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CCINP Mathématiques 2 PSI 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Moyenne des itérés d'un endomorphisme : autour du théorème ergodique
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Le problème étudie la moyenne des itérés d'un endomorphisme d'un espace vectoriel et la limite de cette moyenne sous diverses hypothèses (endomorphisme isométrique ou contraction linéaire, espace normé ou euclidien), un résultat connu sous le nom de théorème ergodique. Il part de trois exemples concrets en dimension 4, puis développe l'étude théorique générale avant de l'appliquer à la décomposition d'une isométrie d'un espace euclidien en composées de réflexions.

  1. 1Partie I : exemplesÉtude de trois exemples particuliers d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension 4 (symétrie, contraction, rotation).
  2. 2Partie IIÉtude théorique de la moyenne des itérés d'un endomorphisme sous différentes hypothèses, avec décomposition de l'espace en sous-espaces supplémentaires.
  3. 3Partie IIIDécomposition d'une isométrie d'un espace euclidien en composées de réflexions, à partir de la décomposition établie en partie II.

Difficile. Le jury qualifie la partie II de théorique et plus difficile que la précédente, et note qu'un assez grand nombre d'étudiants n'ont pas ou peu abordé cette partie par manque de temps.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Orthonormalisation mal maîtrisée · Confusion entre propriétés matricielles · Partie II peu abordée faute de temps
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Le début du sujet comprenait de nombreuses questions élémentaires destinées à faire un bilan des connaissances des candidats, mais leur rédaction restait souvent trop peu argumentée pour convaincre le correcteur. Le jury regrette que trop d'étudiants ne prêtent aucune attention à la logique et à l'enchaînement de l'énoncé, traitant chaque question comme un exercice indépendant, ce qui les pénalise sur le temps.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Orthonormalisation mal maîtriséeI.A

    L'orthonormalisation d'une famille de deux vecteurs a donné lieu à de nombreuses erreurs : simple calcul de norme au lieu d'une vraie orthonormalisation, ou formule apprise par cœur et parfois fausse.

    « L’orthonormalisation d’une famille de deux vecteurs est assez catastrophique »
  2. 2
    Confusion entre propriétés matriciellesI.A

    Les candidats confondent souvent les liens entre matrice symétrique, matrice orthogonale, matrice d'une symétrie, matrice inversible et matrice diagonalisable.

    « matrice inversible, matrice diagonalisable, matrice de »
  3. 3
    Partie II peu abordée faute de temps

    Beaucoup de candidats, pris par le temps après avoir choisi des méthodes trop calculatoires en partie I, n'ont pas ou peu traité la partie théorique du sujet.

    « un assez grand nombre d'étudiants n'ont pas ou peu abordé cette partie. »
  4. 4
    Propriété de contraction mal utiliséeII.B

    Certains candidats oublient que f et son adjoint f* ne commutent pas forcément, et qu'une inégalité sur le produit scalaire n'implique pas directement l'inégalité correspondante sur les normes.

    « f et f∗ ne commutent pas forcement »

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.C.5 a été bien comprise par ceux qui avaient traité correctement les questions précédentes.
  • Quelques questions faciles de la partie III ont permis à un bon nombre de candidats d'améliorer leur note.

Conseils du jury

  • Privilégier un raisonnement qui suit la logique de l'énoncé plutôt qu'une méthode systématiquement calculatoire, pour gagner du temps sur l'ensemble du problème.
  • Rédiger des réponses argumentées même sur les questions simples, en explicitant pourquoi une propriété est vraie plutôt que de l'affirmer comme évidente.
  • Être attentif à l'enchaînement des questions : les indications données dans une question servent souvent à répondre à la suivante par un raisonnement plutôt que par un long calcul.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Les calculatrices sont autorisées.

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Le sujet comporte 7 pages.

Notations:

On désigne par ℝ l'ensemble des nombres réels, par ℕ l'ensemble des nombres entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble ℕ privé de 0 .
Pour n entier naturel non nul, on note M_n ℝ l'espace vectoriel réel des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans ℝ.
Pour A dans M_n ℝ, on note detA le déterminant de la matrice A.
Étant donné un espace vectoriel E, on note id l'endomorphisme identité défini par :
Pour tout x de E, id x = x.
On note Iml l'image d'un endomorphisme l de E et ker l son noyau.
Pour k ∈ ℕ, on note l^k l'endomorphisme de E défini par l^0 = id si k = 0 et par l^k = lol^(k − 1) sinon. Étant donné une base ℬ de E, on note Mat_B l la matrice de l'endomorphisme l relativement à la base ℬ.
Étant donné un sous-espace vectoriel F d'un espace vectoriel de dimension finie, on note dim F la dimension de F. On désigne par Vect u, v (respectivement Vect u, F ) le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u et v (respectivement engendré par le vecteur u et les vecteurs de F ).
Lorsque E sera un espace vectoriel normé, on notera ‖u‖ la norme d'un vecteur u.
Lorsque E sera un espace euclidien, on notera u|v le produit scalaire des vecteurs u et v; on note OE le groupe orthogonal de E (c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes orthogonaux de E), F^⊥ désigne l'orthogonal du sous-espace vectoriel F et l^∗ désigne l'adjoint de l'endomorphisme l.

Objectifs:

Étant donné un endomorphisme l d'un espace vectoriel E, pour tout x de E et pour n de ℕ^∗, on définit L_n x = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)l^k x. En prenant différentes hypothèses pour E et pour l, on étudie la limite de la suite L_n x^x_(n ∈ ℕ^∗) de E lorsque n tend vers + ∞.
Dans la première partie, on étudie cette limite dans trois exemples. Dans la deuxième partie, on obtient la limite de la suite L_n x_(n ∈ ℕ^∗) lorsque n tend vers + ∞ dans un cadre plus général ; cette limite est obtenue à l'aide d'une propriété d'algèbre linéaire que l'on fait établir dans trois contextes généraux différents.
Dans la troisième partie, cette propriété algébrique permet d'obtenir un résultat concernant une décomposition des automorphismes orthogonaux d'un espace euclidien.

PARTIE I : EXEMPLES

La partie I permet d'illustrer les résultats établis dans la partie II. Elle doit être traitée sans utiliser les résultats de la partie II. Les exemples I.A, I.B, I.C sont indépendants les uns des autres.
Dans cette partie, E est un espace euclidien de dimension 4, rapporté à une base orthonormale B = e_1, e_2, e_3, e_4.
I.A Soit s l'endomorphisme de E défini par sa matrice Mat_B s = S = (− 1/3, 0, 2/3, 2/3; 0, − 1/3, − 2/3, 2/3; 2/3, − 2/3, 1/3, 0; 2/3, 2/3, 0, 1/3).
I.A. 1 Réduction de l'endomorphisme s.
I.A.1.1 Justifier l'affirmation : l'endomorphisme s est diagonalisable. Calculer la matrice S^2.
I.A.1.2 En déduire que s est un automorphisme orthogonal de E et que 1 et -1 sont ses valeurs propres.
On note E_1 et E_(− 1) les sous-espaces propres de s respectivement associés aux valeurs propres 1 et -1 . Il résulte des questions précédentes que E_1 et E_(− 1) sont des sousespaces supplémentaires de E.
I.A.1.3 Calculer la trace de s. En déduire les dimensions de E_1 et de E_(− 1).
I.A. 2 On considère les trois vecteurs suivants de E : u_1 = e_1 + e_3 + e_4, u_2 = e_1 + e_2 + 2e_4 et u_3 = − e_1 + e_2 + e_3.
I.A.2.1 Déterminer les vecteurs su_1 et su_2. En déduire que u_1, u_2 est une base de E_1. Déterminer une base orthonormale de E_1.
I.A.2.2 Déterminer un vecteur non nul u_4 = ae_1 + be_2 + ce_3 + de_4 orthogonal aux trois vecteurs u_1, u_2 et u_3. En déduire que u_3, u_4 forme une base orthogonale de E_(− 1).
I.A. 3 Pour tout x de E et tout n de ℕ^∗, on note S_n x = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)s^k x.
I.A.3.1 Pour x ∈ E fixé, on note x = y + z avec y ∈ E_1 et z ∈ E_(− 1). Soit k ∈ ℕ, déterminer un réel α_k tel que s^k x = y + α_k z. En déduire, pour n ∈ ℕ^∗, un réel β_n tel que S_n x = y + β_n z.
I.A.3.2 Déduire de ce qui précède que la suite S_n x_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite lorsque n tend vers + ∞. Exprimer cette limite en fonction de x et de sx.
I.B Soit l l'endomorphisme de E défini par sa matrice Mat _B l = L = (3/4, 0, 1/4, 0; 0, 3/4, 0, 1/4; 1/4, 0, 3/4, 0; 0, 1/4, 0, 3/4).
I.B. 1 Une propriété concernant les normes.
I.B.1.1 Pour tout vecteur u = ae_1 + be_2 + ce_3 + de_4 de E, calculer ‖u‖^2 − ‖lu‖^2.
Prouver l'inégalité ‖l u ‖ ≤ ‖u‖.
I.B.1.2 En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur u vérifie l'égalité ‖l u ‖ = ‖u‖. Montrer que 1 est une valeur propre de l et que le sousespace propre associé est de dimension 2.

I.B. 2 Réduction de l'endomorphisme l.

I.B.2.1 Déterminer le polynôme caractéristique de l.
I.B.2.2 Montrer que l possède une autre valeur propre λ ≠ 1 que l'on déterminera. Justifier que les deux sous-espaces propres G_1 et G_λ de l associés aux valeurs propres 1 et λ sont supplémentaires dans E.
I.B. 3 Pour tout x de E et tout n de ℕ^∗, on note L_n x = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)l^k x.
Soit x ∈ E. On note x = y + z avec y ∈ G_1 et z ∈ G_λ.
I.B.3.1 Pour k ∈ ℕ, exprimer l^k x en fonction de y, z et k.
I.B.3.2 Pour tout n ∈ ℕ^∗, exprimer L_n x en fonction de y, z et n.
En déduire que la suite L_n x_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite lorsque n tend vers + ∞ et déterminer cette limite.
I.C Soit t l'endomorphisme de E défini par sa matrice
Mat_B t = T = (1/(√3), 0, 1/(√3), 1/(√3); 0, 1/(√3), − 1/(√3), 1/(√3); − 1/(√3), 1/(√3), 1/(√3), 0; − 1/(√3), − 1/(√3), 0, 1/(√3)).
I.C. 1 Montrer que T est une matrice orthogonale.
I.C. 2 On considère les deux vecteurs suivants de E : ε_1 = 1/(√2)e_3 + e_4 et ε_2 = 1/(√2)e_3 − e_4.
I.C.2.1 On note F_1 = Vect e_1, ε_1. Déterminer les vecteurs te_1 et tε_1. En déduire que F_1 est un sous-espace vectoriel de E de dimension 2 , stable par t.
I.C.2.2 Soit F_2 = F_1^⊥ l'orthogonal du sous-espace F_1. Montrer que F_2 est stable par t. Montrer que e_2, ε_2 est une base de F_2.
La famille de vecteurs B^′ = e_1, ε_1, e_2, ε_2 est donc une base de E.
I.C. 3 On note T^′ = Mat _(B^′)t.
I.C.3.1 Justifier que la matrice T^′ est orthogonale. Expliciter T^′.
I.C.3.2 Soit θ = Arcsin(√(2/3)). Exprimer la matrice T^′ en fonction de θ. On oriente le plan F_1 par la base e_1, ε_1 (respectivement on oriente le plan F_2 par la base e_2, ε_2 ). Préciser la nature géométrique de l'endomorphisme de F_1 (respectivement de F_2 ) induit par t.
I.C.3.3 Pour k ∈ ℕ, exprimer en fonction de θ et k la matrice de t^k relativement à la base ℬ^′.
I.C. 4 Soient ω ∈ ℝ et n ∈ ℕ^∗. On note ζ_n ω = ∑_(k = 0)^(n − 1)e^(ikω). Expliciter ζ_n ω selon les valeurs de ω. En déduire les réels ω pour lesquels la suite complexe ζ_n ω_(n ∈ ℕ^∗) est bornée.
I.C. 5 Pour tout x de E et tout n ∈ ℕ^∗, on note T_n x = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)t^k x.
I.C.5.1 Justifier que le sous-espace F_1 est stable par T_n.
I.C.5.2 Soit y = αe_1 + βε_1 ∈ F_1. On note t^k y = γ_k e_1 + δ_k ε_1, T_n y = λ_n e_1 + μ_n ε_1.
I.C.5.2.1 Déterminer la matrice V_k ∈ M_2 ℝ telle que ((γ_k)/(δ_k)) = V_k(α/β).
En déduire la matrice U_n ∈ M_2 ℝ telle que ((λ_n)/(μ_n)) = U_n(α/β).
On exprimera V_k en fonction de θ et k et U_n en fonction de θ et n.
I.C.5.2.2 Montrer que la suite T_n y_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite lorsque n tend vers + ∞ et déterminer cette limite.
I.C.5.3 Soit x ∈ E. En écrivant x = y + z avec y ∈ F_1 et z ∈ F_2, montrer que la suite T_n x_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite lorsque n tend vers + ∞ et déterminer cette limite.

PARTIE II

Dans cette partie, E est un espace vectoriel réel. Étant donné un endomorphisme l de E, pour tout x de E et tout n ∈ ℕ^∗, on note L_n x = 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)l^k x.
II.A Dans cette partie II.A, on suppose que E est un espace euclidien et que l ∈ OE.
II.A. 1 Montrer que les sous-espaces vectoriels ker l − id et Iml − id sont orthogonaux. En déduire qu'ils sont supplémentaires dans E.
Soit x ∈ E. D'après le résultat précédent, il existe y ∈ ker l − id et z ∈ E tels que x = y + l z − z.
II.A. 2 Pour k ∈ ℕ, exprimer l^k x en fonction de y, z et k. En déduire l'expression de L_n x en fonction de y, z et n.
II.A. 3 Montrer que la suite L_n x_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite que l'on déterminera lorsque n tend vers + ∞.
Dans la suite de la partie II, étant donné un espace vectoriel normé E, on notera BE l'ensemble des endomorphismes h de E qui vérifient : pour tout x de E, ‖hx‖ ≤ ‖x‖.
II.B Dans cette partie II.B, on suppose que E est un espace euclidien. Soit f ∈ BE. On note f^∗ l'adjoint de f.
II.B. 1 Montrer que f^∗ appartient à BE.
II.B. 2 Montrer que si x ∈ E vérifie fx = x, alors ‖f^∗ x − x‖^2 ≤ 0. Montrer l'égalité ker f − id = kerf^∗ − id.
II.B. 3 En déduire que ker f-id et Imf-id sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires dans E (on pourra utiliser l'égalité : pour φ l'endomorphisme de E, kerφ^∗ = Imφ^⊥ ).
II.C Dans cette partie II.C, on suppose que E est un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit l ∈ BE. Pour tout x de E et tout n ∈ ℕ^∗, on reprend la notation L_n x définie au début de la partie II.
II.C. 1 On suppose que x appartient à l'intersection ker l − id ∩ Iml − id. Soit y ∈ E tel que x = ly − y. Pour n ∈ ℕ^∗, exprimer l^n y en fonction de x, y et n. En déduire que ker l − id et Iml − id sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E.
II.C. 2 Soit x ∈ E. Montrer que la suite L_n x_(n ∈ ℕ^∗) de E a une limite lorsque n tend vers + ∞ et déterminer cette limite.

PARTIE III

Dans cette partie, E est un espace euclidien et l ∈ OE. Soit e un vecteur non nul de E. Pour tout x ∈ E, on note σ_e x = x − 2(x|e)/(‖e‖^2)e.
III. 1 Calculer σ_e e. Pour x orthogonal à e, calculer σ_e x. Montrer que σ_e est un automorphisme orthogonal de E.
σ_e est donc la réflexion par rapport à l'hyperplan Vect e^⊥.
III. 2 On note W = ker l − id et on suppose que W est différent de E. Soit u un vecteur fixé de E tel que u ∉ W. Dans la suite, on prend e = lu − u.
III.2.1 Montrer que e est orthogonal à W (on pourra utiliser le résultat de II.A.1).
III.2.2 Calculer σ_e lu − u et σ_e lu + u. En déduire σ_e lu et σ_e u.
III.2.3 Montrer l'égalité Vect u, W = kerσ_e ol − id.
III.2.4 En déduire que l peut se décomposer en la composée de p réflexions et exprimer p en fonction de k = dimW et de n = dimE.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 CCINP PSI 2008 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 2 CCINP PSI 2008 ?

Le sujet porte sur la moyenne des itérés d'un endomorphisme et sa limite, un résultat connu sous le nom de théorème ergodique, appliqué notamment à la décomposition d'isométries en réflexions.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet CCINP maths 2 PSI 2008 ?

Le jury relève une orthonormalisation mal maîtrisée, des confusions entre propriétés matricielles (symétrique, orthogonale, diagonalisable) et un manque de temps pour aborder la partie théorique.

Ce sujet CCINP maths 2 PSI 2008 est-il difficile ?

Le début du sujet est accessible et sert de bilan de connaissances, mais la partie II, théorique, est jugée plus difficile par le jury et a été peu abordée faute de temps.

Quels chapitres réviser pour ce sujet CCINP maths 2 PSI 2008 ?

Il faut maîtriser la réduction des endomorphismes, les espaces euclidiens et les isométries, ainsi que le produit scalaire et l'orthogonalité.

Pas de description pour le moment