Centrale Mathématiques 1 PSI 2026Sujet

Q: Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PSI 2026 ?

Il porte sur les probabilités discrètes, les fonctions génératrices, la réduction des matrices et les suites récurrentes linéaires.

Q: Les quatre parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non totalement : les parties A et B traitent des cas particuliers (n=1, n=2 puis n=3) qui préparent le cas général de la partie C, et la partie D réutilise les résultats des parties précédentes.

Q: Y a-t-il une question de programmation en Python dans ce sujet ?

Oui, la question 38 demande d'écrire une fonction Python calculant une liste de probabilités en fonction de p, k et n.

Q: Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour traiter ce sujet ?

Les lois usuelles et le calcul d'espérance et de variance, les séries entières et fonctions génératrices, ainsi que la diagonalisation des matrices et la résolution de suites récurrentes linéaires.

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Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce : probabilités et fonctions génératrices

Le sujet étudie la loi du rang d'apparition des n premiers piles consécutifs lors du lancer répété d'une pièce, en lien avec un modèle utilisé pour les réseaux sans fil. Il traite successivement les cas n=1, n=2, n=3 puis le cas général, avant d'étudier la probabilité d'obtenir au moins n piles consécutifs en un nombre fixé de lancers.

1Partie A : les cas où n=1 et n=2Détermine la loi, l'espérance et la variance du rang du premier pile puis des deux premiers piles consécutifs, à l'aide d'une relation de récurrence résolue via les racines d'un trinôme.
2Partie B : le cas où n=3Généralise l'étude avec une récurrence linéaire d'ordre 3 traduite par une matrice 3x3, dont le polynôme caractéristique et les valeurs propres complexes donnent un équivalent de la probabilité étudiée.
3Partie C : l'étude générale par le calcul de la fonction génératriceTraite le cas général en calculant la fonction génératrice de la variable aléatoire, puis exprime la probabilité recherchée par décomposition en éléments simples.
4Partie D : obtenir une succession de pile à la suite de lancers d'une pièceÉtudie, pour un nombre fixé de lancers, la probabilité d'obtenir au moins n piles consécutifs, avec une question de programmation en Python.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,2 / 20 · écart-type 4 · 4 399 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,2/ 20
Écart-type: 4
Présents: 4 399
Coefficient: 15
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,2
3e quartile: 12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 4 mai 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Mathématiques 1

PSI

4 heures
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Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce.

Dans ce sujet, nous étudions la probabilité d'apparition de

n

côtés pile successifs lors du lancer d'une pièce. Ce type de problème a notamment servi de modèle pour des études effectuées dans les années 2010 visant à améliorer la performance des transmissions d'informations dans certains types de réseaux informatiques sans fil appelé OLSR [1]. Ces derniers ont des applications dans l'utilisation des mini-drones de reconnaissance, ou bien lors de communications d'unités de secours pour la prévention des catastrophes naturelles.
Dans les trois premières parties, nous étudions la probabilité d'apparition pour la première fois de

n

côtés pile successifs lors de lancers d'une pièce. La première partie s'intéresse aux cas où

n = 1

n = 2

; la deuxième au cas où

n = 3

. Puis le cas général est étudié dans la troisième partie. La dernière partie, quant à elle, traite du problème de l'apparition d'une succession d'au moins n côtés pile consécutifs lorsqu'une pièce est lancée

k

fois.

Notations et définition

On dispose d'une pièce non nécessairement équilibrée. On note

p \in ]0, 1[

la probabilité que le résultat d'un lancer donne le côté pile et

q \in ]0, 1[

celle qu'il soit face. Pour tout

n \in ℕ^*

, on définit la variable aléatoire

X_n

de sorte que pour tout entier

k \in ℕ^*, X_n

prend la valeur

k

lorsque l'on obtient pour la première fois

n

côtés piles consécutifs à la suite de

k

lancers d'une pièce et

X_n = + \infty

si cet événement ne se produit jamais. On admet dans tout le sujet l'existence d'un espace probabilisé

(Ω, P)

sur lequel est définie

X_n

. On note

f

la fonction définie par, pour tout

t \in [0, 1]

f(t) = t^n - q\sum_(i = 1)^n p^(i - 1)t^(n - i)

Re(z)

la partie réelle de tout nombre complexe

z

A - Les cas où $n = 1$ et $n = 2$

I - Le cas où

n = 1

Q1.Donner explicitement la loi de $X_1$ .
Q2.Donner directement la fonction génératrice de $X_1$ , son espérance et sa variance.
Q3.Démontrer les résultats donnés dans la question 2.

II - Le cas où $n = 2$

Q4.Déterminer $P(X_2 = 1)$ et $P(X_2 = 2)$ .
Q5.Soit $k \in ℕ, k > 2$ . On suppose que $X_2$ prend la valeur $k$ . Déterminer l'ensemble des résultats possibles pour les deux premiers lancers.
Q6.En déduire que pour tout $k \in ℕ, k > 2, P(X_2 = k) = qP(X_2 = k - 1) + pqP(X_2 = k - 2)$ .
Q7.Montrer que le trinôme $X^2 - qX - pq$ admet deux racines $r_1$ et $r_2$ dans ] - 1,1[ vérifiant $r_2 < r_1$ et $|r_2| < |r_1|$ .
Q8.Déterminer le rayon de convergence, noté $R$ , de la série entière $\sum_(k = 2)^(+ \infty)(r_1^(k - 1) - r_2^(k - 1))z^k$ .
Q9.Exprimer $P(X_2 = k)$ pour tout $k \in ℕ, k > 2$ .

Q10.Déterminer l'événement $(X_2 = + \infty)$ en fonction des événements $(X_2 ⩾ k)$ , où $k \in ℕ^*$ . En déduire que $P(X_2 = + \infty) = 0$ .
Q11.Montrer que la fonction génératrice de $X_2$ , notée $G_(X_2)$ , est telle que, pour tout $z \in ℂ$ tel que $|z| < R$ , $G_(X_2)(z) = (p^2 z^2)/(1 - qz - pqz^2)$ .
Q12.Montrer que $X_2$ admet une espérance et une variance.
Q13.Calculer l'espérance de $X_2$ puis montrer que sa variance vaut $1/(p^4) + 2/(p^3) - 2/(p^2) - 1/p$ .

B - Le cas où $n = 3$

On s'intéresse dans cette partie au cas où

n = 3

I - Étude générale à l'aide de l'algèbre linéaire

Q14.Donner pour tout $k ∈ {1, 2, 3}, P(X_3 = k)$ .
Q15.Montrer à l'aide d'un système complet d'événements adéquat que pour tout $k > 3$ ,
$P(X_3 = k) = qP(X_3 = k - 1) + pqP(X_3 = k - 2) + qp^2 P(X_3 = k - 3).$
Q16.Soit $k \in ℕ^*$ . On pose la matrice colonne $U_k = (P(X_3 = k + 2); P(X_3 = k + 1); P(X_3 = k))$ . Déterminer une matrice $M \in M_3(ℝ)$ telle que $U_(k + 1) = MU_k$ .
Q17.Déterminer le polynôme caractéristique noté $χ_M$ de $M$ .
Q18.Montrer que $χ_M$ admet une unique racine dans ]0,1[.
Q19.Vérifier que $(X - p)χ_M(X) = X^4 - X^3 + qp^3$ puis montrer que $χ_M$ admet une seule racine réelle.
Q20.Justifier que $M$ est diagonalisable dans $ℂ$ .
Q21.On note $Q \in GL_3(ℂ)$ et $D \in M_3(ℂ)$ une matrice diagonale d'ordre 3 telles que $M = QDQ^(- 1)$ . Sans calculer $Q$ , montrer qu'il existe $(A, B, C) \in ℂ^3, λ_1 \in ]0, 1[$ et $λ_2 \in ℂ$ tels que, pour tout $k ⩾ 1$ ,
$P(X_3 = k) = Aλ_1^(k - 1) + Bλ_2^(k - 1) + Cλ_2^-^(k - 1).$
Q22.Déterminer uniquement la valeur de $A$ en fonction de $λ_1$ et $λ_2$ .
Q23.On note $θ$ un argument de $λ_2$ et $r$ son module. Montrer qu'il existe $(a, b, c) \in ℝ^3$ tel que pour tout $k \in ℕ^*$ , $P(X_3 = k) = aλ_1^(k - 1) + br^(k - 1)cos((k - 1)θ) + cr^(k - 1)sin((k - 1)θ)$
Q24.Montrer que : $q < λ_1, Re(λ_2) < 0, |λ_2 - 1| > 1$ puis que $|λ_2| < λ_1$ .
Q25.En déduire l'existence d'un réel $m > 0$ , que l'on calculera en fonction de $λ_1$ et $λ_2$ , tel que $P(X_3 = k) \sim _(k \to + \infty)mλ_1^k$ .

II - Un cas particulier

Dans cette partie B.II, on suppose que

p = 3/4

Q26.Déterminer dans $ℕ$ une racine du polynôme $χ_M(X/4)$ .
Q27.En déduire toutes les racines de $χ_M$ .
Q28.Déterminer un équivalent de $P(X_3 = k)$ .

C - L'étude générale par le calcul de la fonction génératrice

On s'intéresse au cas où apparaît pour la première fois une succession de

n

côtés pile lors du lancer d'une pièce, où

n \in ℕ^*

Q29. Quelles sont les valeurs de

P(X_n = k)

, où

k \in {1, \dots, n}

?
Q30. Montrer que pour tout

k \in ℕ, k > n

P(X_n = k) = qP(X_n = k - 1) + qpP(X_n = k - 2) + \dots + qp^(n - 1)P(X_n = k - n).

Q31. On rappelle que la fonction

f

a été définie dans l'introduction du sujet. Calculer

f(1)

puis montrer qu'il existe

t \in ]p, 1[

tel que

f(t) ⩾ 0

. On considère dans la suite de cette partie C un tel réel

t

Q32. Montrer par récurrence que pour tout

k \in ℕ^*, P(X_n = k) ⩽ t^k

.
Q33. Montrer que la fonction génératrice de

X_n

, notée

G_(X_n)

, est définie pour tout

z \in ℂ

tel que

|z| < 1/t

et que

G_(X_n)(z) = (p^n z^n(1 - pz))/(qp^n z^(n + 1) - z + 1)

Q34. Montrer que

X_n

admet une espérance et calculer

E(X_n)

.
Q35. On admet qu'il existe

a \in ℂ, λ_1, \dots, λ_n n

nombres complexes de module strictement supérieur à 1 et deux à deux distincts et

(a_1, a_2, \dots, a_n) \in ℂ^n

tels que pour tout

z

tel que

|z| < 1/t, G_(X_n)(z) = a + \sum_(i = 1)^n(a_i)/(z - λ_i)

. Déterminer pour tout

k \in ℕ^*, P(X_n = k)

en fonction des nombres

a_i

λ_i

D - Obtenir une succession de pile à la suite de lancers d'une pièce

Dans cette partie, on effectue des lancers successifs de la même pièce, on rappelle que la probabilité d'obtenir le côté pile est

p \in ]0, 1[

. Au bout de

k \in ℕ^*

lancers, on s'intéresse à l'apparition d'une succession d'au moins

n

côtés pile consécutifs. Par exemple, on lance 100 fois la pièce et on regarde si la série de cinq côtés pile : "pile,pile,pile,pile,pile" est apparue dans ces 100 lancers, mais il n'est pas interdit d'avoir une série de plus de cinq piles côte à côte. On note

A_(n, k)

l'événement : " avoir une succession d'au moins

n

côtés pile au bout de

k

lancers de la pièce". On admettra que pour tout

(b_1, b_2, \dots, b_n) \in ℂ^n

, il existe une unique suite

(u_k)_(k \in ℕ^*)

telle que :

∀i ∈ {1, ⋯, n}, u_i = b_i et ∀k > n, u_k = qu_(k − 1) + qpu_(k − 2) + ⋯ + qp^(n − 1)u_(k − n)

Soit

n \in ℕ^*

.
Q36. Quelles sont les valeurs de

P(A_(n, k))

, où

k \in {1, \dots, n}

?
Q37. Montrer que pour tout

k \in ℕ, k > n

P(A_(n, k)) = p^n + qP(A_(n, k - 1)) + qpP(A_(n, k - 2)) + \dots + qp^(n - 1)P(A_(n, k - n)).

Q38. Écrire une fonction Python ayant comme variables d'entrée

p, k

n

et qui donne en sortie la liste des

P(A_(n, l))

pour

l \in {1, \dots, k}

Q39. Déterminer une suite constante

(v_k)_(k \in ℕ^*)

vérifiant :

\forallk \in ℕ^*, k > n, v_k = p^n + qv_(k - 1) + qpv_(k - 2) + \dots + qp^(n - 1)v_(k - n).

Q40. Déterminer

(b_1, \dots, b_n) \in ℂ^n

telle que la suite

(u_k)

vérifiant la condition

(⋆)

est telle que, pour tout

k \in ℕ^*

P(A_(n, k)) = 1 - u_k

Q41. Montrer que pour tout

k \in ℕ^*, k ⩾ n, 0 < u_k < 1

(u_k)_(k \in ℕ^*)

est décroissante.
Q42. On pose

M = max{(u_(i + 1))/(u_i); i ∈ {n, ⋯, 2n − 1}}

. En utilisant la fonction

f

définie en introduction puis en raisonnant par récurrence d'ordre

n

à partir du rang

n + 1

, montrer qu'il existe

α \in [M, 1[

telle que pour tout

k \in ℕ^*, k ⩾ n + 1, u_k ⩽ α^(k - n)

Q43.Déterminer $P(⋃_(k = 1)^(+ \infty)A_(n, k))$ puis justifier l'affirmation : lorsque l'on effectue une succession de lancers d'une pièce, presque sûrement on obtiendra à un moment une série d'au moins 10000 côtés pile consécutifs.
Q44.On suppose dans cette question $n = 5$ et $p = 1/2$ . On admet que l'on peut prendre $α = 0, 9827$ et que l'on a $0, 9827^(95) ⩽ 0.193$ . Justifier l'affirmation suivante : on lance 100 fois une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir au moins cinq cotés pile consécutifs est au moins de 0,8.
Q45.En s'inspirant de la méthode de la partie B, proposer une démarche expliquée en quelques étapes et sans faire les calculs et qui permettrait de montrer l'existence de $(μ_1, μ_2, \dots, μ_n) \in ℂ^n$ avec pour tout $i \in {1, \dots, n}$ , $|μ_i| < 1$ et de $(c_1, \dots, c_n) \in ℂ^n$ tel que pour tout $k \in ℕ^*, P(A_(n, k)) = 1 - \sum_(i = 1)^n c_i μ_i^k$ .

Références

[1] Evgeny Khorov et al. « Analytical study of neighborhood discovery and link management in OLSR ». In : 2012 IFIP Wireless Days. 2012, p. 1-6. DOI : 10.1109/WD.2012.6402849.

Questions fréquentes

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Il porte sur les probabilités discrètes, les fonctions génératrices, la réduction des matrices et les suites récurrentes linéaires.

Les quatre parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non totalement : les parties A et B traitent des cas particuliers (n=1, n=2 puis n=3) qui préparent le cas général de la partie C, et la partie D réutilise les résultats des parties précédentes.

Y a-t-il une question de programmation en Python dans ce sujet ?

Oui, la question 38 demande d'écrire une fonction Python calculant une liste de probabilités en fonction de p, k et n.

Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour traiter ce sujet ?

Les lois usuelles et le calcul d'espérance et de variance, les séries entières et fonctions génératrices, ainsi que la diagonalisation des matrices et la résolution de suites récurrentes linéaires.

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Obtention de piles successifs lors de lancers d'une pièce.

Notations et définition

A - Les cas où n = 1 et n = 2

II - Le cas où n = 2

B - Le cas où n = 3

I - Étude générale à l'aide de l'algèbre linéaire

II - Un cas particulier

C - L'étude générale par le calcul de la fonction génératrice

D - Obtenir une succession de pile à la suite de lancers d'une pièce

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A - Les cas où $n = 1$ et $n = 2$

II - Le cas où $n = 2$

B - Le cas où $n = 3$