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Centrale Mathématiques 2 PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Opérateur intégral sur un espace préhilbertien de fonctions à poids et solutions développables en séries entières
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Le sujet étudie un opérateur intégral U défini sur l'espace E des fonctions continues sur ]0,+∞[ de carré intégrable pour le poids e^(-t)/t. Il établit d'abord des critères d'appartenance à E et la structure préhilbertienne de E, puis étudie U (endomorphisme, injectivité, symétrie). Il recherche ensuite les solutions développables en séries entières d'une famille d'équations différentielles et relie ces solutions aux éléments propres de U.

  1. 1Partie I : préliminaires, étude de quelques éléments de EConditions d'appartenance à E pour des puissances, des polynômes et des fonctions exponentielles, puis une condition suffisante par majoration de la dérivée.
  2. 2Partie II : structure préhilbertienne de ESous-espace vectoriel, produit scalaire, norme associée et orthogonalité de la famille des fonctions puissances.
  3. 3Partie III : un opérateur sur ERégularité de U(f), équation différentielle vérifiée, majorations, injectivité, surjectivité et symétrie de U.
  4. 4Partie IV : solutions d'une équation différentielle développables en série entièredeuxième année (séries entières) et première et deuxième année (séries numériques)Relation de récurrence sur les coefficients, solutions polynomiales lorsque le paramètre est entier, puis solutions non polynomiales qui n'appartiennent pas à E.
  5. 5Partie V : éléments propres de Udeuxième annéeValeurs propres possibles de U, vecteurs propres polynomiaux et orthogonalité des espaces propres.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet assez long mais d'une difficulté raisonnable, avec des parties indépendantes et des questions très classiques qui ont permis aux candidats d'avancer.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,99 / 20 · écart-type 4,09 · 4 090 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,99/ 20
Écart-type
4,09
Présents
4 090
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,7
3e quartile
12
moyenne 8,9905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 6 mai 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Intégrabilité au voisinage de 0 mal justifiée · Disjonction de cas incomplète · Sous-espace vectoriel et produit scalaire incomplets
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Les parties I à IV ont été abordées par presque tous les candidats et les meilleurs ont traité presque toutes les questions. Le jury relève des méthodes de base fragiles, en particulier le raisonnement par disjonction de cas. Une part non négligeable des copies a été pénalisée pour sa présentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Intégrabilité au voisinage de 0 mal justifiéeQ1

    Certains pensent qu'une limite finie en une borne est nécessaire à l'intégrabilité, d'autres oublient la positivité ou la continuité de la fonction étudiée.

    « pour certains, avoir une limite finie en une borne de l'intervalle est une condition nécessaire d'intégrabilité »
  2. 2
    Disjonction de cas incomplèteQ2, Q3, Q31

    Les raisonnements par cas sont souvent non exhaustifs, et la négation de « a = b = 0 » est parfois mal écrite. Beaucoup croient aussi qu'une somme est intégrable si et seulement si chaque terme l'est.

    « Peu de candidats savent mener à bien un raisonnement par disjonction de cas. »
  3. 3
    Sous-espace vectoriel et produit scalaire incompletsQ10, Q11

    En dehors de la stabilité par combinaison linéaire, les autres points sont souvent omis, et le caractère défini du produit scalaire pose problème.

    « Pour le produit scalaire, le caractère défini pose toujours problème. »
  4. 4
    Majoration fausse d'un reste d'intégraleQ19

    La seconde majoration a donné lieu à des erreurs grossières, comme majorer l'intégrale d'une fonction décroissante sur [x,+∞[ par sa valeur en x.

  5. 5
    Argument valable seulement en dimension finieQ22, Q23

    L'injectivité d'une application linéaire est mal maîtrisée et la surjectivité est souvent traitée avec un argument de dimension finie.

  6. 6
    Rédaction des séries entières lacunaireQ30, Q33, Q35

    Il manque souvent la régularité de la somme, l'unicité des coefficients, l'équivalence demandée ou la précision des rayons de convergence.

    « manquent principalement les arguments de régularité de la somme et d'unicité des coefficients d'une série entière »

Ce qui a été bien réussi

  • L'intégrabilité au voisinage de l'infini en Q1 a été bien traitée.
  • Les questions Q5, Q8, Q14, Q15, Q16, Q18, Q32 et Q34 ont été bien réussies dans l'ensemble.
  • La partie II, très classique hors Q13, a été traitée avec succès dans bon nombre de copies.
  • En Q19, la plupart des candidats ont pensé à l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour la première majoration.

Conseils du jury

  • Utiliser un brouillon et ne pas commencer la rédaction dès la lecture de l'énoncé.
  • Répondre effectivement à la question, conclure, citer les résultats et questions utilisés, vérifier les hypothèses.
  • Évoquer la convergence d'une intégrale avant de la calculer, comme en Q13.
  • Préciser les rayons de convergence lors d'un produit de fonctions développables en série entière.
  • Privilégier la qualité de l'argumentation sur la quantité et signaler honnêtement les manques.
  • Consolider le cours et les méthodes de résolution.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Objectif

Ce problème propose d＇étudier quelques propriétés d＇un opérateur intégral U défini sur un espace préhilbertien réel E ．Cet espace et son produit scalaire sont introduits dans la partie II et l＇opérateur U est étudié dans la partie III．Dans la partie IV，on s＇intéresse à l＇étude d＇une famille d＇équations différentielles à un paramètre pour lesquelles on recherche des solutions développables en séries entières．Enfin，la partie V fait le lien entre les vecteurs propres de l＇endomorphisme U et les solutions des équations différentielles trouvées dans de la partie IV．

Liens entre les différentes parties

－Les parties I et II sont très largement indépendantes à l＇exception de la définition de la fonction k_x ．
－La partie III utilise les résultats de la partie II ainsi que la condition d＇appartenance à E établie dans la partie I．
－La partie IV fait ponctuellement appel à l＇espace E défini et étudié dans les parties I et II．Elle est indépen－ dante de la partie III．
－La partie V utilise les résultats des parties III et IV ainsi que le résultat de la question 3.

Notations

On note E l＇ensemble des fonctions f continues de ℝ_+^∗ dans ℝ telles que l＇intégrale ∫_0^(+ ∞)f^2(t)(e^(− t))/t dt converge．
Pour α ∈ ℝ_+^∗ ，on note p_α la fonction | ℝ_+^∗, →, ℝ; t, ↦, t^α ．

I Préliminaires ：étude de quelques éléments de E

I．A－Des fonctions de E utiles pour la suite

Q 1．Montrer que，pour tout α ∈ ℝ_+^∗, p_α appartient à E ．
Q 2．Soit P une fonction polynomiale non identiquement nulle à coefficients réels．Montrer que la restriction de P à ℝ_+^∗ appartient à E si et seulement si P(0) = 0 ．
Q 3．Soient a et b deux nombres réels．Montrer que la fonction | ℝ_+^∗, →, ℝ; t, ↦, ae^t + b appartient à E si et seulement si a = b = 0 ．
Q 4．Montrer que，pour tout x ∈ ℝ_+^∗ ，la fonction | ℝ_+^∗, →, ℝ; t, ↦, (e^t − 1)^2(e^(− t))/t est intégrable sur ]0, x] ．
Q 5．Pour tout x ∈ ℝ_+^∗ et tout t ∈ ℝ_+^∗ ，on note k_x(t) = e^(min(x, t)) − 1 où min(x, t) désigne le plus petit des réels x et t ．Représenter graphiquement la fonction k_x ．Montrer que k_x appartient à E ．

I．B－Une condition suffisante d＇appartenance à E

Dans cette sous－partie，on suppose que f est une fonction de ℝ_+^∗ dans ℝ de classe C^1 vérifiant
{lim_(x → 0)f(x) = 0,; ∃C > 0; ∀x > 0, |f^′(x)| ⩽ C(e^(x/2))/(√x).
Q 6．Pour x ∈ ℝ_+^∗ ，on pose Φ(x) = (4√xe^(x/2))/(1 + x) − ∫_0^x(e^(t/2))/(√t) dt ．Montrer que Φ est de classe C^1 sur ℝ_+^∗ ，que lim_(x → 0)Φ(x) = 0 et que，pour tout x > 0, Φ^′(x) ⩾ 0 ．En déduire que Φ(x) ⩾ 0 pour tout x > 0 ．
Q 7．Montrer que，pour tout x > 0, |f(x)| ⩽ 4C(√xe^(x/2))/(1 + x) ．
Q 8．En déduire que f ∈ E ．

II Structure préhilbertienne de E

Q 9. Montrer que, si f et g sont deux fonctions de E, alors l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f(t)g(t)(e^(− t))/t dt est absolument convergente.
Q 10. En déduire que E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel C(ℝ_+^∗, ℝ) des fonctions continues sur ℝ_+^∗ à valeurs dans ℝ.
Pour toutes fonctions f ∈ E et g ∈ E, on pose, ⟨f|g⟩ = ∫_0^(+ ∞)f(t)g(t)(e^(− t))/t dt.
Q 11. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur E.
La norme ‖ ⋅ ‖ associée à ce produit scalaire est donc définie pour toute fonction f ∈ E par
‖f‖ = (∫_0^(+ ∞)f^2(t)(e^(− t))/t dt)^(1/2)
Q 12. Montrer que lim_(x → 0)‖k_x‖ = 0. On rappelle que, pour tout x > 0, k_x(t) = e^(min(x, t)) − 1.
Q 13. Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, ∫_0^(+ ∞)t^k e^(− t) dt = k!.
Q 14. On rappelle que les fonctions p_α ont été définies dans les notations en tête de sujet. La famille (p_n)_(n ∈ ℕ^∗) est-elle une famille orthogonale de E ?

III Un opérateur sur E

À chaque fonction f ∈ E, on associe la fonction U(f) définie pour tout x > 0 par
U(f)(x) = ⟨k_x|f⟩ = ∫_0^(+ ∞)(e^(min(x, t)) − 1)f(t)(e^(− t))/t dt.

III.A -

Q 15. À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toute fonction f ∈ E,
lim_(x → 0; x > 0)U(f)(x) = 0.
Q 16. Montrer que pour toute fonction f ∈ E et pour tout x > 0,
U(f)(x) = ∫_0^x(1 − e^(− t))(f(t))/t dt + (e^x − 1)∫_x^(+ ∞)f(t)(e^(− t))/t dt
Q 17. Soit f ∈ E. Montrer que U(f) est de classe C^1 sur ℝ_+^∗ et vérifie, pour tout x > 0,
(U(f))^′(x) = e^x∫_x^(+ ∞)f(t)(e^(− t))/t dt
Dans la suite, pour alléger les notations, la dérivée de la fonction U(f) est notée U(f)^′.
Q 18. Soit f ∈ E. Montrer que U(f) est de classe C^2 sur ℝ_+^∗ et que la fonction U(f) est solution sur ℝ_+^∗ de l'équation différentielle
y^(′′) − y^′ = − (f(x))/x.
Q 19. Montrer que pour tout f ∈ E et pour tout x > 0,
|U(f)^′(x)| ⩽ e^x‖f‖(∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/t dt)^(1/2) ⩽ ‖f‖(e^(x/2))/(√x)
Q 20. Déduire de ce qui précède que U est un endomorphisme de E et que, pour tout f ∈ E et tout x > 0,
|U(f)(x)| ⩽ 4‖f‖(√xe^(x/2))/(1 + x)
Q 21. En déduire que
‖U(f)‖ ⩽ 4‖f‖.
Q 22. Montrer que U est injectif.
Q 23. L'endomorphisme U est-il surjectif ?
III. B - On fixe deux fonctions f et g de E. Pour x > 0, on pose
F(x) = − U(f)^′(x)e^(− x)
Q 24. Vérifier que F est une primitive de x ↦ f(x)(e^(− x))/x sur l'intervalle ℝ_+^∗.
Q 25. Montrer que pour tout x > 0, |F(x)U(g)(x)| ⩽ (4‖f‖‖g‖)/(1 + x).
Q 26. Montrer que pour tout x ∈ ]0, 1], |F(x)| ⩽ ‖f‖(e^(− 1) − ln(x))^(1/2).
On pourra utiliser la question 19.
Q 27. Montrer l'existence et calculer les valeurs des limites en 0 et en + ∞ de la fonction t ↦ F(t)U(g)(t).
Q 28. Montrer que ⟨f|U(g)⟩ = ∫_0^(+ ∞)U(f)^′(t)U(g)^′(t)e^(− t) dt.
Q 29. En déduire que ⟨f|U(g)⟩ = ⟨U(f)|g⟩.

IV Solutions d'une équation différentielle développables en série entière

Pour p ∈ ℝ^∗ on note ( E_p ) l'équation différentielle sur ℝ_+^∗
(E_p) : x(y^(′′) − y^′) + py = 0
Q 30. Soient p ∈ ℝ^∗ et (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels. On suppose que la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n a un rayon de convergence infini. Montrer que la fonction f : x ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n est solution de (E_p) si et seulement si
{a_0 = 0; n(n + 1)a_(n + 1) = (n − p)a_n, ∀n ∈ ℕ^∗

IV.A - Recherche de solutions polynomiales

Q 31. Montrer que ( E_p ) possède des solutions polynomiales non identiquement nulles si et seulement si p ∈ ℕ^∗. Montrer qu'alors, les solutions polynomiales non nulles de ( E_p ) sont de degré p et appartiennent à l'espace vectoriel E.
On ne demande pas de déterminer explicitement les solutions polynomiales lorsqu'elles existent.
Dans la suite de cette sous-partie, on fixe p ∈ ℕ^∗ et on considère un polynôme P ∈ ℝ[X] tel que la fonction polynomiale x ↦ P(x) soit solution de l'équation ( E_p ). L'objectif est de déterminer une expression simple de P en fonction du paramètre p.
Pour tout x ∈ ℝ, on note h(x) = e^(− x)P(x).
Q 32. Montrer que la fonction h est solution de l'équation différentielle x(y^(′′) + y^′) + py = 0 sur ℝ_+^∗.
Q 33. Justifier que la fonction h est développable en série entière sur ℝ.
On note (b_n)_(n ∈ ℕ) la suite des coefficients du développement en série entière de h. Ainsi, pour tout x ∈ ℝ, h(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^n. On peut montrer, de la même façon qu'à la question 30 (cette démonstration n'est pas demandée), que ces coefficients vérifient
{b_0 = 0; n(n + 1)b_(n + 1) = − (n + p)b_n, ∀n ∈ ℕ^∗
Q 34. Établir que, pour tout n ∈ ℕ^∗, b_n = ((− 1)^(n − 1)(n + p − 1)!)/(p!n!(n − 1)!)b_1.
Q 35. On pose g_p(x) = x^(p − 1)e^(− x). Justifier que g_p^((p)) est développable en série entière et déduire de la question 34 que, pour tout x ∈ ℝ,
P(x) = Cxe^x g_p^((p))(x)
où C est une constante réelle dont on précisera l'expression en fonction de b_1 et de p.

IV.B - Solutions développables en séries entières non polynomiales

Dans toute cette sous-partie, on fixe un réel p non nul et on suppose que p ∉ ℕ^∗.
Q 36. Justifier l'existence de suites (a_n)_(n ∈ ℕ) ∈ ℝ^ℕ non identiquement nulles telles que la série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n ait un rayon de convergence infini et telles que la fonction x ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n soit solution de ( E_p ).
On fixe une telle série entière et on pose pour x > 0,
f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n
Q 37. Montrer qu'il existe un entier naturel q > p tel que, pour tout entier n ⩾ q,
|a_(n + 1)| ⩾ (|a_n|)/(2(n + 1))
Q 38. En déduire que, pour tout entier n ⩾ q, |a_n| ⩾ (q!|a_q|)/(2^(n − q)n!).
Q 39. Montrer que la fonction ψ : | ℝ_+^∗, →, ℝ; x, ↦, ∑_(n = q)^(+ ∞)|a_n|x^n n'est pas un élément de E.
Q 40. En déduire enfin que la fonction f n'est pas un élément de E.

V Éléments propres de U

Q 41. Le nombre réel 0 est-il valeur propre de U ?
Q 42. Soit λ ∈ ℝ^∗. On suppose que λ est valeur propre de U. Soit f un vecteur propre associé. Montrer que f est solution de l'équation différentielle ( E_(1/λ) ).
On suppose que f est développable en série entière sur ℝ_+^∗, c'est-à-dire qu'il existe une série entière ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n de rayon de convergence infini telle que
∀x ∈ ℝ_+^∗, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n
Q 43. Montrer que les seules valeurs propres possibles de U sont de la forme λ = 1/p avec p ∈ ℕ^∗.
Q 44. Soit P une solution polynomiale non nulle de (E_p). Démontrer que la fonction pU(P) − P vérifie sur ℝ_+^∗ l'équation différentielle y^(′′) − y^′ = 0.
Q 45. Montrer que P est un vecteur propre de U pour la valeur propre 1/p.
Q 46. Pour tout entier p ∈ ℕ^∗ et tout x > 0, on pose P_p(x) = xe^x g_p^((p))(x), où g_p(x) = x^(p − 1)e^(− x). On rappelle que P_p est une fonction polynomiale de degré p et que P_p ∈ E. Montrer que les polynômes P_p sont deux à deux orthogonaux dans E.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2022 ?

Le sujet mobilise l'intégration sur un intervalle quelconque, les espaces préhilbertiens, les séries entières et les séries numériques, les équations différentielles linéaires et la recherche d'éléments propres d'un endomorphisme symétrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale maths 2 PSI 2022 ?

Les raisonnements par disjonction de cas incomplets, l'étude de l'intégrabilité en 0, les preuves partielles de sous-espace vectoriel et de produit scalaire, et une rédaction insuffisante des recherches de solutions développables en série entière.

Le sujet Centrale maths 2 PSI 2022 était-il difficile ?

Le jury le juge assez long mais d'une difficulté raisonnable. Les parties I à IV ont été abordées par presque tous, alors que la partie V et les questions Q36 à Q40 n'ont été abordées que par environ un quart des candidats.

Quelles parties du sujet Centrale maths 2 PSI 2022 sont indépendantes ?

Selon l'énoncé, les parties I et II sont largement indépendantes, et la partie IV est indépendante de la partie III. La partie V utilise les parties III et IV ainsi que la question 3.

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