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Centrale Mathématiques 2 PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonctions de Lambert : réciproques de x ↦ xe^x, applications en probabilités et développement en série entière
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Le problème définit les fonctions de Lambert V et W comme réciproques de x ↦ xe^x sur deux intervalles et en étudie les propriétés. Il les applique à deux situations probabilistes, établit le théorème binomial d'Abel pour obtenir le développement en série entière de W, puis approche W par une suite de fonctions. Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles et n'utilisent que la partie I.

  1. 1Partie I : fonctions de LambertBijection et réciproque, régularité, équivalents, tracé des courbes, intégrabilité et résolution d'équations avec V et W.
  2. 2Partie II : probabilitésLoi de Poisson et loi binomiale, inégalité de Markov et recherche d'un paramètre optimal à l'aide de V et W.
  3. 3Partie III : développement en série entièreThéorème binomial d'Abel par une base de polynômes, rayon de convergence, équation différentielle xy' = y et identification de la somme avec W.
  4. 4Partie IV : approximation de WPoint fixe, suite de fonctions définie par récurrence et convergence uniforme.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet de longueur très raisonnable où la plupart des questions sont assez simples, mais qui n'encourage pas le grappillage et contient quelques questions réservées aux meilleurs.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,49 / 20 · écart-type 4,15 · 4 043 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,49/ 20
Écart-type
4,15
Présents
4 043
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
4,3
Médiane
7
3e quartile
10
moyenne 7,4905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 1 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème de la bijection incomplet · Graphe incohérent · Hypothèses oubliées en probabilités
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Le sujet a bien classé les candidats selon leur compréhension, la précision de leurs connaissances et leur rigueur. Le jury salue la gestion de certains calculs, l'obtention fréquente de l'identité d'Abel et les connaissances en probabilités. Il déplore une présentation négligée, des abréviations obscures et des affirmations fausses présentées comme issues du cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de la bijection incompletQ1, Q3, Q8

    Pour justifier une bijection, il manque souvent la continuité, la stricte monotonie justifiée ou la limite. Le résultat sur la dérivabilité de la réciproque n'est pas connu.

    « Le résultat concernant la dérivabilité de la réciproque n’est pas connu. »
  2. 2
    Graphe incohérentQ3, Q5

    Moins de 40 % des candidats tracent un graphe soigné avec les tangentes, et la contradiction avec une valeur fausse de W'(0) n'est jamais relevée.

    « Rappelons qu’une verticale ne coupe jamais le graphe d’une fonction en plus d’un point. »
  3. 3
    Hypothèses oubliées en probabilitésQ12, Q13, Q16, Q17

    L'indépendance est indispensable pour trouver la loi de X. Avant d'appliquer l'inégalité de Markov, il faut vérifier la positivité et l'intégrabilité.

    « avant d’appliquer l’inégalité de Markov il fallait préciser positivité (et intégrabilité) »
  4. 4
    Séries entières manipulées sans précautionQ28, Q30

    Moins de 40 % des réponses donnent correctement les dérivées en 0. Pour un produit de Cauchy, il faut examiner les rayons des deux séries et repérer un terme constant nul.

  5. 5
    Équation différentielle xy' = y mal résolueQ32

    La moitié des candidats qui traitent la question se trompent sur un intervalle ne contenant pas 0. Vérifier que la solution trouvée convient aurait évité les erreurs de signe.

    « Quant au raccordement des solutions il n’est correctement traité que dans 10 % des copies. »
  6. 6
    Convergence simple et uniforme confonduesQ38

    Seule une minorité fait la différence entre les deux modes de convergence, et très peu majorent proprement |1 − W(x)| par une constante.

    « seule une minorité de candidats semble avoir compris la différence entre convergence simple et uniforme »

Ce qui a été bien réussi

  • De nombreux candidats ont su obtenir l'identité d'Abel et son corollaire.
  • Les connaissances en probabilités sont globalement bonnes.
  • Les candidats n'ont jamais été bloqués et ont su choisir les parties qui leur convenaient.

Conseils du jury

  • Apprendre le cours avec précision : savoir qu'un résultat est vrai ne dispense pas de savoir le démontrer.
  • Citer le cours exactement sans le redémontrer, sauf question de cours explicite.
  • Vérifier les cas particuliers, comme m = e^(-1) où les deux solutions sont confondues.
  • Contrôler la cohérence des résultats entre questions et signaler honnêtement les manques.
  • Privilégier la qualité de l'argumentation sur la quantité de questions traitées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Les fonctions de Lambert

Objectifs

L'objet de ce problème est l'étude de différentes propriétés des fonctions de Lambert ainsi que leur application en probabilités.

Dépendance des parties

Les fonctions V et W définies dans la partie I sont utilisées dans les parties II, III et IV. Les parties II, III et IV sont indépendantes les unes des autres.

Notations

Pour des entiers k et n avec 0 ⩽ k ⩽ n, le coefficient binomial « k parmi n » est noté (n/k).
Lorsque k ⩽ n, [ [k, n] ] représente l'ensemble des nombres entiers compris, au sens large, entre k et n.

I Fonctions de Lambert

Dans cette partie, on définit les fonctions de Lambert et on étudie certaines de leurs propriétés. On considère, dans toute cette partie, l'application
f : | ℝ, →, ℝ; x, ↦, xe^x
Q 1. Justifier que l'application f réalise une bijection de l'intervalle [ − 1, + ∞[ sur l'intervalle [ − e^(− 1), + ∞[. Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notée W. On rappelle que ceci signifie que, pour tout réel x ⩾ − e^(− 1), W(x) est l'unique solution de l'équation f(t) = x (équation d'inconnue t ∈ [ − 1, + ∞[ ).
Q 2. Justifier que W est continue sur [ − e^(− 1), + ∞[ et est de classe C^∞ sur ] − e^(− 1), + ∞[.
Q 3. Expliciter W(0) et W^′(0).
Q 4. Déterminer un équivalent de W(x) lorsque x → 0 ainsi qu'un équivalent de W(x) lorsque x → + ∞.
Q 5. Tracer, sur le même dessin, les courbes C_f et C_W représentatives des fonctions f et W. Préciser les tangentes aux deux courbes au point d'abscisse 0 ainsi que la tangente à C_W au point d'abscise − e^(− 1).
Q 6. Pour quelles valeurs du paramètre réel α la fonction x ↦ x^α W(x) est-elle intégrable sur ]0, 1] ?
Q 7. Pour quelles valeurs du paramètre réel α la fonction x ↦ x^α W(x) est-elle intégrable sur [1, + ∞[ ?
Q 8. Démontrer que l'application f réalise une bijection de l'intervalle ] − ∞, − 1] sur l'intervalle [ − e^(− 1), 0[. Dans la suite du sujet, la réciproque de cette bijection est notée V.
Q 9. Pour un paramètre réel m, on considère l'équation d'inconnue x ∈ ℝ
xe^x = m
Déterminer, en fonction de m, le nombre de solutions de (I.1). Expliciter les solutions éventuelles à l'aide des fonctions V et W.
Q 10. Pour un paramètre réel m, on considère l'inéquation d'inconnue x ∈ ℝ
xe^x ⩽ m
En utilisant les fonctions V et W, déterminer, suivant les valeurs de m, les solutions de (I.2). Illustrer graphiquement les différents cas.
Q 11. Pour des paramètres réels non nuls a et b, on considère l'équation d'inconnue x ∈ ℝ
e^(ax) + bx = 0
Déterminer, suivant les valeurs de a et b, le nombre de solutions de (I.3). Expliciter les solutions éventuelles à l'aide des fonctions V et W.

II Probabilités

On étudie dans cette partie deux situations dont la résolution fait intervenir les fonctions V et W définies dans la partie précédente. Les variables aléatoires considérées dans cette partie sont définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ). L'espérance et la variance d'une variable aléatoire X sont notées, sous réserve d'existence, respectivement 𝔼(X) et 𝕍(X).

II.A - Première situation

Pour fidéliser sa clientèle, un commerçant organise une tombola permettant de gagner différents lots. Chaque client qui entre dans le magasin tire un billet de tombola. Chaque billet permet de gagner un lot avec la probabilité p ∈ ]0, 1[. On suppose que les tirages sont indépendants et on admet que le nombre N de billets distribués aux clients au cours d'une journée est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On note X le nombre de billets gagnants tirés au cours d'une journée et on admet que X est également une variable aléatoire.
Pour que l'opération soit rentable, le commerçant souhaite que la probabilité de gagner au moins deux lots durant la même journée soit faible. On considère donc un réel α ∈ ]0, 1[ et on souhaite réaliser la condition
ℙ(X ⩾ 2) ⩽ 1 − α.
Cependant, pour que l'opération intéresse les clients, le commerçant souhaite également que p soit le plus grand possible, tout en réalisant la condition (II.1).
Q 12. Démontrer que X suit une loi de Poisson de paramètre λp. Donner l'espérance et la variance de X.
Q 13. En utilisant l'inégalité de Markov, démontrer que si p ⩽ 2(1 − α)/λ, alors la condition (II.1) est satisfaite.
Q 14. On pose x = − (λp + 1). Démontrer que la condition (II.1) est équivalente à la condition
xe^x ⩽ − αe^(− 1)
Q 15. En utilisant l'une des fonctions V et W (définies dans la partie I) et la question 10, discuter selon la position de λ par rapport à − 1 − V(− αe^(− 1)) l'existence d'un plus grand réel p ∈ ]0, 1[ satisfaisant la condition (II.1).

II.B - Deuxième situation

Un message constitué d'une suite de bits est transmis sur un canal. Cependant, ce canal n'est pas fiable : chaque bit risque d'être inversé, indépendamment des autres, avec la probabilité 1 − p ∈ ]0, 1[. Pour fiabiliser la transmission, on découpe le message et on transmet des blocs de r bits. Chaque bloc comprend à la fois des bits du message d'origine et des bits supplémentaires qui permettent de détecter et corriger une erreur. On note X le nombre d'inversions survenues lors de la transmission d'un bloc de r bits et on admet que X est une variable aléatoire. Pour que la transmission soit suffisamment fiable, on souhaite que la probabilité qu'il y ait au moins deux erreurs dans un même paquet soit faible. Plus précisément, on considère α ∈ ]0, 1[ et on veut réaliser la condition
ℙ(X ⩾ 2) ⩽ 1 − α.
Pour que le codage soit efficace, on souhaite de plus que r soit le plus grand possible, tout en réalisant la condition (II.2).
Q 16. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
Q 17. En utilisant l'inégalité de Markov, démontrer que si r ⩽ 2(1 − α)/(1 − p), alors la condition (II.2) est satisfaite.
Q 18. On pose a = (pln(p))/(p − 1) et x = rln(p) − a. Démontrer que la condition (II.2) est équivalente à la condition
xe^x ⩽ − αae^(− a).
Q 19. En utilisant l'une des fonctions V et W (définies dans la partie I) et la question 10, étudier l'existence d'un plus grand entier naturel r satisfaisant la condition (II.2).
Q 20. Lorsqu'il existe, exprimer cet entier en fonction de p, α et a à l'aide d'une des fonctions V ou W.

III Développement en série entière

Le but de cette partie est d'établir que la fonction W définie dans la partie I est développable en série entière et de préciser son développement ainsi que son rayon de convergence. Pour cela, on commence par établir un résultat de nature algébrique.

III.A - Le théorème binomial d'Abel

On considère dans cette partie un entier naturel n ainsi qu'un nombre complexe a. On définit une famille de polynômes (A_0, A_1, …, A_n) en posant
A_0 = 1 et, pour tout k ∈ [ [1, n] ], A_k = 1/(k!)X(X − ka)^(k − 1).
On note ℂ_n[X] le ℂ-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes et de degré inférieur ou égal à n.
Q 21. Démontrer que la famille (A_0, …, A_n) est une base de ℂ_n[X].
Q 22. Démontrer que pour tout k ∈ [ [1, n] ], A_k^′(X) = A_(k − 1)(X − a).
Q 23. En déduire, pour j et k éléments de [ [0, n] ], la valeur de A_k^((j))(ja). On distinguera suivant que j < k, j = k ou j > k.
Soit P un élément de ℂ_n[X] et soient α_0, …, α_n des nombres complexes tels que
P = ∑_(k = 0)^n α_k A_k.
Q 24. Démontrer que, pour tout j ∈ [ [0, n] ], α_j = P^((j))(ja).
Q 25. En déduire l'identité binomiale d'Abel :
∀(a, x, y) ∈ ℂ^3, (x + y)^n = y^n + ∑_(k = 1)^n(n/k)x(x − ka)^(k − 1)(y + ka)^(n − k)
Q 26. Établir la relation,
∀(a, y) ∈ ℂ^2, ny^(n − 1) = ∑_(k = 1)^n(n/k)(− ka)^(k − 1)(y + ka)^(n − k).

III.B - Développement en série entière de la fonction W

On définit une suite (a_n)_(n ⩾ 1) en posant,
∀n ∈ ℕ^∗, a_n = ((− n)^(n − 1))/(n!).
On définit, lorsque c'est possible, S(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n x^n.
Q 27. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑_(n ⩾ 1)a_n x^n.
Q 28. Justifier que la fonction S est de classe C^∞ sur ] − R, R[ et, pour tout entier n ∈ ℕ, exprimer S^((n))(0) en fonction de n.
Q 29. Démontrer que la fonction S est définie et continue sur [ − R, R].
Q 30. Démontrer que,
∀x ∈ ] − R, R[, x(1 + S(x))S^′(x) = S(x).
On pourra utiliser le résultat de la question 26.
On considère la fonction h : | ] − R, R[, →, ℝ; x, ↦, S(x)e^(S(x))
Q 31. Démontrer que h est solution sur ] − R, R[ de l'équation différentielle xy^′ − y = 0.
Q 32. Résoudre l'équation différentielle xy^′ − y = 0 sur chacun des intervalles ]0, R[] − R,, 0[ puis sur l'intervalle ] − R, R[.
Q 33. En déduire que,
∀x ∈ ] − R, R[, S(x) = W(x).
Q 34. Ce résultat reste-t-il vrai sur [ − R, R] ?

IV Approximation de W

On définit dans cette partie une suite de fonctions (w_n)_(n ⩾ 0) et on étudie sa convergence vers la fonction W définie dans la partie I.
Pour tout réel positif x, on considère la fonction φ_x définie par
φ_x : | ℝ, →, ℝ; t, ↦, xexp(− xexp(− t))
et on définit, sur ℝ^+, une suite de fonctions (w_n)_(n ⩾ 0) par,
∀x ∈ ℝ^+, {w_0(x) = 1; w_(n + 1)(x) = φ_x(w_n(x))
Q 35. Démontrer que, pour tout réel positif x, W(x) est un point fixe de φ_x, c'est-à-dire une solution de l'équation φ_x(t) = t.
Q 36. Démontrer que, pour tout réel positif x, la fonction φ_x est de classe C^2 sur ℝ et que
∀t ∈ ℝ, 0 ⩽ φ_x^′(t) ⩽ x/e
Q 37. En déduire que
∀x ∈ [0, e], ∀n ∈ ℕ, |w_n(x) − W(x)| ⩽ (x/e)^n|1 − W(x)|.
Q 38. Pour tout réel a ∈ ]0, e[, justifier que la suite de fonctions ( w_n ) converge uniformément sur [0, a] vers la fonction W.
Q 39. La suite de fonctions (w_n) converge-t-elle uniformément vers W sur [0, e] ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2020 ?

Sur l'étude de fonctions et les bijections réciproques, les intégrales généralisées, les probabilités discrètes, les polynômes, les séries entières, les équations différentielles linéaires et la convergence uniforme des suites de fonctions.

Quelles erreurs le jury de Centrale maths 2 PSI 2020 a-t-il relevées ?

Des justifications de bijection incomplètes, un graphe incohérent en Q5, l'oubli de la positivité avant l'inégalité de Markov, la résolution ratée de xy' = y en Q32 et la confusion entre convergence simple et uniforme en Q38.

Les parties du sujet Centrale maths 2 PSI 2020 sont-elles indépendantes ?

La partie I définit les fonctions V et W utilisées ensuite. Les parties II, III et IV sont indépendantes les unes des autres.

Le sujet Centrale maths 2 PSI 2020 est-il difficile ?

Le jury le juge de longueur très raisonnable, avec une majorité de questions assez simples. Il demande toutefois une vraie connaissance du cours, et quelques questions n'ont été comprises que par les meilleurs candidats.

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