E3A Mathématiques 2 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

e3a 2017 - PSI2

• E = M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients réels
• O_n la matrice nulle de E et I_n la matrice identité
• ^t A la transposée d'un élément de E
• E_(i, j) ∈ E la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la ligne i et de la colonne j
• S_n(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de E
• N l'ensemble des matrices nilpotentes de E, c'est à dire des A ∈ E telles qu'il existe un entier p avec A^p = O_n.

Questions de cours

1. Quelle est la dimension de E ? En donner sans justification une base.
2. Soient i, j, k, ℓ ∈ [|1, n|]. calculer le produit des matrices E_(i, j) et E_(k, ℓ). On montrera en particulier que ce produit est nul lorsque j ≠ k.
3. Enoncer le théorème de Cayley-Hamilton.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que M ∈ M_n(𝕂) ( 𝕂 = ℝ ou ℂ ) soit trigonalisable dans M_n(𝕂).

1 Propriétés élémentaires

Soit A un élément de N

1. La matrice A peut-elle être inversible? Justifier votre réponse.
2. On note Sp(A) le spectre de A, c'est à dire l'ensemble des valeurs propres complexes de la matrice A. Déterminer Sp(A) et donner le polynôme caractéristique de A.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soit diagonalisable.
4. Montrer que le sous-espace vectoriel de E engendré par A, noté Vect(A), est inclus dans N.
5. Vérifier que ^t A ∈ N.
6. Montrer que si M est semblable à A, alors M ∈ A.
7. Montrer que A^n = O_n.
8. En déduire qu'une condition nécessaire et suffisante pour que M ∈ E soit nilpotente est que M^n = O_n.
   On pourra admettre ce résultat et l'utiliser dans la suite du problème.
9. Montrer que A est trigonalisable dans M_n(ℝ). Quel est le rang maximal de A ?
10. Soient B, C ∈ E.
    (a) On suppose que BC ∈ N. Prouver alors que CB ∈ N.
    (b) Ici, on suppose de plus que B ∈ N et AB = BA. Montrer que AB ∈ N et que A + B ∈ N.
11. Déterminer l'ensemble de toutes les matrices symétriques réelles appartenant à N.
12. Dans cette question on suppose que la matrice nilpotente A est antisymétrique.
    (a) Prouver que A^2 = O_n.
    (b) En déduire l'ensemble de toutes les matrices antisymétriques appartenant à N (on pourra utiliser la trace).

2 Exemples

1. Dans cette question, on prend M = (m_(i, j)) ∈ E définie par : ∀(i, j) ∈ [|1, n|]^2, m_(i, j) = {0, si i ≥ j; 1, sinon, c'est à dire

3 Sous-espace engendré par N

• T_0 le sous-espace vectoriel de E constitué des matrices de trace nulle
• V le sous-espace de E engendré par N : V = Vect(N), c'est à dire l'ensembme de toutes les combinaisons linéaires (finies) d'éléments de N.

1. Déterminer la dimension de T_0.
2. Prouver que N et V sont inclus dans T_0.
3. Pour tout j ∈ [|2, n|], on note

4 Sous-espaces de dimension maximale contenus dans N

1. Déterminer la dimension de T_1.
2. Montrer que toute matrice nilpotente est semblable à une matrice de T_1. On pourra utiliser les résultats de la partie 1.
3. Démontrer que E = S_n(ℝ) ⊕ T_1.
4. Soit F un sous-espace vectoriel de E contenu dans N dont la dimension est notée d.
   (a) On suppose que d > (n(n − 1))/2. Démontrer que dim(S_n(ℝ) ∩ F) > 0. Conclure.
   (b) Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace de E contenu dans N ? Donner un exemple de tel sous-espace.

5 Un peu de topologie

1. Montrer que N est une partie fermée de E.
2. Soient A ∈ N, α ∈ ℝ^∗ et M = I_n + αA.

6 Deux autres résultats

1. On sait que M est inversible. Calculer son inverse à l'aide des puissances de la matrice A. On pourra utiliser une suite géométrique.
2. Donner sans démonstration le développement en série entière de la fonction x ↦ (1 + x)^(1/2).
3. Montrer qu'il existe une matrice B ∈ E telle que B^2 = M. On exprimera B comme un polynôme de la matrice A.