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Centrale Mathématiques 2 PSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Autour des fonctions hypergéométriques

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Suites, séries et fonctions hypergéométriques : fonction Gamma, polynômes de Laguerre et loi hypergéométrique
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Le sujet définit les suites et séries hypergéométriques, puis prolonge la factorielle par la fonction Gamma. Il étudie ensuite la fonction hypergéométrique de Gauss et la fonction hypergéométrique confluente, avec l'identité de Vandermonde. Deux parties indépendantes donnent des exemples : les polynômes de Laguerre et la loi hypergéométrique en probabilités.

  1. 1Partie I : suites et séries hypergéométriquespremière annéeExemples de suites hypergéométriques et recherche d'une base d'un espace de suites défini par une relation de récurrence.
  2. 2Partie II : extension de la factorielledeuxième annéeDéfinition de la fonction Gamma par une intégrale généralisée, continuité, positivité et relation fonctionnelle.
  3. 3Partie III : fonctions hypergéométriquesdeuxième annéeSymbole de Pochhammer, rayon de convergence et régularité de la fonction de Gauss, identité de Vandermonde et solutions développables en série entière d'une équation différentielle.
  4. 4Partie IV : polynômes de Laguerrepremière annéeCalcul des polynômes par la formule de Leibniz, relations de récurrence et équation différentielle vérifiée.
  5. 5Partie V : loi hypergéométriquepremière année, avec quelques notions de deuxième annéeLoi, espérance, fonction génératrice, modélisation par des tirages dans une urne, variance et approximation par une loi binomiale.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet assez long mais de difficulté raisonnable, avec des parties indépendantes et progressives qui ont permis aux candidats d'entrer en confiance.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,08 / 20 · écart-type 3,86 · 3 936 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,08/ 20
Écart-type
3,86
Présents
3 936
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
6
Médiane
8,8
3e quartile
12
moyenne 9,0805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Espaces vectoriels traités à moitié · Hypothèses d'intégration oubliées · Règle de d'Alembert mal appliquée
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Les meilleurs candidats ont traité presque tout le sujet avec rigueur, et chaque question a été abordée par plusieurs candidats. Le jury note une compréhension fragile des polynômes et des espaces vectoriels, et des résultats sur les séries entières insuffisamment connus. La partie de probabilités a été moins souvent abordée, et beaucoup de copies négligent la présentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Espaces vectoriels traités à moitiéQ3, Q14

    La structure de sous-espace vectoriel est mal justifiée et l'indépendance linéaire de la famille trouvée est rarement démontrée. Diviser par n(n-2) sans regarder la valeur de n fait perdre des suites.

    « peu de candidats ont réussi à démontrer l’indépendance linéaire »
  2. 2
    Hypothèses d'intégration oubliéesQ5, Q6

    Les règles de comparaison exigent des fonctions de signe constant. La domination doit être justifiée avec l'intégrabilité de la fonction dominante, et la continuité est nécessaire pour conclure qu'une fonction positive d'intégrale nulle est nulle.

    « il ne faut pas omettre de mentionner l’intégrabilité de la fonction dominante »
  3. 3
    Règle de d'Alembert mal appliquéeQ15

    Le dénominateur peut s'annuler, et la valeur d'une limite ne donne pas directement le rayon de convergence. Les cas particuliers sur a et b sont presque toujours oubliés.

  4. 4
    Développements usuels mal connusQ18, Q19

    Beaucoup ne reconnaissent pas la fonction arctan ou la confondent avec sin, et le développement de ln(1+x) est souvent faux.

    « Il était attendu de présenter des calculs détaillés »
  5. 5
    Résultats donnés atteints par des calculs forcésQ20, Q27, Q28, Q29

    Quand l'énoncé donne le résultat, le jury repère les simplifications injustifiées destinées à y arriver, et cela dessert le candidat.

    « Ce type de comportement est préjudiciable au candidat »
  6. 6
    Série entière solution d'une équation différentielle incomplèteQ23

    La question se limite souvent au calcul : la dérivation terme à terme, l'unicité des coefficients et la synthèse sont rarement évoquées.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie II, très classique, est réussie dans de nombreuses copies.
  • Le théorème de continuité des intégrales à paramètre est assez bien connu (Q6).
  • Les questions 7, 8 et 9 sont assez bien ou bien traitées.
  • Beaucoup de candidats obtiennent des développements en série entière corrects (Q18, Q19).
  • La définition de l'espérance d'une variable à support fini est bien connue (Q32).

Conseils du jury

  • Utiliser un brouillon et réfléchir avant de rédiger une réponse au propre.
  • Citer les résultats et les numéros de questions utilisés, et vérifier leurs hypothèses de validité.
  • Penser aux cas particuliers, comme n = 0 en Q10 et Q11.
  • Rédiger les calculs et conclure, même dans les questions surtout calculatoires de la partie IV.
  • Signaler honnêtement les manques d'une réponse plutôt que de forcer un résultat.
  • Privilégier la qualité et la précision de l'argumentation sur la quantité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Autour des fonctions hypergéométriques

Objectif

L'objectif du problème est l'étude de suites, séries et fonctions dites hypergéométriques et d'en donner quelques exemples en analyse et en probabilités.
La partie I introduit la notion de suites et séries hypergéométriques. La partie II, indépendante de la partie I, définit la fonction Γ, permettant d'étendre la factorielle à des valeurs non entières. La partie III, qui s'appuie sur certains résultats des deux premières parties, introduit deux familles de fonctions hypergéométriques. Les parties IV et V, indépendantes l'une de l'autre, donnent des exemples de fonctions hypergéométriques, respectivement dans le cadre d'une famille de polynômes et dans un contexte probabiliste.

Notations

Soit (n, p) ∈ ℕ^2. On note (n/p) le coefficient binomial p parmi n, égal à (n!)/(p!(n − p)!) si p ⩽ n et égal à 0 sinon.
On note D = ℝ∖{ − n|n ∈ ℕ} l'ensemble des réels qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls.
Si f est une fonction de classe C^n, les deux notations f^((n)) et (d^n f)/(dx^n) sont utilisées pour la dérivée n-ième de f.

I Suites et séries hypergéométriques

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite à valeurs réelles. On dit que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est hypergéométrique lorsqu'il existe deux polynômes non nuls P et Q de ℝ[X] tels que
∀n ∈ ℕ, P(n)u_n = Q(n)u_(n + 1).
On dit alors que P et Q sont des polynômes associés à la suite hypergéométrique (u_n)_(n ∈ ℕ).
On dit également qu'une série entière ∑u_n x^n est une série hypergéométrique lorsque la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est hypergéométrique.
Q 1. Montrer qu'une suite géométrique est hypergéométrique.
Q 2. Soit p ∈ ℕ. Montrer que la suite de terme général u_n = (n/p) est hypergéométrique.
Q 3. Démontrer que l'ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec
P(X) = X(X − 1)(X − 2) et Q(X) = X(X − 2),
est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
Q 4. Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite hypergéométrique de polynômes associés P et Q. On suppose qu'il existe un entier naturel n_0 tel que P(n_0) = 0 et, ∀n ⩾ n_0, Q(n) ≠ 0. Justifier que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est nulle à partir d'un certain rang.

II Extension de la factorielle

On pose, pour tout x ∈ ℝ^(+ ∗),
Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
Q 5. Justifier qu'on définit ainsi une fonction sur ℝ^(+ ∗).
Q 6. Montrer que la fonction Γ est continue et strictement positive sur ℝ^(+ ∗).
Q 7. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ^(+ ∗),
Γ(x + 1) = xΓ(x).
Q 8. Déterminer la valeur de Γ(n), pour n ∈ ℕ^∗.
On admet qu'on peut prolonger la fonction Γ sur D par une fonction continue, toujours notée Γ, qui vérifie la relation (II.1) pour tout x ∈ D.

III Fonctions hypergéométriques

III.A - Symbole de Pochhammer

On définit le symbole de Pochhammer, pour tout nombre réel a et tout entier naturel n par
[a]_n = {1, si n = 0; a(a + 1)⋯(a + n − 1) = ∏_(k = 0)^(n − 1)(a + k), sinon
Q 9. Si a est un entier négatif ou nul, justifier que la suite ([a]_n)_(n ∈ ℕ) est nulle à partir d'un certain rang.
Q 10. Soit a ∈ ℝ. Vérifier que, pour tout entier naturel n, [a]_(n + 1) = a[a + 1]_n.
Q 11. Soit n ∈ ℕ. Donner une expression de [a]_n
  • à l'aide de factorielles lorsque a ∈ ℕ^∗;
  • à l'aide de deux valeurs de la fonction Γ, lorsque a ∈ D.

III.B - Fonction hypergéométrique de Gauss

Étant donné trois nombres réels a, b et c, on appelle fonction hypergéométrique de Gauss associée au triplet ( a, b, c ), la fonction, définie sur un sous-ensemble de ℝ, par
F_(a, b, c)(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)([a]_n[b]_n)/([c]_n)(x^n)/(n!).
Q 12. Justifier que, si c ∈ D, alors ([a]_n[b]_n)/([c]_n) est bien défini pour tout entier naturel n.
On suppose cette condition vérifiée dans les questions suivantes.
Q 13. Montrer que la série entière ∑([a]_n[b]_n)/([c]_n)(x^n)/(n!) est hypergéométrique et préciser des polynômes associés.
Q 14. Réciproquement, démontrer que l'ensemble des séries hypergéométriques associées aux polynômes obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une base et dont on précisera la dimension.
Q 15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑([a]_n[b]_n)/([c]_n)(x^n)/(n!).
Q 16. Justifier que F_(a, b, c) est de classe C^1 sur ] − 1, 1[. Calculer sa dérivée et l'exprimer à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.
Q 17. Justifier que F_(a, b, c) est de classe C^∞ sur ] − 1, 1[ et exprimer sa dérivée n-ième à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.
Q 18. Exprimer la fonction x ↦ F_(1/2, 1, 3/2)(− x^2) à l'aide de fonctions usuelles.
Q 19. Exprimer la fonction
x ↦ {(ln(1 + x))/x, si x ∈ ] − 1, 1[∖{0}; 1, si x = 0
à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.
On admet, en cas d'existence de toutes les quantités présentes dans l'expression suivante, que
F_(a, b, c)(1) = (Γ(c)Γ(c − a − b))/(Γ(c − a)Γ(c − b))
Q 20. Soient N ∈ ℕ, c ∈ D, a ∈ ℝ tels que c − a ∈ D. Justifier l'existence de F_(a, − N, c)(1) et démontrer que
∑_(k = 0)^N(− 1)^k(N/k)([a]_k)/([c]_k) = ([c − a]_N)/([c]_N)
Q 21. Soit (u, v) ∈ ℕ^2 tels que N ⩽ min(u, v). En prenant a = − u et c = v − N + 1, montrer l'identité de Vandermonde :
((u + v)/N) = ∑_(k = 0)^N(u/k)(v/(N − k))
On admet pour la suite que l'identité de Vandermonde reste valable pour tous entiers naturels u, v, N.
Q 22. Donner une interprétation combinatoire de l'identité de Vandermonde.

III.C - Fonction hypergéométrique confluente

Soient deux nombre réels a et c tels que c ∈ D.
Q 23. Déterminer les solutions développables en série entière de l'équation différentielle
xy^(′′)(x) + (c − x)y^′(x) − ay(x) = 0
On exprimera ces solutions à l'aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble.
On note M_(a, c) la solution de l'équation (III.1) vérifiant M_(a, c)(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction hypergéométrique confluente associée au couple ( a, c ).

IV Les polynômes de Laguerre

Soit n ∈ ℕ. On pose, pour tout nombre réel x,
Φ_n(x) = e^(− x)x^n et L_n(x) = (e^x)/(n!)Φ_n^((n))(x)
Q 24. Déterminer L_0, L_1, L_2 et L_3.
Dans toute la suite, n est un entier naturel non nul.
Q 25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction L_n est polynomiale de degré n. Déterminer les coefficients c_(n, k) tels que L_n(x) = ∑_(k = 0)^n c_(n, k)x^k.
Q 26. Pour tout nombre réel x, exprimer Φ_n^((n))(x) et Φ_n^((n + 1))(x) en fonction de L_n(x) et L_n^′(x).
Q 27. Utiliser l'égalité Φ_(n + 1)^((n + 1))(x) = (d^(n + 1)xΦ_n(x))/(dx^(n + 1)), que l'on justifiera, pour démontrer l'égalité
L_(n + 1)(x) = (1 − x/(n + 1))L_n(x) + x/(n + 1)L_n^′(x)
valable pour tout nombre réel x.
Q 28. Utiliser l'égalité Φ_(n + 1)^((n + 2))(x) = (d^(n + 1)Φ_(n + 1)^((1)))/(dx^(n + 1))(x) pour démontrer l'égalité
L_(n + 1)^′(x) = L_n^′(x) − L_n(x)
valable pour tout nombre réel x.
Q 29. En déduire que L_n est solution de l'équation différentielle
xL_n^(′′)(x) + (1 − x)L_n^′(x) + nL_n(x) = 0.
Q 30. Montrer que L_n est une fonction hypergéométrique confluente.

V Loi hypergéométrique

On considère un espace probabilisé (Ω, A, ℙ).
Soient deux entiers naturels A et n tels que n ⩽ A et p un nombre réel compris entre 0 et 1 . On suppose pA ∈ ℕ et on note q = 1 − p.
Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur ( Ω, A, ℙ ). On dit que X suit la loi hypergéométrique de paramètres n, p et A lorsque
{X(Ω) ⊂ [ [0, n] ],; ℙ(X = k) = (((pA)/k)((qA)/(n − k)))/((A/n)) pour tout k ∈ [ [0, n] ].
On note alors X↪H(n, p, A).

V.A - Premiers résultats

Q 31. Vérifier qu'on a bien défini une loi de probabilité.
Q 32. Soit X une variable aléatoire telle que X↪H(n, p, A). Calculer l'espérance de X.
On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls k et N, k(N/k) = N((N − 1)/(k − 1)).
Q 33. Montrer que la suite (ℙ(X = k))_(k ∈ ℕ) est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de X à l'aide d'une fonction hypergéométrique.

V.B - Modélisation

On considère deux urnes contenant chacune A boules dont pA sont blanches et qA sont noires. On tire simultanément, de manière équiprobable, n boules dans la première urne. On note Y le nombre de boules blanches obtenues. On tire également, de manière équiprobable, n boules dans la deuxième urne, mais successivement et avec remise. On note Z le nombre de boules blanches obtenues.
Q 34. Quelle est la loi de la variable Z ? Donner l'espérance et la variance de Z.
Q 35. Démontrer que Y↪H(n, p, A).

V.C - Calcul de la variance

On se propose d'utiliser la modélisation du tirage dans la première urne pour retrouver la valeur de l'espérance et pour calculer la variance d'une variable aléatoire suivant la loi hypergéométrique H(n, p, A).
Pour cela, on numérote de 1 à pA chacune des boules blanches contenues dans la première urne et, pour tout entier naturel i ∈ [ [1, pA] ], on pose
Y_i = {1, si la boule numérotée i a été tirée,; 0, sinon.
Q 36. Exprimer Y à l'aide des Y_i et retrouver la valeur de l'espérance de Y. La comparer à celle de Z.
Q 37. Pour 1 ⩽ i < j ⩽ pA, démontrer que la variable aléatoire Y_i Y_j suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.
Q 38. En déduire la valeur de la variance de Y. La comparer à celle de Z.

V.D - Résultats asymptotiques

Soit X une variable aléatoire suivant la loi H(n, p, A). On fixe n et p. Soit k ∈ [ [0, n] ].
Q 39. Montrer que lim_(A → + ∞)ℙ(X = k) = (n/k)p^k(1 − p)^(n − k).
Q 40. Interpréter ce résultat en lien avec ceux obtenus pour l'espérance et la variance de Y.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Centrale maths 2 PSI 2021 ?

Sur les espaces vectoriels et les polynômes, les intégrales généralisées et à paramètre, les séries entières, les équations différentielles linéaires, la dérivation et les probabilités discrètes. Le fil conducteur est la notion de fonction hypergéométrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Centrale maths 2 PSI 2021 ?

Une indépendance linéaire rarement démontrée en Q3, des hypothèses d'intégration oubliées en Q5 et Q6, une règle de d'Alembert appliquée sans précaution en Q15 et des développements usuels mal connus en Q18 et Q19.

Le sujet Centrale maths 2 PSI 2021 est-il faisable en première année ?

En partie. Selon le rapport, les parties I et IV relèvent surtout du programme de première année et la partie V principalement aussi, alors que les parties II et III portent sur l'analyse de deuxième année.

Le sujet Centrale maths 2 PSI 2021 était-il long ?

Le jury le juge assez long avec une difficulté raisonnable. Les meilleurs candidats ont traité presque toutes les questions, et la partie V a été moins souvent abordée.

Pas de description pour le moment