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E3A Mathématiques 1 PSI 2018Sujet et corrigé

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Matrices symétriques positives, couple de variables aléatoires binomiales, matrices diagonalisables et algorithmique en Python
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Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le premier étudie les matrices symétriques positives et une minoration de rang liée à un signe des coefficients extradiagonaux. Le deuxième porte sur un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe s'exprime avec des coefficients binomiaux. Le troisième étudie l'ensemble des matrices diagonalisables, sa non-structure d'espace vectoriel et les sous-espaces vectoriels qui y sont contenus. Le quatrième est un exercice d'algorithmique en Python autour du comptage d'occurrences et de la suite de Robinson.

  1. 1Exercice 1Caractérisation des matrices symétriques positives, étude d'une matrice construite à partir de la matrice J dont tous les coefficients valent 1, puis minoration du rang d'une matrice symétrique positive à coefficients extradiagonaux strictement négatifs.
  2. 2Exercice 2Étude d'un couple de variables aléatoires (X, Y) dont la loi conjointe fait intervenir des coefficients binomiaux, détermination des lois marginales, de l'indépendance, puis du rang et de la trace de la matrice des probabilités.
  3. 3Exercice 3Étude de l'ensemble des matrices diagonalisables : sous-espaces vectoriels de matrices 2x2 diagonalisables, caractère non vectoriel de cet ensemble, topologie (ouvert, fermé) dans le cas 2x2, puis généralisation à la dimension n avec l'étude des sous-espaces contenant les matrices diagonalisables.
  4. 4Exercice 4Écriture de fonctions Python pour déterminer le maximum d'une liste, les indices des éléments non nuls et le nombre d'occurrences de chaque valeur, puis étude et programmation de la suite de Robinson définie par comptage successif d'occurrences.

L'épreuve en chiffres

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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 1 PSI

Durée 4 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Exercice 1.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par 𝒮_n(ℝ) l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles.
Dans tout l'exercice, E est l'espace vectoriel euclidien usuel ℝ^n dont le produit scalaire est noté ⟨|⟩.
Soit 𝒞 = (e_1, …, e_n) une base orthonormale de E.
  1. Soit A ∈ 𝒮_n(ℝ).
Montrer l'équivalence des trois propositions suivantes :
(1) ∀X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), ^t XAX ⩾ 0
(2) ∀λ ∈ Sp(A), λ ⩾ 0
(3) ∃B ∈ 𝒮_n(ℝ) telle que A = B^2.
On dit dans ce cas que la matrice A est symétrique positive et on note 𝒮_n^+(ℝ) l'ensemble de telles matrices.
2. Soient J la matrice de ℳ_n(ℝ) dont tous les termes sont égaux à 1 et α un réel. On pose M = − J + (α + 1)I_n où I_n est la matrice de l'endomorphisme identité de E.
2.1. Déterminer les éléments propres de J. En déduire ceux de M.
2.2. Pour quelles valeurs de α a-t-on M ∈ 𝒮_n^+(ℝ) ? Montrer qu'alors rg(M) ⩾ n − 1.
3. Soit A ∈ 𝒮_n^+(ℝ) et a l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base 𝒞 est A.
3.1. Justifier l'existence d'une base orthonormale ℬ = (u_1, …, u_n) de E constituée de vecteurs propres de l'endomorphisme a.
On notera pour tout i ∈ [ [1, n] ], λ_i la valeur propre associée au vecteur propre u_i.
3.2. Soit b l'endomorphisme de E défini par: ∀i ∈ [ [1, n] ], b(u_i) = √(λ_i)u_i.
Justifier que b est un endomorphisme symétrique.
3.3. Démontrer que : Ker(a) = Ker(b).
4. Soit A = (a_(ij)) ∈ 𝒮_n^+(ℝ) telle que : ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, (i ≠ j ⟹ a_(ij) < 0).
a est toujours l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base 𝒞 est A et b l'endomorphisme de E tel que défini à la question 3.2.
4.1. Pour tout i ∈ [ [1, n] ], on pose z_i = b(e_i).
On va montrer que la famille (z_1, …, z_(n − 1)) est libre.
Dans ce but, on considère des scalaires (γ_i)_(i ∈ [ [1, n − 1] ]) tels que ∑_(i = 1)^(n − 1)γ_i z_i = 0.
4.1.1. Montrer que l'on a aussi : ∑_(i = 1)^(n − 1)|γ_i|z_i = 0.
4.1.2. En utilisant le produit scalaire ⟨∑_(i = 1)^(n − 1)|γ_i|z_i, z_n⟩, conclure.
4.2. Prouver enfin que : rg(A) ⩾ n − 1.

Exercice 2.

On rappelle que pour deux entiers naturels r et ℓ, (r/ℓ) désigne le nombre de parties à ℓ éléments d'un ensemble à r éléments. Soient n un entier naturel non nul et X et Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( Ω, 𝒜, ℙ ) et prenant leurs valeurs dans [ [1, n + 1] ].
On suppose qu'il existe α ∈ ℝ tel que :
∀(i, j) ∈ [ [1, n + 1] ]^2, ℙ([X = i] ∩ [Y = j]) = α(n/(i − 1))(n/(j − 1))
  1. Montrer de deux manières différentes que ∑_(k = 0)^n(n/k) = 2^n.
  2. Déterminer la valeur du réel α.
  3. Donner les lois des variables aléatoires X et Y. Ces deux variables aléatoires sont-elles indépendantes?
  4. Reconnaître la loi de la variable aléatoire Z = X − 1. Donner alors l'espérance et la variance de X.
  5. Soient p, q et r trois entiers naturels et A un ensemble fini de cardinal p + q.
En dénombrant de deux façons différentes les parties de A de cardinal r, montrer que l'on a:
∑_(k = 0)^r(p/k)(q/(r − k)) = ((p + q)/r)
On pourra remarquer que k + (r − k) = r et s'aider d'un schéma illustrant cette situation.
6. En déduire la valeur de : ∑_(k = 0)^n(n/k)^2
7. On note B ∈ ℳ_(n + 1)(ℝ) la matrice dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est : b_(ij) = ℙ([(X, Y) = (i, j)]).
7.1. Déterminer le rang de la matrice B.
7.2. Déterminer la valeur de tr(B), la trace de la matrice B.

Exercice 3.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note ℳ_n = ℳ_n(ℝ), le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients réels.
Dans tout l'exercice, une matrice de ℳ_n est dite diagonalisable si elle est diagonalisable dans ℳ_n.
𝒟_n désigne l'ensemble des matrices diagonalisables de ℳ_n, 𝒮_n l'ensemble des matrices symétriques de ℳ_n et 𝒜_n celui des matrices antisymétriques de ℳ_n.
Question de cours : Donner sans démonstration les dimensions des espaces vectoriels 𝒮_n et 𝒜_n.
Partie 1
On prend dans cette partie n = 2.
  1. Exhiber un sous-espace vectoriel de dimension 3 de ℳ_2 constitué de matrices diagonalisables.
  2. En déduire la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de ℳ_2 contenu dans 𝒟_2.
  3. 𝒟_2 est-il un sous-espace vectoriel de ℋ_2 ? Justifier.
On pourra utiliser des arguments de dimension.
4. Déterminer alors tous les sous-espaces vectoriels de 𝒜_2 contenant 𝒟_2.
5. Soient Ω = {(a, c; b, d) ∈ ℳ_2| (a − d)^2 + 4bc > 0} et F = {(a, c; b, d) ∈ ℳ_2| (a − d)^2 + 4bc ⩾ 0}.
5.1. Montrer que Ω est un ouvert de ℳ_2 et F un fermé de 𝒩_2.
5.2. Prouver que l'on a: Ω ⊂ 𝒟_2 ⊂ F
5.3. 𝒟_2 est-il un fermé de ℳ_2 ? un ouvert de ℳ_2 ? Justifier.

Partie 2

On revient au cas général avec n > 2.
  1. Soient A = (a_(ij)) ∈ ℳ_n et B = (b_(ij)) ∈ ℳ_n définies par:
  • a_(11) = a_(12) = 1, a_(22) = − 1 et a_(ij) = 0 sinon
  • b_(11) = − 1, b_(12) = b_(22) = 1 et b_(ij) = 0 sinon
    1.1. Vérifier que A et B sont diagonalisables.
    1.2. 𝒟_n est-il un sous-espace vectoriel de ℳ_n ? Justifier.
  1. Soit N ∈ ℳ_n, antisymétrique.
Démontrer que l'ensemble des valeurs propres réelles de N est inclus dans {0}.
(On pourra calculer le produit matriciel ^t XNX pour un vecteur X de ℳ_(n, 1)(ℝ) ).
3. Soit S un sous-espace vectoriel de ℳ_n contenu dans 𝒟_n. Déterminer S ∩ 𝒜_n.
En déduire la dimension maximale d'un tel sous-espace vectoriel S. On donnera un exemple d'un sous-espace réalisant cette condition.
4. Soit une matrice P ∈ GL_n(ℝ).
On note f_P l'application linéaire qui à une matrice M de ℳ_n associe la matrice P^(− 1)MP.
4.1. Vérifier que f_P est un automorphisme de ℳ_n et expliciter f_P^(− 1).
En déduire la dimension de 𝒮_P = f_P(𝒮_n).
4.2. Prouver que l'on a: 𝒮_P ⊂ 𝒟_n
4.3. Démontrer enfin que : 𝒟_n = ⋃_(P ∈ GL_n(ℝ))𝒮_P
5. On note {E_(ij), (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2} la base canonique de ℳ_n où E_(ij) est la matrice de ℳ_n dont tous les coefficients sont nuls excepté celui de la ligne i et colonne j qui vaut 1.
5.1. Donner sans démonstration une base ℬ_1 de 𝒮_n.
5.2. Pour tout couple (i, j) de [ [1, n] ]^2, i < j, on pose T_(ij) = 4E_(ji) + E_(ij).
Soit P la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont (1, …, 1, 2, 1, …, 1) où le 2 est à la j-ième position.
Décomposer la matrice P^(− 1)T_(ij)P dans la base canonique de ℳ_n. On pourra utiliser l'endomorphisme φ de ℝ^n canoniquement associé à T_(ij).
Justifier alors que la matrice T_(ij) est diagonalisable.
5.3. Soit 𝒯 = Vect(T_(ij), (i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, i < j). Prouver que ℳ_n = 𝒯 ⊕ 𝒮_n.
En déduire une base de ℳ_n constituée de matrices toutes diagonalisables.
5.4. Déterminer enfin tous les sous-espaces vectoriels de ℳ_n contenant 𝒟_n.

Exercice 4.

  1. Proposer une fonction python maxi prenant en argument une liste d'entiers naturels L et renvoyant le maximum des entiers de cette liste.
On n'utilisera pas de fonction spécifique de python déterminant ce maximum.
2. Ecrire une fonction ind prenant en argument une liste d'entiers naturels L et renvoyant la liste des indices [i_1,..., i_r] avec i_1<...<i_r telle que pour tout k ∈ [ [1, r] ], L[i_k] soit non nul.
Par exemple, si L = [0, 1, 3, 0, 7], alors ind ( L ) renvoie [1, 2, 4].
3. Ecrire une fonction nb_oc prenant comme argument une liste d'entiers naturels L et renvoyant la liste T de longueur
M = maxi(L) + 1 où, pour tout i ∈ [ [0, M] ], T[i] est le nombre d'occurences dans la liste L de l'entier i.
Par exemple, si L = [3, 1, 4, 1, 5], alors T = [0, 2, 0, 1, 1, 1]
On pourra utiliser la fonction maxi.
4.
4.1. Soit L une liste d'entiers naturels. Déterminer le nombre de fois, noté n , où la liste L est parcourue lors de l'exécution de nb_oc (L).
4.2. On veut que n soit indépendant de M.
Si ce n'est pas le cas, modifier la fonction nb_oc afin de respecter cette condition.
5. Soit A une liste d'entiers. On définit alors la suite de Robinson (L_n)_(n ∈ ℕ) associée à la liste A par récurrence comme suit − L_0 = A.
  • Si L_n est construite, alors :
  • on détermine T_n = nb_oc (L_n).
  • on détermine I_n = ind(T_n).
  • si I_n = [i_1, …i_r], alors L_(n + 1) = [T[i_r], i_r, …, T[i_1], i_1]
Par exemple, si A = [4, 4, 1, 2] :
  • L_0 = [4, 4, 1, 2]
  • L_1 = [2, 4, 1, 2, 1, 1] (il y a deux « 4 », un « 2 » et un « 1 » dans la liste L_0 )
  • L_2 = [1, 4, 2, 2, 3, 1] (il y a un « 4 » , deux « 2 » et trois « 1 » dans la liste L_1 )
    5.1. On donne A = [2, 0, 4, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1]. Déterminer L_3 et L_(2018).
    5.2. On donne B = [2, 4, 1, 1, 1, 2]. Si l'on suppose que L_1 = B, donner toutes les solutions possibles pour L_0.
    5.3. On donne C = [2, 4, 1, 0]. Si l'on suppose que L_1 = C, donner toutes les solutions possibles pour L_0.
    5.4. Proposer alors une fonction rob(A, n) qui prend en argument une liste A et un entier naturel n et qui renvoie l'élément L_n de la suite de Robinson associée à A .

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI e3a 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI e3a 2018 ?

Il porte sur les matrices symétriques et la réduction des endomorphismes, les couples de variables aléatoires discrètes, la topologie en dimension finie et l'algorithmique en Python.

Les quatre exercices du sujet e3a maths 1 PSI 2018 sont-ils indépendants ?

Oui, ce sont quatre exercices indépendants, chacun pouvant être traité séparément des autres.

Le sujet e3a maths 1 PSI 2018 contient-il de la programmation Python ?

Oui, le quatrième exercice demande d'écrire plusieurs fonctions Python, notamment pour calculer un maximum, des indices d'éléments non nuls et un comptage d'occurrences, puis de programmer la suite de Robinson.

Qu'est-ce que la suite de Robinson dans l'exercice 4 de ce sujet ?

C'est une suite de listes construite par récurrence : à chaque étape, on compte les occurrences des valeurs de la liste précédente pour former la liste suivante, en alternant occurrence et indice correspondant.

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