Centrale Mathématiques 2 PSI 2026Sujet

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Produit scalaire pondéré sur R[X], formule de Vandermonde et polynômes de Jacobi et de Legendre

Le sujet définit un produit scalaire sur R[X] à l'aide d'un poids (1-t)^α(1+t)^β sur [-1,1], puis démontre la formule de Vandermonde sur les coefficients binomiaux et l'étend à des coefficients binomiaux généralisés. Il construit ensuite par orthogonalisation les polynômes de Jacobi, en établit l'orthogonalité, avant de spécialiser le cas α=β=0 aux polynômes de Legendre, dont il étudie racines, équation différentielle, majoration et développement en série entière.

1Partie A : un produit scalaireÉtablir la convergence de l'intégrale à poids et démontrer que l'expression proposée définit un produit scalaire sur R[X].
2Partie B : autour des coefficients binomiauxDémontrer la formule de Vandermonde puis l'étendre à des coefficients binomiaux généralisés à des exposants réels.
3Partie C : une famille de polynômesConstruire par le procédé de Gram-Schmidt une base orthogonale de R_n[X] et étudier le degré et les racines des polynômes obtenus.
4Partie D : polynômes de JacobiDonner une expression explicite des polynômes de Jacobi et démontrer leur orthogonalité pour le produit scalaire pondéré.
5Partie E : le cas particulier (α,β)=(0,0)Étudier les polynômes de Legendre obtenus dans ce cas particulier : parité, équation différentielle, majoration sur [-1,1] et développement en série entière.

L'épreuve en chiffres

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Mathématiques 2

Polynômes de Jacobi

L'objectif de ce problème est de définir les polynômes de Jacobi et d'étudier quelques-unes des propriétés de ces polynômes.

La première partie de ce sujet est consacrée à la définition d'un produit scalaire sur l'ensemble

ℝ[X]

des polynômes à coefficients réels. Dans une deuxième partie, on se propose de démontrer la célèbre formule de Vandermonde sur les coefficients binomiaux et d'introduire la notion de coefficient binomial généralisé. Les troisième et quatrième parties proposent la définition des polynômes de Jacobi ainsi que certaines de leurs propriétés les plus classiques. Enfin, la cinquième partie permet de présenter les polynômes de Legendre, en tant que cas particulier des polynômes de Jacobi.

Partie A - Un produit scalaire

Soit

δ \in ℝ

.
Q1. Rappeler sans démonstration la condition de convergence de

\int_0^1 1/(t^δ)dt

et donner sa valeur lorsqu'elle converge.

Q2.Soit $a \in ℝ$ . Déduire de la question précédente une condition nécessaire et suffisante sur $δ$ pour que l'intégrale $\int_0^a 1/((a - t)^δ)dt$ converge.

Dans toute la suite de ce problème, sauf mention contraire,

α

β

désignent deux réels strictement supérieurs à -1 .

Q3.Démontrer que, pour toute fonction $f$ continue sur le segment $[ - 1, 1]$ , l'intégrale $\int_(- 1)^1(1 - t)^α(1 + t)^β f(t)dt$ est convergente.
Q4.Pour tout $(P, Q) \in (ℝ[X])^2$ , on pose $⟨P, Q⟩ = \int_(- 1)^1(1 - t)^α(1 + t)^β P(t)Q(t)dt$ . Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $ℝ[X]$ .

On note

‖

é à ‖lanormeeuclidienneassociéeàceproduitscalaire.Onadonc :

\forallP \in ℝ[X], ‖P‖ = \sqrt(⟨P, P⟩)

I - Un premier exemple

On suppose, dans cet exemple uniquement, que

α = β = - 1/2

. Le produit scalaire est donc ici défini par :

\forall(P, Q) \in (ℝ[X])^2, ⟨P, Q⟩ = \int_(- 1)^1(P(t)Q(t))/(\sqrt(1 - t^2))dt

Q5.Calculer le produit scalaire $⟨1, X⟩$ .
Q6.Calculer les normes $‖1‖$ et $‖X‖$ .

II - Un second exemple

On suppose, dans cet exemple uniquement, que

α = β = 0

. Le produit scalaire est donc ici défini par :

\forall(P, Q) \in (ℝ[X])^2, ⟨P, Q⟩ = \int_(- 1)^1 P(t)Q(t)dt

Q7. Calculer, pour tout

(i, j) \in ℕ^2, i \neq j

, le produit scalaire

⟨X^i, X^j⟩

.
Q8. Calculer, pour tout

i \in ℕ

, la norme

‖X^i‖

Partie B - Autour des coefficients binomiaux

Dans cette partie, complètement indépendante de la précédente, on se propose tout d'abord de démontrer la formule de Vandermonde :

\forall(k, m, p) \in ℕ^3, k ⩽ m + p, ((m + p)/k) = \sum_(j = 0)^k(m/(k - j))(p/j)

Q9. Démontrer cette formule. On pourra pour cela considérer

(m, p) \in ℕ^2, k \in [ [0, m + p] ], F

un ensemble constitué de

m + p

éléments et on pourra partitionner judicieusement

F

On introduit, dans toute la suite du problème, une nouvelle notation. Pour tout

λ \in ℝ

et pour tout

ℓ \in ℕ

, on pose :

B_ℓ^λ = {(λ(λ − 1)…(λ − ℓ + 1))/(ℓ!), si ℓ > 0; 1, si ℓ = 0

Par exemple :

B_3^(1/2) = (1/2 \times (1/2 - 1) \times (1/2 - 2))/(3!) = 1/(16)

.
Q10. Lorsque

k

n

sont deux entiers naturels tels que

k ⩽ n

, comparer les deux nombres

(n/k)

B_k^n

.
On admettra que la formule de Vandermonde précédemment démontrée se généralise aux coefficients

B_ℓ^λ

sous la forme :

\forallk \in ℕ, \forall(s, t) \in ℝ^2, k ⩽ s + t, B_k^(s + t) = \sum_(j = 0)^k B_(k - j)^s B_j^t

Partie C - Une famille de polynômes

Soit

n \in ℕ^*

. On se place dans

E = ℝ_n[X]

et on note encore

⟨.,

à ⟩larestrictionàE

du produit scalaire défini dans la question Q4.
L'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de construire une base orthonormale

B = (P_0, P_1, \dots, P_n)

E

relativement à ce produit scalaire et vérifiant les deux conditions suivantes :

(i) $\forallk \in [ [0, n] ], Vect(P_0, P_1, \dots, P_k) = Vect(1, X, \dots, X^k); \forallk \in [ [0, n] ], ⟨P_k, X^k⟩ > 0$

I - Premières propriétés des $P_k$

Q11. Démontrer que pour tout

k \in [ [0, n] ]

, le polynôme

P_k

est de degré

k

.
Q12. Démontrer que pour tout

k \in [ [1, n] ]

, le polynôme

P_k

appartient à

Vect(1, X, \dots, X^(k - 1))^⊥

.
Q13. Soit

k \in [ [1, n] ]

. On considère

Q \in Vect(1, X, \dots, X^(k - 1))^⊥

tel que

deg(Q) = k

.
Démontrer que :

\existsα_k \in ℝ

tel que

Q = α_k P_k

II - Une relation entre $P_(k - 1), P_k$ et $P_(k + 1)$

Soit

k \in [ [1, n - 1] ]

.
Q14. Démontrer qu'il existe

a_k \in ℝ

tel que

P_(k + 1) - a_k XP_k

soit de degré inférieur ou égal à

k

.
Q15. Démontrer qu'il existe

(b_k, c_k) \in ℝ^2

tel que

P_(k + 1) = (a_k X + b_k)P_k + c_k P_(k - 1)

III - Racines des polynômes $P_k$

On considère

k \in [ [1, n] ]

et on s'intéresse aux racines de

P_k

. On note

m

le nombre de racines réelles de

P_k

qui se situent dans l'intervalle

] - 1, 1[

, comptées autant de fois que leur ordre de multiplicité. On désigne par

R = {x_1, …, x_m}

l'ensemble, éventuellement vide, constitué par ces racines.

Q16. Quelle inégalité relie

k

m

?
Q17. On considère le polynôme

S = (X - x_1)(X - x_2)\dots(X - x_m)

m ⩾ 1

S = 1

R = \emptyset

. Que peut-on dire du signe de la fonction polynomiale

x \mapsto P_k(x)S(x)

sur ] - 1, 1 [?

Q18. En déduire que

⟨P_k, S⟩ \neq 0

.
Q19. Que peut-on conclure sur

m

Partie D - Polynômes de Jacobi

Dans cette partie, on se place à nouveau dans

E = ℝ_n[X]

et on continue de noter

⟨.,

à ⟩larestrictionàE

du produit scalaire défini dans la question Q4.

I - Définition

On pose, pour tout

k \in [ [0, n] ]

et pour tout

x \in ] - 1, 1[

g_k(x) = (1 - x)^(α + k)(1 + x)^(β + k) et J_k(x) = ((- 1)^k)/(2^k k!(1 - x)^α(1 + x)^β)g_k^((k))(x)

Q20. Donner l'expression de

g_0

g_1

. En déduire l'expression de

J_0

J_1

.
Q21. Soient

p \in ℕ

j

un nombre réel, pas nécessairement entier. Déterminer l'expression de la dérivée

p

-ième de la fonction

x \mapsto (1 - x)^j

sur ] - 1, 1[ en utilisant la notation

B_p^j

Q22. En déduire une expression de

g_k^((k))(x)

pour tout

x \in ] - 1, 1

[.
Q23. Démontrer alors que, pour

k ⩾ 2

\forallx \in ] - 1, 1[, J_k(x) = 1/(2^k)\sum_(i = 0)^k B_(k - i)^(k + α)B_i^(k + β)(x - 1)^i(x + 1)^(k - i)

Q24. Démontrer que la fonction

J_k

est polynomiale de degré

k

et proposer une expression simple de son coefficient dominant à l'aide de la formule de Vandermonde.

Les polynômes

J_k

associés aux fonctions polynomiales

x \mapsto J_k(x)

sont appelés polynômes de Jacobi. Nous allons en étudier une propriété fondamentale

II - Orthogonalité des polynômes de Jacobi

Soient

k \in [ [1, n] ]

i \in [ [0, k - 1] ]

.
Q25. Démontrer la convergence des deux intégrales

\int_(- 1)^1 x^i g_k^((k))(x)dx

\int_(- 1)^1 x^(i - 1)g_k^((k - 1))(x)dx

puis prouver que :

\int_(- 1)^1 x^i g_k^((k))(x)dx = - i\int_(- 1)^1 x^(i - 1)g_k^((k - 1))(x)dx

Q26. En déduire que

⟨J_k, X^i⟩ = 0

.
Q27. Démontrer que la famille

(J_0, J_1, \dots, J_n)

est une base orthogonale de

E

.
Q28. Expliquer, sans faire les calculs, comment il serait possible d'en déduire une base orthonormale de

E

Partie E - Le cas particulier $(α, β) = (0, 0)$

Soit

n \in ℕ^*

. Dans cette partie, on se place, comme dans l'exemple des questions 7 et 8, dans le cas où

α = β = 0

. On rappelle que le produit scalaire est alors donné par :

\forall(P, Q) \in (ℝ_n[X])^2, ⟨P, Q⟩ = \int_(- 1)^1 P(t)Q(t)dt

Nous admettrons alors que la base orthonormale obtenue dans la question 28 vérifie toutes les hypothèses de la famille de polynômes étudiée dans la partie C. Ces polynômes sont appelés Polynômes de Legendre, et à ce titre notés

L_k

. Ils sont donc donnés par la formule suivante :

\forallk \in [ [0, n] ], L_k = 1/(2^k k!)[(X^2 - 1)^k]^((k))

I - Premières propriétés des polynômes $L_k$

Q29. Calculer

L_k

pour tout

k \in [ [0, 3] ]

.
Q30. Calculer les racines des polynômes

L_k

pour tout

k \in [ [1, 3] ]

et vérifier, dans ces cas particuliers, la conclusion de la question 19.

Q31. Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, retrouver le degré de

L_k

sans utiliser les résultats de la partie C, puis calculer le coefficient dominant de

L_k

Q32. Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, déterminer la parité des polynômes

L_k

.
Q33. Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, calculer

L_k(1)

L_k(- 1)

II - Une équation différentielle vérifiée par les $L_k$

Soit

k \in [ [0, n] ]

. On reprend la définition de la fonction

g_k

qui est ici donnée par :

\forallx \in ] - 1, 1[, g_k(x) = (1 - x^2)^k

Q34. Exprimer, pour tout

x \in ] - 1, 1[

, la quantité

(1 - x^2)g_k^'(x)

à l'aide de

g_k(x)

.
Q35. En déduire, à l'aide de la formule de Leibniz, que le polynôme

L_k

est solution sur ] - 1, 1[ de l'équation différentielle :

(1 - x^2)y^('') - 2xy^' + k(k + 1)y = 0

III - Une majoration des $L_k$ sur $[ - 1, 1]$

Soit

k \in [ [0, n] ]

.
Q36. Étudier la monotonie sur

[0, 1]

de la fonction

f_k

définie par :

\forallx \in [0, 1], f_k(x) = (L_k(x))^2 + (1 - x^2)/(k(k + 1))(L_k^'(x))^2

Q37. En déduire la majoration :

\forallx \in [ - 1, 1], |L_k(x)| ⩽ 1

Soit

k \in [ [1, n - 1] ]

. L'objectif de sous-partie est de préciser le résultat des questions 14 et 15 dans le cas des polynômes de Legendre.

Q38. En reprenant les notations de la question 14, déterminer l'expression de

a_k

.
Q39. Démontrer que :

L_(k + 1) = (2k + 1)/(k + 1)XL_k - k/(k + 1)L_(k - 1)

V - Un developpement en série entière faisant intervenir les $L_k$

Les polynômes

L_k

ont été définis pour tout

k \in [ [0, n] ]

. On pourrait démontrer qu'il est possible d'étendre leur définition afin de disposer de

L_k

pour tout

k \in ℕ

. On suppose que toutes les propriétés précédemment démontrées, notamment l'égalité de la question 39, restent valables.

Considérons un réel

x \in [ - 1, 1]

et intéressons-nous à la série entière

\sum_(k ⩾ 0)L_k(x)t^k

.
Q40. Démontrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à 1. On pose, pour tout

t \in ] - 1, 1[

S(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)L_k(x)t^k

Q41. Établir, grâce à la question 39, que :

\forallt \in ] - 1, 1[, (1 - 2tx + t^2)S^'(t) + (t - x)S(t) = 0

Q42. En déduire que :

\forallt \in ] - 1, 1[, \sum_(k = 0)^(+ \infty)L_k(x)t^k = 1/(\sqrt(1 - 2tx + t^2))

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Maths 2 PSI Centrale 2026 ?

Il porte sur les espaces préhilbertiens réels, les polynômes, les séries entières et les équations différentielles linéaires, autour de la construction des polynômes de Jacobi puis de Legendre.

Le sujet fait-il intervenir les polynômes de Legendre ?

Oui, ils apparaissent dans la partie E comme cas particulier des polynômes de Jacobi lorsque α=β=0.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

La partie B, consacrée à la formule de Vandermonde, est présentée comme complètement indépendante de la partie A ; les parties suivantes réutilisent les résultats antérieurs.

Faut-il connaître le procédé de Gram-Schmidt pour traiter ce sujet ?

Oui, la partie C s'appuie explicitement sur l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt pour construire la base de polynômes étudiée.

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Mathématiques 2

Polynômes de Jacobi

Partie A - Un produit scalaire

I - Un premier exemple

II - Un second exemple

Partie B - Autour des coefficients binomiaux

Partie C - Une famille de polynômes

I - Premières propriétés des P_k

II - Une relation entre P_(k − 1), P_k et P_(k + 1)

III - Racines des polynômes P_k

Partie D - Polynômes de Jacobi

I - Définition

II - Orthogonalité des polynômes de Jacobi

Partie E - Le cas particulier (α, β) = (0, 0)

I - Premières propriétés des polynômes L_k

II - Une équation différentielle vérifiée par les L_k

III - Une majoration des L_k sur [ − 1, 1]

V - Un developpement en série entière faisant intervenir les L_k

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de Maths 2 PSI Centrale 2026 ?

Le sujet fait-il intervenir les polynômes de Legendre ?

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Faut-il connaître le procédé de Gram-Schmidt pour traiter ce sujet ?

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I - Premières propriétés des $P_k$

II - Une relation entre $P_(k - 1), P_k$ et $P_(k + 1)$

III - Racines des polynômes $P_k$

Partie E - Le cas particulier $(α, β) = (0, 0)$

I - Premières propriétés des polynômes $L_k$

II - Une équation différentielle vérifiée par les $L_k$

III - Une majoration des $L_k$ sur $[ - 1, 1]$

V - Un developpement en série entière faisant intervenir les $L_k$