CCINP Modélisation PSI 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Modélisation de l'entretien automatisé d'une piscine privée

Présentation générale

Figure 1 - Principe de l'automatisation de l'entretien d'une piscine (source CARRE BLEU)

Partie I - Régulation du débit de la pompe de circulation

• Q1.Calculer le débit minimal q_(min) et le débit maximal q_(max) de la pompe en L ⋅ s^(− 1) pour respecter l'exigence imposée par le cahier des charges. En déduire le diamètre minimal d_(min) et maximal d_(max) de la tuyauterie en mm.

I. 1 - Modélisation mécanique du système d'aspiration de la pompe

Figure 2 - Schéma cinématique d'une partie de la pompe

• -le repère R_0(O, x_0^(→−), y_0^(→−), z_0^(→−)) est lié au bâti (0), ce repère sera considéré comme galiléen ;
• -le repère R_1(O, x_1^(→−), y_1^(→−), z_0^(→−)) est lié à la manivelle (1). La liaison entre (1) et (0) est considérée comme une liaison pivot parfaite d'axe (O, z_0^(→−));
• -le repère R_2(A, x_2^(→−), y_2^(→−), z_2^(→−)) est lié à la bielle (2). La liaison entre (2) et (1) est considérée comme une liaison pivot parfaite d'axe (A, z_0^(→−));
• -la liaison entre le piston (3) et la bielle (2) est considérée comme une liaison pivot parfaite d'axe ( B, z_0^(→−) );
• -la liaison entre le piston (3) et le bâti (0) est considérée comme une liaison glissière parfaite de direction x_0^(→−) et sa position est paramétrée par la distance variable x_3, telle que OB^(→−) = x_3 x_0^(→−);
• - θ_1 = (x_0^(→−), x_1^(→−)) = (y_0^(→−), y_1^(→−)) et θ_2 = (x_0^(→−), x_2^(→−)) = (y_0^(→−), y_2^(→−));
• - OA^(→−) = Rx_1^(→−) et AB^(→−) = Lx_2^(→−);
• - R et L sont des constantes avec R < L;
• -le diamètre du piston est noté d_p;
• -l'origine des temps t = 0 est telle que θ_1 = 0.

• Q2.Exprimer la relation entrée-sortie entre x_3 et θ_1 sous la forme x_3 = f(θ_1, R, L). Justifier que la relation entrée-sortie donnée ci-dessous est la seule solution possible.
  x_3 = Rcosθ_1 + √(L^2 − (Rsinθ_1)^2).
• Q3.Donner l'expression de (x_3)/L en fonction de θ_1. Tracer l'allure de (x_3)/L en fonction de θ_1 sur [0, 4π] pour un ratio R/L = 1/2. Préciser les valeurs de (x_3)/L pour θ_1 = 0 et θ_1 = π.
• Q4.Exprimer littéralement la cylindrée C de la pompe (volume balayé par le piston (3) pour un tour de la manivelle (1)) en fonction de R et de d_p.
• Q5.Exprimer la vitesse v_3 du piston par rapport au bâti en fonction de θ_1, Ω_m, R et de L.

• Q6.En déduire les expressions du débit instantané q de l'eau refoulée pour θ_1 ∈ [0, π] et pour θ_1 ∈ [π, 2π] en fonction de v_3 et de d_p.
• Q7.À partir du résultat obtenu à la question Q6, déterminer l'expression du débit moyen refoulé q_(moy) par tour de manivelle en m^3 ⋅ s^(− 1) en fonction de R, d_p et de Ω_m.

Figure 3 - Relevés de mesure du débit de la pompe

• Q8.Définir la fonction Python moyenne (q). Cette fonction prend comme argument la liste des débits relevés q en m^3 ⋅ s^(− 1) et renvoie le débit moyen qmoy en m^3 ⋅ s^(− 1).

• Q9.Le code Python donne un débit moyen q_(moy) = 2, 4 ⋅ 10^(− 3) m^3 ⋅ s^(− 1). Calculer le débit moyen obtenu par la modélisation à partir de l'expression trouvée à la question Q7. Comparer le résultat obtenu par modélisation et par expérimentation. Conclure quant à la validité du modèle proposé précédemment.

I. 2 - Modélisation de la régulation sous la forme d'un schéma-bloc

• -d'un adaptateur de gain K_a;
• -d'un capteur de débit de gain K_q avec K_q = 1 V ⋅ s ⋅ m^(− 3);
• -d'un correcteur de fonction de transfert C(p) = 1 dans un premier temps ;
• -d'un variateur de gain K_v = 10;
• -d'un moteur à courant continu de fonction de transfert H(p) = (K_m)/(1 + τ_m p) avec K_m = 10rad ⋅ s^(− 1) ⋅ V^(− 1) et τ_m = 1 s;
• -d'une pompe de gain K_(pom) = 9 ⋅ 10^(− 6) m^3 ⋅ rad^(− 1);
• -d'un ensemble de conduites pouvant engendrer des pertes de charges et une diminution du débit Q_(pc).

Figure 4 - Schéma-bloc de l'asservissement du débit

• Q10.Déterminer l'expression du gain K_a de l'adaptateur pour que l'écart ε soit nul en régime permanent.
• Q11.Déterminer la relation de transfert Q_s(p) = H_1(p) ⋅ Q_c(p) + H_2(p) ⋅ Q_(pc)(p). Préciser les expressions de H_1(p) et de H_2(p) sous forme canonique.
• Q12.Le système, non asservi, respecte-t-il les exigences de précision? Justifier.

I. 3 - Mise en place d'un correcteur

• Q13.Justifier que la mise en place de ce correcteur permet de respecter l'exigence de précision donnée dans la table 1.

• Q14.Régler le paramètre T_i du correcteur afin de compenser le pôle dominant de la fonction de transfert en boucle ouverte. Donner, dans cette configuration, l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte H_(BO)(p) du système corrigé. Préciser l'expression du gain en boucle ouverte notée K_(BO).
• Q15.Rappeler les expressions de marge de gain MG et de marge de phase MP. À partir de l'expression de H_(BO)(p) trouvée précédemment, justifier le respect des critères de marge de gain et de marge de phase donnés dans la table 1.
• Q16.Déterminer, sous forme canonique, l'expression de la fonction de transfert en boucle fermée H_(BF)(p) du système corrigé, en prenant en compte la compensation de pôle dominant. Justifier que cette correction permet de respecter le critère d'amortissement du cahier des charges donné dans la table 1.
• Q17.En prenant K_(BO) = 9 ⋅ 10^(− 4) ⋅ K_p, calculer la valeur minimale de K_p permettant de respecter le critère de rapidité du cahier des charges donné dans la table 1.

Partie II - Régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau

• -masse molaire du sodium M(Na) = 23, 0 g ⋅ mol^(− 1);
• -masse molaire du chlore M(Cl) = 35, 5 g ⋅ mol^(− 1);
• -masse molaire de l'oxygène M(O) = 16, 0 g ⋅ mol^(− 1);
• -masse molaire de l'hydrogène M(H) = 1, 00 g ⋅ mol^(− 1);
• -constante de Faraday F = 96, 5 ⋅ 10^3 C ⋅ mol^(− 1);
• -potentiel standard du couple HClO/, Cl^−E^∘ = 1, 49 V;
• -profondeur du bassin L = 1, 5 m;
• -surface de l'eau S_e = 28 m^2;
• -constante de Planck h = 6, 63 ⋅ 10^(− 34) J ⋅ s;
• -constante d'Avogadro 𝒩_A = 6, 02 ⋅ 10^(23) mol^(− 1).

• Q24.
  Le pH de l'eau de piscine est maintenu à 7,2. Le dichlore est-il stable dans l'eau? Justifier pourquoi de l'acide hypochloreux est formé et donner l'équation-bilan associée.
  

  Figure 5 - Diagramme de Pourbaix du chlore
• Q25.La concentration molaire en élément chlore sous forme HClO doit être comprise entre 10 et 40μ mol ⋅ L^(− 1) pour assurer une bonne désinfection de l'eau. Pour une concentration molaire c_t en chlore libre égale à 60μ mol ⋅ L^(− 1), l'eau de la piscine est-elle bien désinfectée? On donne 10^(− 0, 3) = 0, 5.
• Q26.Pour mesurer la concentration molaire en acide hypochloreux, on utilise une sonde redox constituée d'une électrode de platine et d'une électrode au chlorure d'argent saturée comme référence (le potentiel d'une électrode d'argent est E_(ref) = 0, 199 V à 25 °C). En utilisant la formule de Nernst relative au couple HClO/Cl^−, exprimer littéralement la différence de potentiel mesurée.

• Q27.Quelle est l'influence de la production de dichlore sur le pH de l'eau? Quelle en est la conséquence?

Figure 6 - Chaîne de mesure du pH

• Q28.Préciser la nature des grandeurs physiques en entrée et en sortie du capteur. Justifier l'emploi du CAN. Déterminer le gain K_(cap) du capteur et le gain K_(CAN) du CAN.
• Q29.Déterminer la plus petite variation de pH mesurable par la chaîne de mesure. Comparer cette variation avec la précision requise dans le cahier des charges. Conclure sur la pertinence de la chaîne de mesure du pH.

• Q30.Rappeler la loi de Beer-Lambert en rappelant l'unité des différentes grandeurs introduites.
• Q31.La figure 7 donne le coefficient d'extinction molaire de HClO et ClO^−en fonction de la longueur d'onde. En se plaçant à 290 nm , pour simplifier, donner les coefficients d'absorption molaire des ions hypochlorite ε_(ClO^−)et de l'acide hypochloreux ε_(HClO) à cette longueur d'onde.

Figure 7 - Courbe d'extinction molaire des espèces chlorées considérées

• Q32.On supposera qu'à part l'eau, aucune autre espèce n'absorbe à cette longueur d'onde. Réécrire la loi de Beer-Lambert en y faisant apparaître uniquement la concentration molaire [HClO] comme concentration. La mettre sous la forme A = α_t[HClO]z où z désigne la profondeur d'eau traversée, on exprimera α_t en fonction de ε_(ClO)^−, ε_(HClO), K_a et de [H^+].

• Q33.La figure 8 donne α_e, le coefficient d'absorption par mètre d'eau traversé en fonction de la longueur d'onde, tel que α_e z = log((I(0))/(I(z))). Peut-on négliger l'absorption des UV due à l'eau à 290 nm ?

Figure 8 - Coefficient d'absorption de l'eau en fonction de la longueur d'onde

• Q40.
  Un programme Python, dont un extrait est donné figure 10, permet de résoudre l'équation (1) dans le cas d'une intensité variable de rayonnement UV. Justifier l'allure de la courbe de la figure 9 sur une journée. Quel phénomène n'est pas pris en compte ?
  

  Figure 9 - Intensité lumineuse dans l'UV au cours d'une journée d'été

I = 8
F = 96500
c_0 = 3.3*10**-5
S_eau = 7*4
L = 1.5
V = 1.5*S_eau
v_p = I/(2*F)*3600
alpha_t = 2.3*10**4
alpha_e = 0.1
c = [c_0]
dt = T[1]- T[0]
K_d = S_eau * 300* 10** - 9/(6.63*10** - 34 * 3*10**8 * 6.02*10**23)*3600
for k in range(0,len(T)-1) :
    c +=

Figure 11 - Potentiel d'oxydoréduction de l'eau de la piscine (ordonnée en mV). Comparaison entre les relevés expérimentaux (points) et la solution numérique (en trait plein)

• Q43.Justifier que, dans le cadre de ce modèle, la concentration en ions chlorure ne varie pas au cours du temps. En réalité, il est recommandé de vérifier leur concentration au moins une fois par saison. Proposer une explication.
• Q44.
  Déterminer la durée de fonctionnement de l'électrolyseur sur une journée à l'aide de la figure 12.
  

  Figure 12 - Fonctionnement de l'électrolyseur (1 s'il est allumé et 0 s'il est éteint)

• Q45.
  Déterminer, à l'aide de la figure 13, la tension d'électrolyse U. On néglige la résistance de la cellule d'électrolyse et on rappelle que j = 4, 0kA ⋅ m^(− 2) et S = 20 cm^2. En déduire la puissance électrique consommée sur une journée en kWh.
  

  Figure 13 - Courbes intensité-potentiel sur une électrode de tungstène
• Q46.On recommande de fermer le volet roulant de la piscine en pleine journée lorsque l'on ne s'y baigne pas. Quel en est l'intérêt?

FIN