Jeu de pile ou face, théorème de Bohr-Mollerup sur la fonction Gamma et endomorphismes diagonaux par blocs
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L'épreuve réunit deux exercices et un problème indépendants. Un exercice de probabilités étudie un jeu de pile ou face à deux joueurs, un exercice d'analyse caractérise la fonction Gamma (théorème de Bohr-Mollerup), et un problème d'algèbre linéaire étudie la classe D des endomorphismes admettant une matrice diagonale par blocs de taille 1 ou 2.
1Exercice 1 : un jeu de pile ou face (Q1 à Q7)Après des dérivées successives de 1/(1 - x) et une série entière associée, on détermine la loi géométrique de X, une loi conditionnelle binomiale, puis la loi de Y par la formule des probabilités totales.
2Exercice 2 : caractérisation de la fonction Gamma (Q8 à Q20)On établit que Γ est définie, de classe C², log-convexe grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, puis on montre l'unicité d'une fonction vérifiant les trois propriétés de Bohr-Mollerup.
3Problème, partie I : deux exemples dans K2[X] (Q21 à Q28)Étude de deux endomorphismes de K2[X], recherche de sous-espaces stables et question de savoir si D est un sous-espace vectoriel.
4Problème, partie II : endomorphismes nilpotents (Q29 à Q36)On montre que les nilpotents de D sont exactement ceux de carré nul, en construisant une base adaptée à partir de Im u ⊂ Ker u.
5Problème, partie III : critère par polynômes annulateurs (Q37 à Q43)On démontre qu'un endomorphisme admettant un polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles appartient à D, via un isomorphisme polynomial et des sommes directes de noyaux.
Difficile. Le début est progressif, mais le jury note que le taux de traitement s'effondre à partir de Q37 et que Q40 à Q43 n'ont été abordées que par environ une copie sur deux cents.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : document officiel du concours, épreuve du 20 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Lois reconnues sans justification · Intégrabilité en 0 et hypothèses de dérivation · Faux critères de diagonalisabilité
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Le sujet couvre une grande partie du programme et permet aux candidats moyens de gagner des points au début tout en triant sur la fin. Le jury qualifie le niveau global de médiocre à moyen et relève des lacunes profondes en algèbre linéaire. Beaucoup de candidats ne perçoivent pas l'enchaînement des questions annoncé par l'énoncé.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Lois reconnues sans justificationQ4, Q5
Les lois sont souvent annoncées sans argument, ce que le barème pénalise. La loi binomiale conditionnelle est mal identifiée et le système complet d'événements n'est pas toujours explicité.
« Beaucoup oublient le coefficient binomial ou se contentent d’écrire (parfois mal) la définition d’une probabilité conditionnelle. »
2
Intégrabilité en 0 et hypothèses de dérivationQ8, Q11, Q12
L'intégrabilité en 0 est très rarement justifiée par comparaison à une intégrale de Riemann, et l'hypothèse de domination du théorème de dérivation sous l'intégrale n'est pas vraiment établie.
3
Faux critères de diagonalisabilitéQ21
Le jury liste de nombreux arguments faux : matrice triangulaire donc diagonalisable, non inversible donc non diagonalisable, ou polynôme caractéristique non scindé à racines simples donc non diagonalisable.
« polynôme caractéristique non scindé à racines simples ⇒ non diagonalisable » (le grand classique) »
4
Sous-espaces stables et unicitéQ25, Q26
Peu de candidats voient qu'un sous-espace stable de dimension 1 est une droite propre, et beaucoup croient que les seuls plans de K2[X] sont engendrés par deux vecteurs de la base canonique.
« l’unicité est ratée par la quasi-totalité des candidats. »
5
Isomorphisme mal justifiéQ37
En Q37, la linéarité est souvent ratée et l'argument de dimension qui fait passer d'injective à bijective est oublié.
« L’injectivité n’est pratiquement jamais correctement traitée »
6
Mauvaise caractérisation des sommes directesQ38 à Q43
Pour plus de deux sous-espaces, une intersection deux à deux nulle ne suffit pas à rendre la somme directe.
« retenir l’intersection deux à deux nulle comme caractérisation d’une somme directe y compris pour plus de deux sous-espaces »
Ce qui a été bien réussi
L'exercice de probabilités est la partie la mieux réussie pour les candidats qui connaissent leur cours ; la loi géométrique est bien reconnue (Q3).
La relation Γ(x+1) = xΓ(x) par intégration par parties généralisée est bien réussie (Q9).
La récurrence de Q15 et l'adaptation de Q16 sont en général bien traitées.
Q33 (Im u ⊂ Ker u et théorème du rang) est un bon gisement de points pour ceux qui l'atteignent.
Conseils du jury
Rédiger les récurrences (initialisation et hérédité) plutôt que d'écrire « récurrence immédiate ».
Justifier chaque loi de probabilité reconnue, le barème le demande.
Connaître précisément les hypothèses des théorèmes d'analyse (dérivation sous l'intégrale, intégration par parties généralisée).
Lire l'énoncé pour repérer l'articulation des questions, par exemple Q11 qui prépare Q12.
Respecter la nature des objets : dans K2[X], écrire des polynômes et non des vecteurs colonnes.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.
Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants.
EXERCICE 1
Un jeu de pile ou face
Préliminaires
Q1.On considère la fonction f : x ↦ 1/(1 − x).
Montrer que pour tout k ∈ ℕ, f est de classe 𝒞^k sur ] - 1, 1[, et que pour tout x ∈ ] − 1, 1[, f^((k))(x) = (k!)/((1 − x)^(k + 1)).
Étude d'un jeu de Pile ou Face
Soit p ∈ ]0, 1[. Deux joueurs effectuent des lancers indépendants d'une même pièce. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir Pile est p. Le jeu se déroule de la manière suivante.
-Le joueur 1 effectue une succession de lancers et s'arrête lorsqu'il obtient Pile pour la première fois.
On admettra qu'avec une probabilité de 1, le joueur obtient Pile après un nombre fini de lancers.
-Le joueur 2 effectue ensuite le même nombre de lancers que le joueur 1 et compte le nombre de fois où il a obtenu Pile.
On admet que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé (Ω, A, P).
-On note X la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers effectués par le joueur 1.
-On note Y la variable aléatoire correspondant au nombre de Pile obtenus par le joueur 2.
Q3.Préciser la loi de X.
Q4.Pour tout entier n ∈ ℕ^∗ et tout entier k ∈ ℕ, calculer la probabilité de l'événement {Y = k} sachant {X = n}, notée par la suite P(Y = k|X = n).
Q5.Pour tout entier k ∈ ℕ, exprimer P(Y = k) en fonction des réels P(Y = k|X = n) et P(X = n), pour n ∈ ℕ^∗.
Q6.Établir que : P(Y = 0) = (1 − p)/(2 − p).
Q7.Établir que pour tout k ∈ ℕ^∗ : P(Y = k) = ((1 − p)^(k − 1))/((2 − p)^(k + 1)).
EXERCICE 2
Une caractérisation de la fonction Gamma
L'objet de cet exercice est l'étude d'une caractérisation de la fonction Gamma connue sous le nom de théorème de Bohr-Mollerup.
On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant.
Lemme 1. Si g est une fonction convexe sur un intervalle I ⊂ ℝ et a ∈ I, alors pour tous x, y éléments de I∖{a} tels que x ⩽ y,
(g(x) − g(a))/(x − a) ⩽ (g(y) − g(a))/(y − a).
Dans cet exercice, nous cherchons à montrer que la seule fonction f : ℝ_+^∗ → ℝ_+^∗ qui vérifie :
{∀x ∈ ℝ_+^∗, f(x + 1) = xf(x); f(1) = 1; ln ∘ f est une fonction convexe
est la fonction Γ, définie par :
∀x ∈ ℝ_+^∗, Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t) dt
Existence : la fonction Γ vérifie (S)
Q8. Montrer que la fonction Γ est bien définie sur ℝ_+^∗ et que Γ(x) > 0 pour tout x ∈ ℝ_+^∗.
Q9. Montrer que Γ(x + 1) = xΓ(x) pour tout x ∈ ℝ_+^∗.
Dans les questions Q10 à Q12, a et b désignent des réels vérifiant 0 < a < 1 < b et φ désigne la fonction définie sur ℝ_+^∗ par :
φ(t) = {t^(a − 1), si t ∈ ]0, 1]; t^(b − 1)e^(− t), si t ∈ ]1, + ∞[.
Q11. Pour k ∈ {0, 1, 2}, on définit la fonction ψ_k sur ℝ_+^∗ par :
∀t ∈ ℝ_+^∗, ψ_k(t) = |lnt|^k φ(t).
Montrer que les fonctions ψ_k(k ∈ {0, 1, 2}) sont intégrables sur ℝ_+^∗.
Q12. Déduire des deux questions précédentes que la fonction Γ est de classe 𝒞^2 sur ℝ_+^∗. Donner l'expression des deux fonctions Γ^′ et Γ^(′′) sous une forme intégrale.
Q13.Soient α, β ∈ ℝ_+^∗ vérifiant α < β. Pour tout couple (u, v) de fonctions continues sur [α, β], on pose : ⟨u, v⟩ = ∫_α^β u(t)v(t)dt
Montrer que ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ définit un produit scalaire sur 𝒞^0([α, β]).
Q14.En utilisant la question Q13 et en ayant recours à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que : ∀x ∈ ℝ_+^∗, (Γ^′(x))^2 ⩽ Γ(x)Γ^(′′)(x).
En déduire que la fonction ln ∘ Γ est convexe et conclure que Γ vérifie bien (S).
Unicité
On suppose que f est une fonction de ℝ_+^∗ dans ℝ_+^∗ qui vérifie (S). On introduit par ailleurs la fonction g définie sur ℝ_+^∗ par :
∀x ∈ ℝ_+^∗, g(x) = ln(f(x)).
Q15.Montrer que si x ∈ ℝ_+^∗ et n ∈ ℕ, on a : f(x + n) = x(x + 1)…(x + n − 1)f(x).
En déduire les valeurs de f(n + 1) et de g(n + 1).
Q18.À l'aide des questions Q16 et Q17, établir que : ∀x ∈ ]0, 1], f(x) = lim_(n → + ∞)(n^x n!)/(x(x + 1)…(x + n)).
Q19.Déduire des questions Q14 et Q18 que pour tout x ∈ ]0, 1], f(x) = Γ(x).
Q20.En utilisant la question Q15, conclure que f = Γ.
PROBLÈME
Étude d'une classe d'endomorphismes
Notations
Dans tout le problème, 𝕂 désigne indifféremment ℝ ou ℂ et E est un 𝕂-espace vectoriel de dimension n ⩾ 1.
On note ℒ(E) l'ensemble des endomorphismes de E.
Pour tout u ∈ ℒ(E), par convention u^0 = Id_E et pour tout k ∈ ℕ^∗ on note :
u^k = u ∘ u ∘ … ∘ u_()_(k fois).
Soient k ∈ ℕ et F_1, …, F_k des sous-espaces vectoriels de E. Lorsque la somme F_1 + … + F_k est directe, on la note ⨁_(i = 1)^k F_i. Par convention, si k = 0 (cas d'une somme vide), la somme vaut {0}.
Pour tout p ∈ ℕ^∗, on note M_p(𝕂) le 𝕂-espace vectoriel des matrices de taille p × p à coefficients dans 𝕂 et 𝕂_p[X] le 𝕂-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans 𝕂 de degré inférieur ou égal à p.
Soit u ∈ ℒ(E). On admet que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i)il existe (p, q) ∈ ℕ^2 tels que p + 2q = n et des sous-espaces vectoriels D_1, …, D_p, P_1, …, P_q de E stables par u, les D_i étant de dimension 1 et les P_j de dimension 2, tels que : E = ⨁_(i = 1)^p D_i ⊕ ⨁_(j = 1)^q P_j.
(ii)il existe (p, q) ∈ ℕ^2 tels que p + 2q = n et une base B de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs avec des blocs de taille 1 ou 2 . Autrement dit, ∃(λ_1, …, λ_p) ∈ 𝕂^p, ∃(M_1, …, M_q) ∈ M_2(𝕂)^q : Mat_B u = (λ_1; ⋱, (0); λ_p; M_1; (0), ⋱; M_q).
Dans tout le problème, on note D l'ensemble des endomorphismes de E qui vérifient (i) ou (ii).
Objectif du problème
L'objet de ce problème est d'étudier quelques propriétés de l'ensemble D. Après avoir étudié deux exemples dans la partie I, on étudie dans la partie II les endomorphismes nilpotents de D. Dans la partie III, on démontre un critère d'appartenance à D faisant intervenir des polynômes annulateurs.
Partie 1 - Deux exemples
Dans cette partie, on note E = 𝕂_2[X]. On définit u, v ∈ ℒ(E) par :
u : E, ⟶ X^2; P, ⟼ X^2 P^(′′) + P^′ et v : E, E; P, ⟼ P^′.
Étude de u
Q21. Écrire la matrice de u dans la base canonique de 𝕂_2[X]. Est-elle diagonalisable?
Q22. Déterminer Keru^2 et justifier que Keru^2 est un sous-espace vectoriel stable par u.
Q23. Donner une base B de E dans laquelle :
Mat_B(u) = (2, 0, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0)
et conclure que u ∈ D.
Étude de v
Q24. Donner la matrice de v dans la base canonique de 𝕂_2[X].
Q25. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de E de dimension 1 stables par v.
Q26. Montrer que 𝕂_1[X] est le seul sous-espace vectoriel de E de dimension 2 stable par v.
Q27. En déduire que ν ∉ D.
Q28. D est-il un sous-espace vectoriel de ℒ(E) ?
Partie II - Le cas des endomorphismes nilpotents
Un endomorphisme u ∈ ℒ(E) est dit nilpotent s'il existe k ∈ ℕ^∗ tel que u^k = 0. Dans ce cas, le plus petit entier naturel k vérifiant u^k = 0 est appelé indice de nilpotence de u.
Dans la suite, on note N l'ensemble des endomorphismes de E nilpotents et on pose :
N_2 = {u ∈ ℒ(E) : u^2 = 0}.
Dans toute cette partie, u ∈ N est un endomorphisme nilpotent d'indice k ∈ ℕ^∗ et de rang r ∈ ℕ.
On note J = (0, 1; 0, 0) ∈ M_2(𝕂).
Cas n = 1
Q29. Que dire de u si dimE = 1 ?
Cas n = 2
On suppose dans ce cas que dimE = 2 et que u est non nul.
Q30. Soit x ∈ E tel que u^(k − 1)(x) ≠ 0. Justifier que (u^(k − 1)(x), u^(k − 2)(x), …, u(x), x) est une famille libre.
Q31. En déduire que k = 2, puis que u ∈ N_2.
Cas général E désigne maintenant un espace vectoriel de dimension n ⩾ 1.
Q32. Montrer que D ∩ N ⊂ N_2.
Soit u ∈ N_2.
Q33. Justifier que Imu ⊂ Keru et que r ⩽ n − r.
Q34. Notons (e_1, …, e_r) une base de Imu que l'on complète en une base ( e_1, …, e_(n − r) ) de Ker u. Soient f_1, …, f_r ∈ E tels que pour tout i ∈ [ [1, r] ], u(f_i) = e_i.
Montrer que la famille (e_1, …, e_(n − r), f_1, …, f_r) est une base de E.
Q35. Montrer qu'il existe une base B de E dans laquelle la matrice de u est de la forme diagonale par blocs :
(0_(n − 2r); J, (0); (0), ⋱; J),
où 0_(n − 2r) désigne la matrice nulle de M_(n − 2r)(𝕂) et où les autres blocs diagonaux égaux à J sont en nombre r.
Q36. En déduire que N_2 = D ∩ N.
Partie III - Un critère d'appartenance à D
Dans toute cette partie, u ∈ ℒ(E) est un endomorphisme quelconque.
On souhaite montrer que s'il existe un polynôme annulateur de u scindé à racines simples ou doubles, alors u ∈ D.
Q37. Soient a, b ∈ 𝕂, distincts. On définit :
φ :, 𝕂_1[X]^2, ⟶; (A, B), ⟼ (X − a)^2 A + (X − b)^2 B.
Montrer que φ est un isomorphisme. En déduire l'existence d'un couple (A, B) ∈ 𝕂_1[X]^2 tel que :
(X − a)^2 A + (X − b)^2 B = 1.
Q38. Justifier que pour tous a, b ∈ 𝕂 distincts, Ker(u − aId_E)^2 ∩ Ker(u − bId_E)^2 = {0}.
Soient (p, q) ∈ ℕ^2∖{(0, 0)} et (α_1, …, α_p) ∈ 𝕂^p et (β_1, …, β_q) ∈ 𝕂^q deux familles de scalaires telles que les α_1, …, α_p, β_1, …, β_q sont distincts. On notera que l'une des deux familles (α_1, …, α_p) et (β_1, …, β_q) peut éventuellement être vide.
Q39. Justifier que la somme :
est directe.
Q40. Montrer que la somme :
est directe.
On pourra procéder par récurrence sur q ∈ ℕ.
Q41. Soit :
Pour i ∈ [ [1, p] ] et j ∈ [ [1, q] ], on note P_i, Q_j et R_j les polynômes tels que :
P = (X − α_i)P_i, P = (X − β_j)Q_j, P = (X − β_j)^2 R_j.
Montrer que la famille B = (P_1, …, P_p, Q_1, …, Q_q, R_1, …, R_q) est libre. En déduire que B est une base de 𝕂_(p + 2q − 1)[X].
On suppose à partir de maintenant que le polynôme P défini en (2) est annulateur de u.
Q42. En décomposant le polynôme constant égal à 1 sur la base B, justifier que :
Q43. Conclure que u ∈ D.
On pourra utiliser le résultat de la question Q36.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2026 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PSI 2026 ?
+
Sur les probabilités discrètes (lois géométrique et binomiale), l'analyse autour de la fonction Gamma (intégrales à paramètre, convexité, Cauchy-Schwarz) et l'algèbre linéaire (sous-espaces stables, nilpotents, polynômes annulateurs).
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths CCINP PSI 2026 ?
+
Des lois de probabilité non justifiées, l'intégrabilité en 0 mal traitée, de faux critères de diagonalisabilité et une caractérisation erronée des sommes directes de plus de deux sous-espaces.
Le sujet de maths CCINP PSI 2026 était-il difficile ?
+
Le début est progressif et accessible, mais la fin du problème d'algèbre linéaire a été très rarement abordée : Q40 à Q43 ne l'ont été que par environ une copie sur deux cents.
Quelle partie du sujet de maths CCINP PSI 2026 a été la mieux réussie ?
+
D'après le jury, l'exercice de probabilités, à condition de connaître son cours ; l'exercice sur la fonction Gamma a aussi été bien abordé globalement.
Pas de description pour le moment
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