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E3A Mathématiques 1 PSI 2019Sujet et corrigé

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Quatre exercices indépendants d'analyse, probabilités et algèbre linéaire
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Le sujet regroupe quatre exercices sans lien entre eux. Le premier étudie un endomorphisme de moyennage sur les fonctions continues, le deuxième une transformation d'une variable de Poisson, le troisième les hyperplans de matrices carrées stables par multiplication, et le quatrième une suite récurrente non linéaire et son comportement asymptotique.

  1. 1Exercice 1Étude de l'endomorphisme U(f)(x) = intégrale de f sur [x-1, x] sur l'espace des fonctions continues, puis sur les polynômes de degré au plus n, avec recherche du noyau et des valeurs propres.
  2. 2Exercice 2Détermination de la loi et de l'espérance d'une variable aléatoire construite à partir d'une variable suivant une loi de Poisson.
  3. 3Exercice 3Démonstration qu'un hyperplan de matrices carrées contient une matrice inversible, puis qu'un hyperplan stable pour la multiplication n'existe que pour les matrices 2x2.
  4. 4Exercice 4Étude de la convergence et du comportement asymptotique d'une suite définie par une relation de récurrence quadratique.

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Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Dans tout l'exercice, on identifie ℝ[X] à l'ensemble des fonctions polynômiales.
On note ℰ l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur ℝ, à valeurs dans ℝ, c'est-à-dire que ℰ = C^0(ℝ, ℝ).
Pour tout élément f de ℰ, on note U(f) l'application de ℝ dans ℝ définie par :
∀x ∈ ℝ, U(f)(x) = ∫_(x − 1)^x f(t)dt
  1. Soit f ∈ ℰ, T-périodique. Montrer que: ∀a ∈ ℝ, ∫_a^(a + T)f(t)dt = ∫_0^T f(t)dt
  2. On suppose de plus dans cette question que f est dérivable sur ℝ.
Démontrer que si f est T-périodique, il en est de même pour f^′.
Montrer que la réciproque est fausse.
3. Montrer que la fonction U(f) est de classe C^1 sur ℝ et calculer sa dérivée.
4. Montrer que l'application U qui à f ∈ ℰ associe U(f) est un endomorphisme de ℰ.
5. Soient n ∈ ℕ^∗, E_n = ℝ_n[X] et ℬ_n = (1, X, …, X^n) sa base canonique.
5.1. Montrer que la restriction de U à E_n définit un endomorphisme U_n de E_n.
5.2. Ecrire la matrice de U_n dans la base ℬ_n.
5.3. L'endomorphisme U_n est-il bijectif? diagonalisable?
6. Justifier que si f, élément de ℰ, est dans Ker(U), alors :
(i) ∫_0^1 f(t)dt = 0
(ii) f est périodique de période 1.
7. A-t-on : Ker(U) = {f ∈ ℰ, périodique de période 1 et telle que ∫_0^1 f(t)dt = 0} ?
8. Donner explicitement une fonction f non nulle, élément de Ker(U) et en donner une représentation graphique sur l'intervalle [ − 1, 2].
9. L'endomorphisme U est-il surjectif?
10. Soient a un réel non nul et f_a la fonction sur ℝ par t ↦ e^(at).
10.1. Déterminer F_a = U(f_a).
10.2. Dresser le tableau des variations de la fonction réelle : g : x ↦ (e^x − 1)/x.
10.3. Montrer alors que tout réel λ strictement positif est valeur propre de l'endomorphisme U.

Exercice 2.

Soit X_1 une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( Ω, 𝒜, ℙ ) qui suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. On définit sur (Ω, 𝒜, ℙ) la variable aléatoire X_2 par :
∀ω ∈ Ω, X_2(ω) = {0 si X_1(ω) = 0 ou si X_1(ω) est impair; (X_1(ω))/2 si X_1(ω) est pair et non nul
  1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X_2.
  2. Calculer l'espérance de la variable aléatoire X_2 et l'exprimer à l'aide de fonctions usuelles.

Exercice 3.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note E_n = ℳ_n(ℝ) et ℬ = ((E_(i, j))_((i, j) ∈ [ [1, n] ]^2)) sa base canonique.
On rappelle que ∀(r, t, u, v) ∈ [ [1, n] ]^4, E_(r, t) × E_(u, v) = {O_n lorsque t ≠ u; E_(r, v) lorsque t = u
Si M ∈ E_n, on notera dans tout l'exercice, tr(M) la trace de la matrice M et M^T la matrice transposée de la matrice M.
On dira qu'une matrice M de E_n est nilpotente s'il existe un entier naturel r non nul tel que : M^r = O_n. Par exemple, la matrice E_(1, 2) de ℬ est nilpotente.
On rappelle que l'application qui à tout couple de matrices ( A, B ) de E_n associe ( A|B) = tr(A^T B) définit un produit scalaire sur E_n.
On dira qu'un sous-espace V de ℝ^n est stable pour une matrice A de E_n si : ∀X ∈ V, AX ∈ V.
Soit H un hyperplan de E_n. On veut montrer que H contient au moins une matrice inversible de E_n.
  1. Soit T une matrice n'appartenant pas à H. Justifier que l'on a : E_n = H ⊕ Vect(T).
  2. Déterminer les matrices nilpotentes de la base canonique ℬ.
  3. Déterminer les valeurs propres d'une matrice nilpotente.
  4. On note U = ∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)(E_(i, j) + E_(j, i)). Démontrer que U est inversible.
  5. On suppose alors que H ne contient pas de matrice inversible.
Soit N une matrice nilpotente de E_n.
5.1. Justifier l'existence d'une matrice A ∈ H et d'un scalaire α tels que : N = A + αI_n.
5.2. Justifier que 0 est valeur propre de A et prouver que N ∈ H.
6. Montrer que H contient au moins une matrice inversible.
On suppose maintenant et jusqu'à la fin de l'exercice que H est stable pour la multiplication des matrices, c'est-à-dire que :
∀(A, B) ∈ H^2, AB ∈ H
  1. On prend n = 2. Exhiber un hyperplan de E_2 stable pour la multiplication des matrices.
  2. On se propose de montrer que I_n ∈ H et on raisonne par l'absurde en supposant que I_n ∉ H.
    8.1. On note p la projection sur Vect(I_n) parallèlement à H.
Prouver que l'on a : ∀(M, N) ∈ E_n^2, p(MN) = p(M)p(N).
8.2. Démontrer l'implication suivante : M^2 ∈ H ⟹ M ∈ H.
8.3. Prouver alors que: ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, E_(i, j) ∈ H.
8.4. Conclure.
On se propose maintenant de démontrer que n = 2, c'est-à-dire de démontrer qu'il n'existe pas d'hyperplan de ℳ_n(ℝ) stable pour la multiplication pour n ⩾ 3
9. Soit A un élément non nul de l'orthogonal de H pour le produit scalaire (.।.) .
9.1. Justifier que pour tout B ∈ H, BA^T est colinéaire à A^T.
9.2. Montrer que la matrice A^T n'est pas inversible.
9.3. Soit W le sous-espace vectoriel de ℝ^n défini par : W = Im(A^T), .
Montrer que W est stable pour tous les éléments de H, c'est-à-dire que pour toute matrice B ∈ H, W est stable pour B.
9.4. Soient :
  • p le rang de la matrice A^T,
  • (e_1, …, e_p) une base de Im(A^T), complétée en une base ℬ_1 = (e_1, …, e_n) de ℝ^n;
  • P la matrice de passage de la base canonique de ℝ^n à la base ℬ_1.
Montrer que l'application φ_P : M ∈ E_n ↦ P^(− 1)MP ∈ E_n est un automorphisme de E_n.
9.5. En déduire que l'on a : dim(H) ⩽ n^2 − p(n − p).
10. Conclure.

Exercice 4.

On considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par : u_0 = a > 0 et la relation de récurrence :
∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = u_n + u_n^2
  1. En utilisant sa monotonie, étudier la convergence de la suite (u_n).
  2. On pose, pour tout entier naturel n : v_n = 1/(2^n)ln(u_n).
    2.1. Prouver que l'on a: ∀(n, p) ∈ ℕ^2 : 0 < v_(n + p + 1) − v_(n + p) ⩽ 1/(2^(n + p + 1))ln(1 + 1/(u_n))
    2.2. En déduire que l'on a, pour tous entiers naturels k et n :
0 < v_(n + k + 1) − v_n ⩽ 1/(2^n)ln(1 + 1/(u_n))
2.3. En utilisant sa monotonie, montrer que la suite (v_n) converge vers une limite L que l'on ne cherchera pas à calculer.
3. On pose alors pour tout entier naturel n : t_n = e^(2^n L). Démontrer que l'on a : u_n ∼ _(+ ∞)t_n.
4. On pose pour tout entier naturel n : s_n = t_n − u_n.
4.1. Trouver une relation entre s_(n + 1), s_n et u_n.
4.2. Prouver que la suite (s_n) est bornée.
4.3. Montrer qu'il existe un réel b tel que l'on a : u_n = _(n → + ∞)t_n + b + o(1)

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 e3a PSI 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 1 e3a PSI 2019 ?

Il porte sur quatre thèmes indépendants : un endomorphisme de moyennage sur les fonctions continues, une variable aléatoire liée à une loi de Poisson, les hyperplans de matrices stables pour la multiplication, et une suite récurrente non linéaire.

Les exercices du sujet e3a maths 1 PSI 2019 sont-ils indépendants ?

Oui, ce sont quatre exercices totalement indépendants, sans lien de contenu entre eux.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Il faut maîtriser la notion d'endomorphisme et de valeur propre, la loi de Poisson et le calcul d'espérance, le produit scalaire sur les matrices, ainsi que les techniques de monotonie et d'équivalents pour l'étude de suites.

Ce sujet contient-il de l'algèbre linéaire avancée ?

Oui, l'exercice 3 traite en détail des hyperplans de l'espace des matrices carrées, de la notion de sous-espace stable et démontre qu'aucun hyperplan n'est stable pour la multiplication matricielle dès que la taille dépasse 2.

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