E3A Mathématiques 2 PSI 2019Sujet et corrigé

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Épreuve de Mathématiques 2 PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Questions de cours

Citer le théorème de Cauchy linéaire pour un système différentiel.
On rappelle que j est le nombre complexe : $j = - 1/2 + i(\sqrt3)/2$ où i vérifie $i^2 = - 1$ .
2.1 Déterminer le module et un argument de j.
2.2 Déterminer la valeur de $s_k = 1 + j^k + j^(2k)$ pour tout $k \in ℕ$ .
2.3 Déterminer les solutions dans $ℂ$ du système : ${a + b, + c, = 1; a + jb, + j^2 c, = 0; a + j^2 b, + jc, = 0$ où $a, b$ et $c$ sont les inconnues.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3 .

Donner sans démonstration l'expression du déterminant de Vandermonde de la matrice

V_γ = (1, 1, \dots, \dots, 1; γ_0, γ_1, \dots, \dots, γ_(n - 1); γ_0^2, γ_1^2, \dots, \dots, γ_(n - 1)^2; ⋮, ⋮, ⋮; γ_0^(n - 1), γ_1^(n - 1), \dots, \dots, γ_(n - 1)^(n - 1)) \in ℳ_n(ℂ)

Le résultat et l'expression obtenus dans la question 3. ne devront plus être utilisés dans la suite du problème

Partie 1

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à

3, γ = (γ_0, \dots, γ_(n - 1))

une famille de

n

éléments de

𝕂 = ℝ

ℂ

V_γ = (1, 1, \dots, \dots, 1; γ_0, γ_1, \dots, \dots, γ_(n - 1); γ_0^2, γ_1^2, \dots, \dots, γ_(n - 1)^2; ⋮, ⋮, ⋮; γ_0^(n - 1), γ_1^(n - 1), \dots, \dots, γ_(n - 1)^(n - 1)) \in ℳ_n(𝕂)

Montrer que s'il existe un couple $(i, j) \in [ [0, n - 1] ]^2$ avec $i \neq j$ tel que $γ_i = γ_j$ , alors $det(V_γ) = 0$ .
On suppose les $γ_i$ distincts deux à deux et on note $C_j$ la colonne d'indice $j$ de la matrice $^t V_γ$ .

Soient

λ_1, λ_2, \dots, λ_n

des scalaires tels que

\sum_(j = 1)^n λ_j C_j = 0

.
En utilisant le polynôme

P(X) = \sum_(j = 1)^n λ_j X^(j - 1)

, montrer que :

\forallj \in [ [1, n] ], λ_j = 0

.
Que peut-on en déduire pour

det(V_γ)

? On ne calculera pas

det(V_γ)

.
3. On suppose toujours que les

γ_k

sont distincts deux à deux.

Pour tout

k \in [ [0, n - 1] ]

, on définit sur

ℝ

la fonction

ψ_k

par

: x \mapsto e^(γ_k x)

3.1 Soient

(m_k)_(k \in [ [0, n - 1] ])

des scalaires et

Ψ = \sum_(k = 0)^(n - 1)m_k ψ_k

Calculer les dérivées successives de

Ψ

jusqu'à l'ordre

n - 1

.
3.2 En déduire que la famille

(ψ_k)_(k \in [ [0, n - 1] ])

est libre dans

𝒞^\infty(ℝ, 𝕂)

Partie 2

Soit

(E_1)

l'équation différentielle

y^((3)) = y

Soit $f$ une solution à valeurs complexes de cette équation.
1.1 Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre ( $E_2$ ) vérifiée par la fonction $g = f + f^' + f^('')$ .
1.2 Résoudre l'équation ( $E_2$ ).
1.3 En déduire l'ensemble des solutions à valeurs complexes de l'équation $(E_1)$ .
Soit $(S)$ le système différentiel à coefficients contants $X^' = AX$ où $A = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0) \in ℳ_3(ℂ)$ et $X(t) = (x(t); y(t); z(t)), t \in ℝ$ où $x, y$ et $z$ sont des fonctions de la variable réelle à valeurs dans $ℂ$ .
2.1 La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $ℳ_3(ℂ)$ ? dans $ℳ_3(ℝ)$ ?
2.2 Résoudre le système $(S)$ .
2.3 Retrouver alors par cette méthode les solutions de l'équation $(E_1)$ obtenues à la question 1.3. de cette partie.
On considère la série entière réelle $\sum_(n ⩾ 0)(x^(3n))/((3n)!)$ .
3.1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. On note alors, lorsque cela existe, $φ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(x^(3n))/((3n)!)$ .
3.2 Justifier que $φ$ est de classe $𝒞^\infty$ sur $ℝ$ .
3.3 Déterminer les développements en série entière de $φ^', φ^(''), φ^((3))$ puis $φ^((k))$ pour tout $k \in ℕ$ .
3.4 En utilisant les questions précédentes, déterminer une expression de $φ$ n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.
3.5 Déterminer une expression de $ψ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(x^(3n + 2))/((3n + 2)!)$ n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.
3.6 Déterminer une expression de $θ(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)(x^(6n))/((6n)!)$ n'utilisant que des fonctions usuelles à valeurs réelles.

Partie 3

Dans la suite du problème

toutes les fonctions sont définies sur $ℝ$ et à valeurs dans $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ ,
$n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 3 ,
$α = (a_0, a_1, \dots, a_(n - 1))$ est un élément de $𝕂^n$ et $A_α = (0, 1, 0, \dots, \dots, 0; 0, 0, 1, ⋱, 0; ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, 0, \dots, \dots, 0, 1; a_0, a_1, \dots, \dots, \dots, a_(n - 1)) \in ℳ_n(𝕂)$ .

En outre, lorsque

y \in 𝒞^\infty(ℝ, 𝕂)

, on note

Y = (y; y^'; ⋮; y^((n - 1)))

qui est donc un élément de

𝒞^\infty(ℝ, 𝕂^n)

Soient :

$(E_α)$ l'équation différentielle linéaire : $y^((n)) = \sum_(k = 0)^(n - 1)a_k y^((k))$ ,
$𝒮_α = {f ∈ 𝒞^n(ℝ, 𝕂), f^((n)) = ∑_(k = 0)^(n − 1)a_k f^((k))}$

1.1 Ecrire l'équation différentielle (

E_α

) à l'aide d'un système différentiel.
1.2 Montrer que si

y \in 𝒮_α

, alors

y \in 𝒞^\infty(ℝ, 𝕂)

.
1.3 Prouver que

𝒮_α

est un sous-espace vectoriel de

𝒞^\infty(ℝ, 𝕂)

.
1.4 Déterminer la dimension de

𝒮_α

On prend jusqu'à la fin de cette partie :

α = (1, 0, \dots, 0)

𝕂 = ℂ

2. Ecrire l'équation (

E_α

) dans ce cas.
3. Déterminer tous les nombres complexes

r

pour lesquels la fonction

x \mapsto e^(rx)

appartient à

𝒮_α

.
4. Donner une base de

𝒮_α

. (On pourra utiliser des résultats obtenus dans la partie 1)
5. Soit

d

l'application qui à

y \in 𝒮_α

associe

d(y) = y^'

.
5.1 Vérifier que

d

est un endomorphisme de

𝒮_α

5.2d

est-il bijectif?

5.3d

est-il diagonalisable?

Partie 4

Dans cette partie, on prend

𝕂 = ℝ(

et donc

𝒮_α = {f ∈ 𝒞^n(ℝ, ℝ), f^((n)) = ∑_(k = 0)^(n − 1)a_k f^((k))}), n = 2p

et on considère l'équation différentielle :

y^((2p)) = y

.
On note

S_1

(resp.

S_2

) l'espace vectoriel des fonctions de

ℝ

dans

ℝ

solutions de l'équation différentielle

y^((p)) = y

(resp.

y^((p)) = - y

) 。
Pour

f

g

dans

𝒮_α

, on note

(f|g) = \int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- 3|t|)[f(t)g(t) + f^((p))(t)g^((p))(t)]dt

Montrer que cette expression a un sens pour tous $f$ et $g$ de $𝒮_α$ .

On admettra que pour tout

f

𝒮_α

, on a au voisinage de

+ \infty : f(t) = O(e^t)

et au voisinage de

- \infty, f(t) = O(e^(- t))

.
2. Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur

𝒮_α

.
3. Montrer que

S_1

S_2

sont supplémentaires orthogonaux dans

𝒮_α

.
4. Exemple :

n = 4

f : x \mapsto \sum_(k = 0)^(+ \infty)(x^(4k))/((4k)!)

On admet que

f

est définie et de classe

C^\infty

sur

ℝ

tout entier.
4.1 Déterminer

α

de sorte que

f \in 𝒮_α

.
4.2 Expliciter les projetés orthogonaux de

f

sur

S_1

et sur

S_2

.
4.3 En déduire une expression de

f

à l'aide de fonctions usuelles réelles.

FIN DE L'ÉPREUVE

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