WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 1 PSI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Conditionnement d’une matrice et applications

4,0(7 votes)
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2025FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales Centrale PSI MathématiquesCentrale PSI 2025PSI MathématiquesMathématiques 2025

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Conditionnement d'une matrice inversible et inégalité de Kantorovich
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie la notion de conditionnement d'une matrice inversible, utile pour évaluer la sensibilité aux erreurs d'arrondi lors de la résolution numérique d'un système linéaire. Il construit d'abord une norme matricielle N, définit le conditionnement et en établit des propriétés, avant de le relier au spectre de la matrice sur un exemple de matrice tridiagonale. Il se termine par la démonstration de l'inégalité de Kantorovich, obtenue par deux approches, l'une algébrique et l'autre probabiliste.

  1. 1Partie A : construction d'une norme sur les matrices carréesÉtude de l'application N et de son comportement sur les matrices orthogonales et symétriques.
  2. 2Partie B : conditionnement d'une matrice pour la norme NDéfinition du conditionnement, premières propriétés et exemple d'une matrice mal conditionnée.
  3. 3Partie C : conditionnement pour une matrice réelle inversibleRelations entre le conditionnement d'une matrice inversible et le spectre de la matrice.
  4. 4Partie D : calcul explicite de conditionnementDétermination des valeurs propres d'une matrice tridiagonale et calcul de son conditionnement.
  5. 5Partie E : inégalité de KantorovichDémonstration de l'inégalité de Kantorovich par une approche algébrique puis par une approche probabiliste.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un sujet de longueur raisonnable qui a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions, tout en relevant que seuls quelques candidats ont abordé avec succès les questions plus difficiles qui parsemaient le sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,29 / 20 · écart-type 4,14 · 4 277 présents · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,29/ 20
Écart-type
4,14
Présents
4 277
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12
moyenne 9,2905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 28 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre majorant et borne supérieure (partie A) · Condition de non-nullité du vecteur propre oubliée · Erreurs de trigonométrie dans l'étude de la matrice tridiagonale
Afficher ou masquer la section

La diversité des chapitres mathématiques mobilisés (normes, réduction, produits scalaires, probabilités) a permis à tous les candidats de traiter de nombreuses questions et de montrer leurs compétences, mais le jury relève aussi des lacunes sur des notions de base. La première partie a été abordée par tous mais peu de candidats ont manipulé les bornes supérieures avec la rigueur attendue, tandis que les deuxième et troisième parties ont été bien mieux réussies. La dernière partie, sur l'inégalité de Kantorovich, a été moins abordée faute de temps.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre majorant et borne supérieure (partie A)

    Les correcteurs ont relevé de nombreuses confusions dans la première partie du problème entre majorant, borne supérieure et maximum.

    « un majorant n’est pas nécessairement la borne supérieure. »
  2. 2
    Condition de non-nullité du vecteur propre oubliée

    La définition d'un vecteur propre impose qu'il soit non nul, condition fréquemment omise par les candidats.

    « Ce dernier point est fréquemment oublié. »
  3. 3
    Erreurs de trigonométrie dans l'étude de la matrice tridiagonale

    La partie D, étudiée par une grande majorité des candidats, n'a débouché sur un résultat final correct que dans peu de copies à cause d'erreurs de formules trigonométriques.

    « de nombreuses erreurs de formules trigonométriques n’ont permis qu’à quelques copies de proposer un résultat final correct. »
  4. 4
    Loi de probabilité mal justifiée (Q39)Q39

    La définition d'une loi de probabilité pour la variable aléatoire Z n'est pas suffisamment maîtrisée, en particulier la nécessité de vérifier la positivité des coefficients.

    « la définition d’une loi de probabilité n’est pas connue suffisamment bien »
  5. 5
    Propriétés de l'espérance non rappelées (Q42)Q42

    Le jury attendait que les propriétés de l'espérance utilisées (croissance, linéarité, positivité) soient explicitement rappelées.

    « les propriétés de l’espérance devaient être rappelées, en particulier, sa croissance, sa linéarité ou encore sa positivité. »

Ce qui a été bien réussi

  • La seconde moitié de la première partie, qui fait manipuler des matrices symétriques ou orthogonales, a donné de très bonnes réponses, avec notamment une bonne utilisation du théorème spectral.
  • Les deuxième et troisième parties ont été bien mieux réussies, avec des réponses très pertinentes sur de nombreuses copies.
  • Quelques candidats ont abordé avec succès les questions plus difficiles qui parsemaient le sujet.

Conseils du jury

  • Bien travailler toutes les notions vues en cours, y compris celles vues en première année.
  • Numéroter les questions, les traiter dans l'ordre, barrer proprement les erreurs et encadrer les résultats.
  • Utiliser davantage le brouillon avant de rédiger une réponse pour éviter des erreurs grossières.
  • Articuler le raisonnement avec des mots clés (considérons, or, donc, car, en effet) et identifier clairement hypothèses et objectifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Conditionnement d'une matrice et applications

Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel non nul, et on rappelle que M_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes. On note D_n(ℝ) le sous-espace vectoriel de M_n(ℝ) des matrices diagonales.
On rappelle que l'on désigne par M^⊤ la transposée d'une matrice M.
Pour alléger les notations, on identifiera les vecteurs de ℝ^n aux matrices colonnes de M_(n, 1)(ℝ).
On désignera par B = (E_1, E_2, …, E_n) la base canonique de ℝ^n.
On munit ℝ^n de la norme ‖ ⋅ ‖, en posant pour tout x = (x_1, …, x_n) ∈ ℝ^n, ‖x‖ = √(∑_(i = 1)^n x_i^2) qui est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ de ℝ^n où par définition, pour tout X et Y de ℝ^n, ⟨X, Y⟩ = X^⊤Y.
Pour toute matrice M de M_n(ℝ) on note ρ(M) le réel défini par : ρ(M) = max_(λ ∈ Sp_ℂ(M))|λ|.
On note par ailleurs S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques positives de M_n(ℝ) et par S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques définies positives de M_n(ℝ).

Partie A - Construction d'une norme sur M_n(ℝ)

On se propose dans cette partie de montrer que l'application N donnée sur M_n(ℝ) par :
N : A ⟼ sup_(‖X‖ = 1)‖AX‖
est une norme sur M_n(ℝ) et d'en étudier quelques propriétés.

I - Étude de l'application N

Dans toute cette partie, on considère A une matrice quelconque de M_n(ℝ) dont on note L_1, L_2, …, L_n les n lignes et C_1, C_2, …C_n les n colonnes, que l'on pourra identifier à des éléments de ℝ^n.
Q1. Soit X ∈ ℝ^n tel que ‖X‖ = 1. En notant M = max_(1 ⩽ i ⩽ n)‖L_i‖, montrer que :
‖AX‖ ⩽ M√n
On pourra au préalable s'intéresser à la i^e ligne de la matrice AX et utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les vecteurs de ℝ^n.
Q2. En déduire que l'application N est bien définie, puis que : N(A) = sup_(X_0 ≠ 0)(‖AX_0‖)/(‖X_0‖).
Q3. Montrer que l'application N ainsi définie est une norme sur M_n(ℝ).
Q4. En est-il de même pour l'application S : | M_n(ℝ), ⟶, ℝ_+; M, ⟼, ρ(M) ?
Q5. Soit Δ ∈ D_n(ℝ) dont on note δ_1, …, δ_n les termes diagonaux.
Vérifier que N(Δ) = max_(1 ⩽ i ⩽ n)|δ_i|.
Q6. À l'aide de l'application X ⟼ ‖AX‖, démontrer que : N(A) = max_(‖X‖ = 1)‖AX‖.
Q7. Établir que: ∀X ∈ ℝ^n, ‖AX‖ ⩽ N(A)‖X‖.
Q8. Soit B une autre matrice quelconque de M_n(ℝ). Montrer que :
N(AB) ⩽ N(A)N(B)
Q9. Montrer que: max_(1 ⩽ i ⩽ n)‖C_i‖ ⩽ N(A).
Q10. Déterminer N(A) dans le cas où toutes les colonnes de A sont nulles, sauf la dernière.
En déduire N(A) dans le cas où A = (0, 0, 0; 0, 0, − 1; 0, 0, 1).

II - Cas des matrices orthogonales et symétriques

Dans cette partie, A désigne une matrice quelconque de M_n(ℝ) et U une matrice orthogonale de M_n(ℝ).
Q11. Déterminer N(U).
Q12. Démontrer que N(UA) et N(A) sont égales.
Q13. En considérant X_0 ∈ ℝ^n où ‖X_0‖ = 1 tel que ‖AX_0‖ = N(A), démontrer que N(AU) = N(A).
Q14. On suppose de plus dans cette question uniquement que la matrice A est une matrice symétrique réelle de M_n(ℝ).
Montrer que : N(A) = ρ(A).
Q15. Déterminer N(A) dans le cas où A = (2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2).

Partie B - Conditionnement d'une matrice pour la norme N

On définit sur GL_n(ℝ) l'application notée cond par: cond: |GL_n(ℝ) ⟶ ℝA ⟼ N(A)N(A^(− 1))

I - Quelques résultats sur le conditionnement

Dans toute cette sous-partie, A désigne une matrice inversible de M_n(ℝ) et U une matrice orthogonale de M_n(ℝ).
Q16. Montrer que : 1 ⩽ cond(A).
Q17. Quel lien a-t-on entre cond (A) et cond(αA) pour α ∈ ℝ^∗ ?
Q18. Démontrer que cond(U) = 1.
Q19. Que dire de cond(UA), cond(AU) et de cond(A) ?

II - Un exemple de minoration du conditionnement d'une matrice

On suppose dans cette partie uniquement que A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n) où : a_(i, j) = {1, si, i = j; 2, si, j = i + 1; 0, sinon.
Q20. On considère le vecteur X de ℝ^n donné par : X = ∑_(k = 1)^n(− 1)^(n − k)2^(n − k)E_k. Montrer que AX = E_n.
Q21. Déduire de ce qui précède que N(A^(− 1)) ⩾ 2^(n − 1).
Q22. Justifier ‖AE_2‖ > 2, pour en déduire que cond(A) > 2^n.

Partie C - Conditionnement pour une matrice réelle inversible

Q23. Soit S une matrice de S_n^+(ℝ).
On considère C = (V_1, …, V_n) une base diagonalisante orthonormée de ℝ^n où pour tout i ∈ {1, …, n}, V_i est un vecteur propre associé à la valeur propre notée λ_i et où l'on suppose que λ_1 ⩽ … ⩽ λ_n sont les valeurs propres de S comptées avec leur ordre de multiplicité.
Montrer que: N(S) = max_(‖X‖ = 1)|⟨SX, X⟩|.
Q24. Soit A ∈ M_n(ℝ) non nulle.
Démontrer que la matrice A^⊤A appartient à S_n^+(ℝ) pour établir que N(A^⊤A) = N(A)^2.
Q25. Déduire de ce qui précède que pour A ∈ M_n(ℝ) non nulle : N(A) = √(ρ(A^⊤A)).
Q26. On suppose dans cette question que A est une matrice M_n(ℝ) inversible.
En remarquant que A^⊤A = A^(− 1)AA^⊤A, démontrer que les matrices AA^⊤ et A^⊤A ont exactement les mêmes valeurs propres.
Q27. Soit A ∈ M_n(ℝ) inversible. On note μ_m et μ_M respectivement la plus petite et la plus grande des valeurs propres de la matrice A^T A et où l'on suppose que l'on a 0 < μ_m ⩽ μ_M.
Montrer que : cond(A) = √((μ_M)/(μ_m)).
Q28. Exprimer cond (A) lorsque A appartient à S_n^(+ +)(ℝ) à l'aide des valeurs propres de A en remarquant que A^⊤A = A^2.

Partie D - Calcul explicite de conditionnement

Dans toute cette partie, on désigne par T la matrice de M_n(ℝ) donnée par : T = (2, − 1, (0); − 1, ⋱, ⋱; ⋱, ⋱, − 1; (0), − 1, 2).
Le but de cette partie est de déterminer la valeur de cond(T) en commençant par déterminer les éléments propres de la matrice T.
Q29. Montrer que les valeurs propres de T sont réelles.
Q30. Soit k ∈ ℕ tel que k ∉ (n + 1)ℤ. On considère le vecteur U_k de ℝ^n donné par :
U_k = (sin((kπ)/(n + 1)), sin((2kπ)/(n + 1)), …, sin(((n − 1)kπ)/(n + 1)), sin((nkπ)/(n + 1))).
Montrer que U_k est un vecteur propre de T et préciser la valeur propre associée.
Q31. En déduire l'ensemble des valeurs propres de T.
Q32. Déterminer alors la valeur de cond(T).

Partie E - Inégalité de Kantorovich

Dans toute cette partie, A désigne une matrice de S_n^(+ +)(ℝ) et on désigne par λ_1, …, λ_n l'ensemble de ses valeurs propres où l'on suppose que 0 < λ_1 ⩽ λ_2 ⩽ … ⩽ λ_n et comptées avec leur ordre de multiplicité, et on désigne par C = (V_1, …, V_n) une base orthonormée de ℝ^n formée de vecteurs propres de A.
On se propose d'établir le résultat suivant, appelée inégalité de Kantorovich :
(K) : ∀X ∈ ℝ^n, ‖X‖^4 ⩽ ⟨AX, X⟩⟨A^(− 1)X, X⟩ ⩽ 1/4(1/(√(cond(A))) + √(cond(A)))^2‖X‖^4.

I - Une première démonstration

On désigne par P le polynôme de ℝ[X] donné par P = X^2 − (λ_1 + λ_n)X + λ_1 λ_n.
Q33. Exprimer cond(A) à l'aide des valeurs propres de A.
Q34. On admet que l'application (⋅, ⋅)_A : ℝ^n × ℝ^n, ⟶, ℝ; (X, Y), ⟼, ⟨AX, Y⟩ est un produit scalaire sur ℝ^n.
À l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que: ∀X ∈ ℝ^n, ‖X‖^4 ⩽ ⟨AX, X⟩⟨A^(− 1)X, X⟩.
Q35. Montrer que: ∀k ∈ {1, …, n}, P(λ_k) ⩽ 0.
Q36. Déterminer les valeurs propres de la matrice B = A^(− 1)P(A) et en déduire que ⟨BX, X⟩ ⩽ 0 pour tout X ∈ ℝ^n.
Q37. Pour X ∈ ℝ^n fixé, on désigne par f la fonction polynôme de degré 2 définie par :
f : | ℝ, ⟶ ℝ; λ, ⟼ ⟨AX, X⟩λ^2 − (λ_1 + λ_n)‖X‖^2 λ + λ_1 λ_n⟨A^(− 1)X, X⟩
Vérifier que f(1) = ⟨BX, X⟩, montrer que f(0)f(1) ⩽ 0, puis établir que :
(⋆) : (λ_1 + λ_n)^2‖X‖^4 − 4⟨AX, X⟩⟨A^(− 1)X, X⟩λ_1 λ_n ⩾ 0.
Q38. Déduire de ce qui précéde l'inégalité de Kantorovich.

II - Une deuxième démonstration

On admet que, pour établir la relation ( K ), il suffit de la vérifier pour un vecteur X de norme 1 .
Dans toute cette partie, X = (x_1, …, x_n) désigne donc un vecteur de ℝ^n de norme 1 dont les coordonnées sont données dans la base C.
On considère alors un espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ), et on définit la variable aléatoire Z par :
Z(Ω) = {λ_1, …, λ_n} et : ∀i ∈ {1, …, n}, ℙ([Z = λ_i]) = x_i^2
Q39. Justifier que l'on définit bien une loi de probabilité pour Z.
Q40. Justifier que Z et 1/Z admettent une espérance, puis les exprimer en fonction de ⟨AX, X⟩ et de ⟨A^(− 1)X, X⟩.
Q41. En remarquant que la variable aléatoire (Z − λ_1)(Z − λ_n) est négative, établir l'inégalité suivante :
1/Z ⩽ (λ_1 + λ_n − Z)/(λ_1 λ_n).
Q42. En déduire alors que: 𝔼(Z)𝔼(1/Z) ⩽ − 1/(λ_1 λ_n)(𝔼(Z) − (λ_1 + λ_n)/2)^2 + ((λ_1 + λ_n)^2)/(4λ_1 λ_n).
Q43. Déduire de ce qui précède la seconde partie de l'inégalité de Kantorovich.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI Centrale 2025 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PSI Centrale 2025 ?

Le sujet porte sur le conditionnement d'une matrice inversible et mobilise les normes, la réduction des endomorphismes, les produits scalaires et les probabilités, avec l'inégalité de Kantorovich comme point d'orgue.

Le sujet de mathématiques 1 PSI Centrale 2025 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme de longueur raisonnable, permettant à tous de traiter de nombreuses questions, mais souligne que seuls quelques candidats ont réussi les questions les plus difficiles.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury relève des confusions entre majorant et borne supérieure, l'oubli de la condition de non-nullité d'un vecteur propre, de nombreuses erreurs de trigonométrie, ainsi qu'une maîtrise insuffisante de la loi de probabilité et des propriétés de l'espérance.

Quelles sont les parties du sujet de mathématiques 1 PSI Centrale 2025 ?

Le sujet comporte cinq parties : construction d'une norme matricielle, définition du conditionnement, lien avec le spectre, calcul explicite sur une matrice tridiagonale, puis démonstration de l'inégalité de Kantorovich.

Pas de description pour le moment