut par la loi de l'arcsinus pour la marche symétrique grâce au principe de réflexion et aux sommes de Riemann.

  1. 1Partie I : intégrale de Gausspremière et deuxième annéeVersion très guidée du calcul de l'intégrale de Gauss par des intégrales à paramètres, avec dérivation sous l'intégrale et passage à la limite.
  2. 2Partie II : formule de StirlingFonction Gamma aux entiers, convergence dominée, démonstration de la formule de Stirling puis développement plus précis par sommation d'équivalents et comparaison série-intégrale.
  3. 3Partie III : deux séries entières et une marche aléatoireProbabilité de retour à l'origine, rayons de convergence, produit de Cauchy entre fonctions génératrices et probabilité de ne jamais revenir en 0.
  4. 4Partie IV : loi de l'arcsinusDénombrement de chemins, principe de réflexion et passage à la limite par des sommes de Riemann pour la marche symétrique.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet un peu plus long que l'an passé, de difficulté raisonnable sauf les dernières questions sur le principe de réflexion.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,31 / 20 · écart-type 4,05 · 4 154 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,31/ 20
Écart-type
4,05
Présents
4 154
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,3
3e quartile
12,1
moyenne 9,3105101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 12 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Hypothèses de convergence omises · Dominations fausses et interversions non justifiées · Convergence simple mal étudiée
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Grâce à des parties indépendantes et à des questions très classiques, les candidats ont pu avancer, et les meilleurs ont traité presque tout avec rigueur. Les parties I à III ont été abordées par presque tous, la partie IV par 38 % des copies. Beaucoup de candidats ne voient pas l'enchaînement et l'objectif des questions, ce qui les bloque dans les questions de synthèse.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Hypothèses de convergence omisesQ1, Q8

    Pour la convergence absolue d'une intégrale, la continuité et le signe sont souvent oubliés. Le jury note que cette première question annonce souvent le reste de la copie.

    « Beaucoup de candidats oublient la continuité et parlent de convergence sans précision de signe. »
  2. 2
    Dominations fausses et interversions non justifiéesQ3, Q7

    La domination locale est souvent fausse à cause du signe des bornes, et la parité est peu exploitée. Tout passage à la limite sous l'intégrale doit être justifié.

    « Intervertir une limite et une intégrale nécessite des hypothèses. »
  3. 3
    Convergence simple mal étudiéeQ11

    Il suffisait de fixer la variable puis de faire tendre n vers l'infini. Beaucoup de limites obtenues dépendent encore de n.

    « Question très peu réussie. »
  4. 4
    Division par une quantité qui peut s'annulerQ13, Q16, Q17, Q18

    Plusieurs calculs de la partie II divisent sans vérifier que le dénominateur est non nul. La positivité est aussi oubliée dans les théorèmes de comparaison.

    « Bien peu de candidats s'émeuvent de diviser par une quantité pouvant s'annuler. »
  5. 5
    Manque de formalisme en probabilitésQ23, Q25

    Événements découpés sans réunion, indépendance invoquée sans préciser de quelles variables, loi binomiale affirmée sans justification.

    « On peut noter un manque global de formalisation en probabilité »
  6. 6
    Résultat forcé à tout prixQ10, Q29

    La direction indiquée par l'énoncé était peu suivie. Près de la moitié des copies abordant la question n'obtient presque aucun point.

    « Certains candidats sont prêts à toutes les entourloupes pour obtenir la relation donnée. »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I, très guidée, a permis aux candidats sérieux de prendre confiance ; Q5 et Q6 sont bien réussies.
  • Le théorème de dérivation sous l'intégrale est souvent bien connu (Q3).
  • Le développement asymptotique de Q16 est plutôt bien mené, et Q19 et Q20 sont bien réussies.
  • La question Python Q24, traitée dans 60 % des copies, est plutôt bien réussie.
  • Les développements en série entière usuels sont bien connus (Q28).

Conseils du jury

  • Chercher l'objectif de chaque suite de questions : un problème n'est pas une succession d'exercices indépendants.
  • Vérifier et citer les hypothèses des théorèmes, y compris ceux sur les sommes de Riemann et le théorème fondamental de l'analyse.
  • Préciser le domaine de validité d'un développement en série entière et discuter selon le rayon de convergence.
  • Utiliser un brouillon avant de rédiger et privilégier la qualité de l'argumentation sur la quantité.
  • Signaler honnêtement les manques ou incohérences de ses propositions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Quelques applications de la formule de Stirling

Ce problème propose de démontrer un raffinement de la formule de Stirling et de l'appliquer à l'étude des marches aléatoires sur ℤ.

I Intégrale de Gauss

Le but de cette partie est de calculer l'intégrale dite de Gauss: ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt.
Q 1. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt est absolument convergente.
On étudie les fonctions f et g définies par
f(x) = ∫_0^1(e^(− (t^2 + 1)x^2))/(t^2 + 1) dt et g(x) = ∫_0^x e^(− t^2) dt
Q 2. Montrer que f est définie sur ℝ et qu'elle est paire. Calculer f(0).
Q 3. Montrer que f est de classe C^1 sur ℝ et donner l'expression de f^′(x).
Q 4. Montrer que g est définie et de classe C^1 sur ℝ.
Q 5. À l'aide d'un changement de variable affine, montrer que
∀x ∈ ℝ, f^′(x) = − 2g^′(x)g(x).
Q 6. Vérifier que
∀x ∈ ℝ, f(x) = π/4 − g(x)^2.
Q 7. En déduire lim_(x → + ∞)g(x), puis conclure que ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt = (√π)/2.

II Formule de Stirling

Dans cette partie, on propose de démontrer un raffinement de la formule de Stirling. On va prouver l'existence d'une suite (q_n)_(n ∈ ℕ^∗) convergente vers 0 telle que
∀n ∈ ℕ^∗, n! = √(2πn)(n/e)^n(1 + 1/(12n) + (q_n)/n).
II. A − Pour n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t) dt.
Q 8. Montrer que la suite (I_n)_(n ∈ ℕ) est bien définie.
Q 9. Donner une relation entre I_(n + 1) et I_n, et en déduire que I_n = n ! pour tout entier naturel n.
II.B - Cette sous-partie est consacrée à la démonstration de la formule de Stirling classique
n! ∼ _(n → + ∞)√(2πn)(n/e)^n.
Q 10. Si n est un entier naturel non nul, déduire de la question précédente que
n! = √n(n/e)^n∫_(− √n)^(+ ∞)(1 + y/(√n))^n e^(− y√n) dy
On note 𝟙_([ − √n, + ∞[) la fonction indicatrice de l'intervalle [ − √n, + ∞[ dont on rappelle qu'elle vaut 1 sur [ − √n, + ∞[ et 0 sur ] − ∞, − √n. On pose pour n ∈ ℕ^∗ et y ∈ ℝ, f_n(y) = 𝟙_([ − √n, + ∞[)(y)(1 + y/(√n))^n e^(− y√n).
Q 11. Démontrer que la suite de fonctions (f_n) converge simplement sur ℝ et, pour y ∈ ℝ, préciser lim_(n → + ∞)f_n(y). Pour x ∈ ] − 1, + ∞[∖{0} on pose q(x) = (x − ln(1 + x))/(x^2).
Q 12. Justifier que q est prolongeable en une fonction continue sur ] − 1, + ∞[ que l'on convient de noter également q.
Q13. Démontrer que, pour tout x > − 1, q(x) = ∫_0^1 u/(1 + ux) du.
Q 14. En déduire que q est une fonction décroissante sur ] − 1, + ∞[ et démontrer que pour tout n ∈ ℕ^∗,
∀y ∈ ℝ^+, f_n(y) ⩽ (1 + y)e^(− y) et ∀y ∈ ℝ^(− ∗), f_n(y) ⩽ e^(− y^2/2)
Q 15. Déduire des questions précédentes la formule de Stirling (II.1).
II.C - Pour raffiner la formule de Stirling, on introduit les suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ^∗), (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) définies par :
u_n = (n^n e^(− n)√n)/(n!) v_n = ln(u_n) w_n = v_(n + 1) − v_n.
Q 16. Vérifier que w_n = _(n → + ∞)1/(12n^2) + o(1/(n^2)) et en déduire la nature de la série numérique ∑w_n.
II.C.1) Soient (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite réelle positive et (b_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite réelle strictement positive, telles que a_n→−_(n → + ∞)^∼b_n et la série numérique ∑b_n converge.
Q 17. Soit ε > 0. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul n_0 tel que
∀n ⩾ n_0, (1 − ε)b_n ⩽ a_n ⩽ (1 + ε)b_n.
Q 18. En déduire que la série numérique ∑a_n converge et que les restes vérifient ∑_(k = n)^(+ ∞)a_k ∼ _(n → + ∞)∑_(k = n)^(+ ∞)b_k.
II.C.2) Si n est un entier naturel non nul, on pose R_n = ∑_(k = n)^(+ ∞)1/(k^2).
Q 19. Pour tout n ∈ ℕ^∗, établir que 1/((n + 1)^2) ⩽ ∫_n^(n + 1)1/(t^2) dt ⩽ 1/(n^2).
Q 20. En déduire un équivalent simple de R_n lorsque n → + ∞.
II.C.3)
Q 21. Déduire des questions précédentes un équivalent de ∑_(k = n)^(+ ∞)w_k lorsque n → + ∞.
Q 22. En déduire qu'il existe une suite (q_n)_(n ∈ ℕ^∗) convergente vers 0 telle que
∀n ∈ ℕ^∗, n! = √(2πn)(n/e)^n(1 + 1/(12n) + (q_n)/n).

III Étude de deux séries entières et application à une marche aléatoire

Un point se déplace sur un axe gradué. Au départ, il se trouve à l'origine et à chaque étape il se déplace suivant le résultat du lancer d'une pièce de monnaie qui n'est pas supposée équilibrée.
Le déplacement du point est formalisé de la manière suivante. Dans l'espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ), on considère une suite de variables aléatoires (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) à valeurs dans { − 1, 1}, indépendantes, et telles que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
ℙ(X_n = 1) = p et ℙ(X_n = − 1) = q, où p ∈ ]0, 1[ et q = 1 − p.
Les variables aléatoires (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) représentent les résultats des lancers successifs de la pièce de monnaie.
L'abscisse S_n du point à l'issue du n-ième lancer est alors définie par:
{S_0, = 0; S_n, = ∑_(k = 1)^n X_k ∀n ∈ ℕ^∗
On admet que, si (Y_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi alors, pour tout n ⩾ 2, quel que soit l'entier k compris entre 1 et n − 1, les variables aléatoires ∑_(i = 1)^(n − k)Y_i et ∑_(i = k + 1)^n Y_i suivent la même loi.
On se propose de calculer la probabilité que le point ne revienne jamais à l'origine.
On remarque que le point ne peut revenir à l'origine (i.e. S_k = 0 ) qu'après un nombre pair de lancers de la pièce de monnaie (i.e. k = 2n ).
On introduit alors les suites (a_n)_(n ∈ ℕ) et (b_n)_(n ∈ ℕ) définies par a_0 = 1, b_0 = 0 et
∀n ∈ ℕ^∗, a_n = ℙ(S_(2n) = 0) et b_n = ℙ([S_1 ≠ 0] ∩ ⋯ ∩ [S_(2n − 1) ≠ 0] ∩ [S_(2n) = 0])
et les séries entières
A(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^(2n) et B(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^(2n)

III.A -

Q 23. Quelle est la loi de la variable aléatoire 1/2(X_1 + 1) ? En utilisant une loi binomiale, calculer l'espérance et la variance de la variable S_n.
Q 24. Écrire une fonction Python qui prend en argument le nombre n de lancers et renvoie le nombre de retours au point à l'origine.
On pourra utiliser la fonction Python random.random() qui renvoie un nombre flottant pseudo-aléatoire dans l'intervalle [0, 1[.
Q 25. Vérifier que pour tout n ∈ ℕ^∗ a_n = ((2n)/n)p^n q^n.
Q 26. En déduire le rayon de convergence R de la série entière ∑a_n x^(2n).
Q 27. Pour quelles valeurs de p l'expression A(x) est-elle définie en x = 1 ?
Q 28. En utilisant le développement en série entière en 0 de 1/(√(1 − x)) déterminer une expression de A(x).

III.B -

Q 29. Pour n ∈ ℕ^∗, en décomposant l'événement {S_(2n) = 0} selon l'indice de 1 er retour du point à l'origine, établir la relation a_n = ∑_(k = 0)^n b_k a_(n − k).
Q 30. En déduire une relation entre A(x) et B(x) et préciser pour quelles valeurs de x elle est valable.
Q 31. Conclure que B(x) = 1 − √(1 − 4pqx^2) pour x dans un intervalle à préciser.
Q 32. Pour quelles valeurs de p l'expression obtenue à la question précédente pour B(x) est-elle définie en x = 1 ? Qu'en est-il de l'expression qui définit B(x) comme somme d'une série entière ?

III. C -

Q 33. En déduire que la probabilité de l'évènement «le point ne revient jamais en 0 » est égale à |p − q|.

IV Loi de l'arcsinus

Dans cette partie, on reprend les notations de la partie III et on se place dans le cas particulier p = q = 1/2. Dans ce cas tous les «chemins » de la marche aléatoire sont équiprobables : pour n ∈ ℕ^∗,
∀(x_1, …, x_n) ∈ { − 1, 1}^n, ℙ([S_1 = x_1] ∩ [S_2 = x_1 + x_2] ∩ ⋯ ∩ [S_n = x_1 + x_2 + ⋯ + x_n]) = 1/(2^n).
Pour n ∈ ℕ, on s'intéresse désormais au moment de la dernière visite en 0 de la marche aléatoire au cours des 2n premiers pas, c'est-à-dire à la variable aléatoire T_n définie par
T_n = max{0 ⩽ k ⩽ 2n|S_k = 0}.
On admet dans la suite que T_n est une variable aléatoire discrète, définie sur le même espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ) que la suite de variables aléatoires (S_n)_(n ∈ ℕ).
Si x est un réel, on note ⌊x⌋ sa partie entière.
IV.A - Pour n ∈ ℕ^∗, on appelle chemin de longueur n toute ligne polygonale reliant les points ( 0, S_0 ), (1, S_1), …, (n, S_n).
Figure 1 Un chemin de longueur 7
Dans cette sous-partie IV.A, n, x et y sont des entiers naturels tels que n ≠ 0, x ≠ 0 et y ≠ 0.
IV.A.1) On note N_(n, x) le nombre de chemins reliant le point ( 0,0 ) au point ( n, x ).
Q 34. Vérifier que si x ∈ [ [ − n, n] ] et n − x est un entier pair alors
N_(n, x) = (n/a) où a = (n + x)/2
et que N_(n, x) = 0 dans le cas contraire.
Q 35. En déduire ℙ(S_n = x).
Q 36. Retrouver ce résultat à l'aide d'une variable aléatoire bien choisie.

IV.A.2) Principe de réflexion

Q 37. Montrer que le nombre de chemins reliant (0, x) à (n, y), tout en passant au moins une fois par un point d'ordonnée 0 , est égal au nombre de chemins quelconques reliant ( 0, − x ) à ( n, y ).

IV.A.3)

Q 38. En utilisant le principe de réflexion, montrer que le nombre de chemins reliant ( 1,1 ) à ( n, x ) sans jamais rencontrer l'axe des abscisses est égal à
N_(n − 1, x − 1) − N_(n − 1, x + 1).
Q 39. En déduire que pour tout k ∈ ℕ^∗
ℙ([S_1 > 0] ∩ ⋯ ∩ [S_(2n − 1) > 0] ∩ [S_(2n) = 2k]) = 1/2(ℙ(S_(2n − 1) = 2k − 1) − ℙ(S_(2n − 1) = 2k + 1))
Q 40. En remarquant que [S_(2n) > 0] = ⋃_(k = 1)^(+ ∞)[S_(2n) = 2k], démontrer que
ℙ([S_1 > 0] ∩ ⋯ ∩ [S_(2n − 1) > 0] ∩ [S_(2n) > 0]) = 1/2ℙ(S_(2n) = 0)
puis que
ℙ([S_1 ≠ 0] ∩ ⋯ ∩ [S_(2n − 1) ≠ 0] ∩ [S_(2n) ≠ 0]) = ℙ(S_(2n) = 0)
IV.B - Soit n ∈ ℕ^∗.
Q 41. Montrer que pour tout k ∈ [ [0, n] ]
ℙ(T_(2n) = 2k) = ℙ(S_(2k) = 0) × ℙ([S_1 ≠ 0] ∩ ⋯ ∩ [S_(2n − 2k) ≠ 0])
Q 42. En déduire que pour k ∈ [ [0, n] ]
ℙ(T_(2n) = 2k) = ((2k)/k)((2n − 2k)/(n − k))1/(4^n)
IV.C - Dans cette sous-partie IV.C α et β sont deux réels tels que 0 < α < β < 1.
Q 43. On définit la fonction f par f(t) = {f(α), si t ∈ [0, α[; 1/(√(t(1 − t))), si t ∈ [α, β]; f(β), si t ∈ ]β, 1].
En utilisant des sommes de Riemann adaptées à f, montrer que
lim_(n → + ∞)∑_(k = ⌊nα⌋ + 1)^(⌊nβ⌋)1/(√k√(n − k)) = ∫_α^β 1/(√(t(1 − t)))dt
Q 44. À l'aide de la partie II justifier qu'il existe une suite (ε_n)_(n ∈ ℕ) convergente vers 1 telle que
((2n)/n) = (4^n)/(√(nπ))(1 − (ε_n)/(8n))
Q 45. En déduire que
lim_(n → + ∞)(∑_(k = ⌊nα⌋ + 1)^(⌊nβ⌋)((2k)/k)((2n − 2k)/(n − k))1/(4^n) − 1/π∑_(k = ⌊nα⌋ + 1)^(⌊nβ⌋)1/(√(k(n − k)))) = 0
Q 46. Montrer alors que
lim_(n → + ∞)ℙ((T_(2n))/(2n) ∈ [α, β]) = 2/π(arcsin(√β) − arcsin(√α))
Ce résultat a des conséquences assez surprenantes au premier abord. Par exemple lim_(n → + ∞)ℙ((T_(2n))/(2n) ⩽ 1/2) = 1/2 s'interprète ainsi: si deux personnes parient chacune un euro chaque jour de l'année à un jeu de hasard équilibré, alors avec la probabilité 1/2, un des deux joueurs sera en tête du premier juillet au 31 décembre.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 PSI 2023 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 PSI 2023 ?

Il mobilise les intégrales à paramètres, la convergence dominée, les séries numériques et les développements limités, les séries entières, les probabilités discrètes et les sommes de Riemann, autour de la formule de Stirling.

Le sujet Centrale Maths 2 PSI 2023 est-il difficile ?

Le jury le juge de difficulté raisonnable, un peu plus long que l'année précédente. Les dernières questions sur le principe de réflexion sont les plus délicates : Q45 et Q46 n'ont été traitées que par une quarantaine de très bonnes copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées au Centrale Maths 2 PSI 2023 ?

Des hypothèses oubliées (continuité, signe, positivité), des dominations fausses, une convergence simple mal étudiée, un manque de formalisme en probabilités et des résultats obtenus avec des calculs faux.

La partie I du sujet Centrale Maths 2 PSI 2023 est-elle faisable en première année ?

Le rapport indique qu'elle mobilise des chapitres de première et de deuxième année, notamment les intégrales à paramètres. Elle n'est donc pas entièrement faisable avec le seul programme de première année.

Pas de description pour le moment