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E3A Mathématiques A PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Concours ENSAM－ESTP－ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si，au cours de l＇épreuve，un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d＇énoncé， d＇une part il le signale au chef de salle，d＇autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu＇il est amené à prendre．

L＇usage de calculatrices est interdit．

Questions de cours．

Question 1.

Les assertions suivantes，dans lesquelles ∑_(n ⩾ 0)u_n et ∑_(n ⩾ 0)v_n désignent deux séries numériques réelles，sont－elles vraies，ou fausses ？En cas de réponse affirmative，vous démontrerez le résultat，et en cas de réponse négative vous donnerez un contre exemple．
1） (u_n) converge vers 0 ⇒ ∑_(n ⩾ 0)u_n converge．
2） ∑_(n ⩾ 0)u_n converge ⇒ (u_n) converge vers 0 ．
3） u_n ∼ _(+ ∞)v_n ⇒ ∑_(n ⩾ 0)u_n et ∑_(n ⩾ 0)v_n sont de même nature．
4） ∑_(n ⩾ 0)u_n converge ⇒ ∑_(n ⩾ 0)|u_n| converge．

Question 2.

Etudier la convergence de la série ： ∑_(n ⩾ 2)(− 1)^n(lnn)/n ．

Préliminaires ：

Soit (t_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle qui converge vers 0 ．
Soit ε > 0 ：il existe donc N ∈ ℕ tel que ：
∀n ∈ ℕ, n > N ⇒ |t_n| ⩽ ε.
On pose, pour tout n ∈ ℕ, T_n = 1/(n + 1)∑_(k = 0)^n t_k.
  1. On écrit alors, pour tout n ∈ ℕ^∗, n > N,
T_n = 1/(n + 1)∑_(k = 0)^N t_k + 1/(n + 1)∑_(k = N + 1)^n t_k,
1.1. Prouver que : |∑_(k = N + 1)^n t_k| ⩽ nε.
1.2. En déduire que la suite ( T_n ) converge vers 0 .
2. Prouver alors le cas général :
" Si(t_n) converge vers T alors ( T_n ) converge aussi vers T ".
On pourra par exemple utiliser la suite (v_n) définie par: ∀n ∈ ℕ, v_n = t_n − T.
3. On prend dans cette question : ∀n ∈ ℕ, t_n = cos(nθ), θ ∈ ]0, 2π[, fixé .
3.1. Montrer que :
∀n ∈ ℕ, T_n = 1/(n + 1)cos(nθ/2)(sin((n + 1)θ/2))/(sin(θ/2))
3.2. La suite ( T_n ) converge-t-elle ?
3.3. On prend ici θ = π/3.
La suite (t_n) converge-t-elle?
3.4. Conclure.

Partie 1.

Soit (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle telle que :
i) lim_(n → + ∞)na_n = 0.
  1. Montrer qu'il existe un réel K tel que :
∀n ∈ ℕ^∗, |a_n| ⩽ K/n
  1. En déduire que la série ∑_(n ⩾ 0)a_n x^n converge absolument pour tout x ∈ [0, 1[.
On note alors f(x) sa somme: ∀x ∈ [0, 1[, f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n.
Désormais, on suppose de plus que :
ii) lim_(x → 1; x < 1)(∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n) = L ∈ ℝ.
3. Pour tout n ∈ ℕ, on note u_n = L − ∑_(k = 0)^n a_k.
Prouver que l'on peut écrire :
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, 1[, u_n = L − f(x) + ∑_(k = 0)^n a_k(x^k − 1) + ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)a_k x^k.
4.1. Justifier l'existence, pour tout entier naturel n, de M_n = sup_(k ⩾ n)(|ka_k|).
4.2. Prouver que la suite ( M_n ) converge. Quelle est sa limite ?
5. Déduire de ce qui précède que :
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, 1[,
|u_n| ⩽ |L − f(x)| + ∑_(k = 0)^n|a_k|(1 − x^k) + 1/(n(1 − x))M_n
puis que :
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ [0, 1[,
|u_n| ⩽ |L − f(x)| + (1 − x)∑_(k = 0)^n k|a_k| + 1/(n(1 − x))M_n
  1. On prend: x = 1 − 1/n, n ∈ ℕ^∗.
En utilisant tout ce qui précède, y compris les préliminaires, prouver alors que lim_(n → + ∞)u_n = 0.
7. Conclure en énonçant clairement le résultat obtenu concernant la fonction f.

Partie 2.

Soit (E) l'équation différentielle :
4x^2 y^(′′)(x) + 4xy^′(x) − y = x/(1 − x)
  1. Sur quels intervalles peut-on résoudre (E) ?
  2. On note I = ]0, 1[. Quelle est la structure de l'ensemble des solutions de ( E ) sur I ?
  3. Développer en série entière autour de l'origine les fonctions x ↦ 1/(1 − x) et x ↦ 1/(1 + x).
Donner les domaines de convergence des séries obtenues.
4. Trouver une solution développable en série entière autour de l'origine de (E).
Donner le rayon de convergence de la série entière obtenue.
5. Soit φ : x ∈ I ↦ φ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(x^n)/(4n^2 − 1).
5.1. Déterminer les constantes α et β tels que
∀n ≥ 1, 1/(4n^2 − 1) = α/(2n − 1) + β/(2n + 1)
5.2. Soient pour x ∈ I et u ∈ I, H(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(x^n)/(2n + 1) et h(u) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(u^(2n + 1))/(2n + 1).
Montrer que h(u) = ln√((1 + u)/(1 − u)).
5.3. En déduire une expression simple de H(x).
On pourra poser u = √x.
5.4. En déduire une expression de φ(x) à l'aide de fonctions usuelles.
5.5. Calculer la valeur de L = lim_(x → 1; x < 1)φ(x).
6. Soit pour n ∈ ℕ^∗, a_n = 1/(4n^2 − 1).
6.1. Vérifier que la suite (a_n) satisfait les hypothèses i ) et ii) de la Partie 1 .
6.2. Calculer, à l'aide des résultats précédents, la valeur de S = ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/(4n^2 − 1).
7. On se propose dans cette question de retrouver la valeur de S directement.
Soit S_n = ∑_(k = 1)^n 1/(4k^2 − 1).
Prouver que S_n = 1/2(1 − 1/(2n + 1)).
Conclure.

Partie 3.

Soit (c_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels telle que la série entière ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^n a pour rayon de convergence 1.
On note alors, pour x ∈ ] − 1, 1[, h(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^n et on suppose que : lim_(x → 1; x < 1)h(x) = H ∈ ℝ.
  1. La série ∑_(n ⩾ 0)c_n est-elle toujours convergente ?
On pourra utiliser des résultats établis dans la partie précédente.
2. On suppose de plus, et dans cette question uniquement, que: ∀n ∈ ℕ, c_n ⩾ 0.
Montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)c_n converge et que l'on a: lim_(x → 1; x < 1)h(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n.
3. On revient au cas général.
En utilisant un résultat établi dans l'une des parties précédentes, quelle condition suffit-il de rajouter concernant la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) pour que la série ∑_(n ⩾ 0)c_n converge ?

Fin du problème.

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