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CCINP Modélisation PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)
  • Électronique numérique (transistors, portes logiques CMOS)
  • Transferts thermiques (résistance thermique, différences finies)
  • Mécanique des fluides et machines tournantes
  • Analyse numérique matricielle (conditionnement)
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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Modélisation d'un circuit de refroidissement à eau (watercooling) pour microprocesseur
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L'épreuve de modélisation et ingénierie numérique de la filière PSI au Concours Commun INP 2020 porte sur la caractérisation d'un circuit de refroidissement à eau pour microprocesseur. Elle mobilise des questions de sciences physiques, de sciences de l'ingénieur et d'informatique en trois parties indépendantes, dans une démarche proche du TIPE : expliquer l'origine de la puissance thermique produite par les transistors, modéliser le système de refroidissement, puis modéliser la pompe centrifuge qui fait circuler le fluide.

  1. 1Partie I : Origine de la puissance thermique produiteModélisation des transistors MOSFET et de l'inverseur CMOS pour expliquer la puissance consommée en régime statique et dynamique par un microprocesseur.
  2. 2Partie II : Modélisation du système de refroidissementÉtude du rôle de la pâte thermique, description d'un module de watercooling, puis détermination par différences finies du champ de température dans l'échangeur thermique.
  3. 3Partie III : Modélisation de la pompe centrifugeÉtude mécanique et hydraulique de la pompe centrifuge assurant la circulation du fluide de refroidissement (débit, différence de pression, puissance et rendement).

Difficulté moyenne. Le rapport indique que la plupart des questions ont été abordées, avec une alternance de questions bien traitées (Q1, Q2, Q15, Q24-27, Q28, Q30, Q36-37) et de questions mal ou peu réussies (Q4-8, Q18-19, Q29, Q32-34), sans qu'un niveau de difficulté global tranché ne se dégage.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,03 / 20 · écart-type 3,53 · 5 085 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,03/ 20
Écart-type
3,53
Présents
5 085
Coefficient
10
Durée
4 h
moyenne 10,0305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confusion entre énergie et puissance · Absence de composant résistif confondue avec puissance nulle · Notion de modélisation mal comprise
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Le jury relève un gros effort de présentation dans la plupart des copies, mais regrette des erreurs de calcul simples, des unités aberrantes, des lois non citées et un manque d'analyse critique des ordres de grandeur obtenus. Il rappelle que la démarche de modélisation, proche du TIPE, exige de confronter le modèle à des mesures et de commenter les résultats, et non de se contenter de les calculer.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre énergie et puissanceQ3

    À la question 3, un trop grand nombre de candidats confondent énergie et puissance ; le jury rappelle par ailleurs qu'une valeur numérique doit toujours être comparée à une autre pour être qualifiée de grande ou petite.

    « Un trop grand nombre de candidats confondent malheureusement énergie et puissance. »
  2. 2
    Absence de composant résistif confondue avec puissance nulleQ5

    À la question 5, de nombreux candidats pensent à tort que l'absence de composant résistif dans le circuit CMOS signifie que la puissance consommée est nulle.

    « L’absence de composant résistif ne signifie pas que la puissance consommée est nulle. »
  3. 3
    Notion de modélisation mal compriseQ6

    Les questions 6 et 7, peu réussies, ont donné lieu à des réponses fantaisistes et peu scientifiques : les notions de modélisation et de modèle ne semblent pas comprises par une partie des candidats.

    « questions peu réussies ayant donné lieu à des réponses fantaisistes et peu scientifiques. »
  4. 4
    Expressions des aires et volumes élémentaires mal maîtriséesQ18

    À la question 18, de trop nombreux candidats ne maîtrisent pas l'expression des aires et volumes élémentaires nécessaires au calcul de l'épaisseur de pâte thermique.

    « De trop nombreux candidats n e maîtrisent pas l’expression des aires et volumes élémentaires. »
  5. 5
    Résultats donnés affirmés à tort comme retrouvésQ32

    À la question 32, calculatoire et très peu réussie, de nombreux candidats ont malhonnêtement affirmé avoir retrouvé le résultat fourni par l'énoncé, alors qu'il contenait une erreur.

    « cette question a donné lieu à de nombreuses tentatives malhonnêtes affirmant avoir trouvé le résultat (faux) demandé. »
  6. 6
    Définition intégrale du débit méconnueQ33

    Aux questions 33 et 34, globalement mal traitées, la définition intégrale du débit n'est connue que d'une minorité de candidats.

    « La définition intégrale du débit n’est connue que d’une minorité de candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions Q1 et Q2, sur le fonctionnement de l'inverseur NMOS, ont été bien traitées.
  • La question Q15, sur la modélisation du transfert thermique dans la couche d'air, a été bien réussie.
  • Les questions Q24 à Q27 et Q36-37 ont été bien réussies, hormis quelques erreurs de calcul.
  • Les questions Q28 et Q30, sur la discrétisation et le conditionnement de la matrice, ont été bien réussies.

Conseils du jury

  • Encadrer les résultats plutôt que les surligner, et ne pas mélanger les réponses aux différentes parties.
  • Être concis dans la rédaction : un schéma rapide ou une formule bien choisie vaut souvent mieux qu'un long développement.
  • Toujours analyser le résultat obtenu et vérifier que son ordre de grandeur et ses unités sont cohérents.
  • Citer explicitement les lois physiques utilisées plutôt que de raisonner uniquement par analyse dimensionnelle.
  • Ne jamais affirmer avoir retrouvé un résultat donné par l'énoncé lorsque ce n'est pas le cas.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MODÉLISATION ET INGÉNIERIE NUMÉRIQUE

Mardi 5 mai : 8 h-12 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de trois parties.

Modélisation d'un circuit de refroidissement à eau

Présentation générale

Les composants électroniques, comme les processeurs (CPU), les cartes graphiques (GPU) ou les chipsets chauffent de plus en plus en raison de la montée en fréquence conséquente qu'ils ont subie ces dernières années. Les industriels vantent donc les bienfaits du WaterCooling (refroidissement par écoulement d'eau) par rapport au refroidissement traditionnel par écoulement d'air.
Ce sujet s'intéresse à l'origine et à l'évacuation de la puissance thermique produite dans un processeur d'ordinateur par un système de refroidissement à eau.
La partie I explique, à l'aide d'un modèle simple de porte logique, l'impact de la finesse de gravure et de la fréquence des processeurs sur la puissance thermique produite.
La partie II s'intéresse au transfert thermique du processeur vers le liquide de refroidissement.
La partie III décrit la pompe permettant la circulation du fluide dans le circuit de WaterCooling.
Figure 1 - Système de refroidissement liquide pour processeur (Hydro series ^((C)) )

Partie I - Origine de la puissance thermique produite

Depuis leur invention en 1971 par la société Intel, les microprocesseurs sont sans cesse améliorés pour accroître leur performance tout en diminuant la puissance thermique produite. Les microprocesseurs sont, entre autres, constitués d'un très grand nombre de transistors permettant, par exemple, la réalisation d'opérations logiques. L'augmentation de la puissance de calcul des processeurs fut permise, en partie, par une augmentation régulière du nombre de transistors passé, pour une surface de l'ordre du centimètre carré, de 2300 en 1971 à environ 2 milliards aujourd'hui.
Les transistors de type MOSFET (Metal Oxyde Semiconductor Field Effect Transistor) sont les briques de bases des microprocesseurs et sont à l'origine d'une grande partie de la puissance thermique générée par le fonctionnement du processeur. Il existe deux types de transistors MOSFET, NMOS et PMOS schématisés figure 2, que nous distinguerons uniquement par leur comportement électrique. Ces transistors possèdent a priori trois points permettant de les inclure dans un circuit électrique : la grille (G), le drain (D) et la source (S). La zone entre le drain et la source est appelée le canal. Une couche d'oxyde isolante est placée entre le substrat et la grille (G).
Figure 2 - Schématisation d'un MOSFET
Dans toute la suite, nous utiliserons un modèle simplifié du transistor dans lequel le comportement des transistors MOSFET est piloté par la tension Grille/Source V_(GS) (le canal est plus ou moins conducteur selon la valeur de cette tension).
Ces transistors présentent, dans les conditions envisagées, deux régimes de fonctionnement (table 1) :
  • le régime bloqué : le canal ne laisse pas passer le courant et l'intensité Drain/Source est nulle ;
  • le régime actif : le canal laisse passer le courant et l'intensité Drain/Source est non nulle.
La tension correspondant au passage d'un régime à l'autre est appelée tension seuil. On note V_(t_n) > 0 (respectivement V_(t_p) < 0 ) la tension seuil du transistor NMOS (respectivement PMOS), V_(GS) la tension entre la grille et la source, V_(DS) la tension entre le drain et la source et I_(DS) l'intensité du courant traversant le canal du drain vers la source. Un résumé schématique du fonctionnement simplifié du transistor NMOS est présenté figure 3 (le fonctionnement du PMOS est similaire, seul le signe des tensions change). En régime actif, l'intensité I_(DS) dépend des tensions V_(GS) et V_(DS). Les figures 4 et 5 présentent des réseaux de caractéristiques I_(DS) = f(V_(DS), V_(GS)) pour différentes valeurs de V_(GS).
Transistor NMOS Transistor PMOS
Régime bloqué
Si 0 ≤ V_(GS) < V_(t_n) Si V_(t_p) < V_(GS) ≤ 0
alors I_(DS) = 0 alors I_(DS) = 0
Régime actif
Si 0 < V_(t_n) ≤ V_(GS) Si V_(GS) ≤ V_(t_p) < 0
alors I_(DS) ≥ 0 alors I_(DS) ≤ 0
Table 1 - Lois de fonctionnement simplifiées des transistors NMOS et PMOS
Figure 3 - Comportement simplifié d'un NMOS
Figure 4 - Caractéristiques en régime actif I_(DS) = f(V_(DS), V_(GS)) pour différentes valeurs de V_(GS) d'un NMOS
Figure 5 - Caractéristiques en régime actif I_(DS) = f(V_(DS), V_(GS)) pour différentes valeurs de V_(GS) d'un PMOS
Ces transistors permettent par exemple de réaliser des inverseurs logiques comme celui de la figure 6. Il s'agit d'un inverseur NMOS constitué d'un MOSFET et d'un résistor de résistance R. Il est alimenté par une source de tension supposée idéale de f.é.m. V_(DD) > V_(t_n). On note V_(in) ∈ [0, V_(DD)] la tension d'entrée et V_(out) la tension de sortie de l'inverseur.
Figure 6 - Inverseur NMOS
On s'intéresse à l'inverseur NMOS présenté figure 6.
Q1. Vérifier que V_(out) = + V_(DD) si V_(in) = 0.
Q2. Des caractéristiques V_(out) = f(V_(in)) de l'inverseur NMOS sont tracées figure 7 pour différentes valeurs de R.
Pour quelle(s) valeur(s) de R ce circuit peut-il constituer un inverseur logique ? Une justification précise mais succinte est attendue.
Figure 7 - Caractéristiques d'un inverseur NMOS ( V_(t_n) = 1, 0 V et V_(DD) = 5, 0 V )
Dorénavant, l'inverseur sera considéré dans l'état haut si V_(out) = + V_(DD) et dans l'état bas si V_(out) ≃ 0 V. Le problème majeur de cet inverseur est qu'il consomme de l'énergie durant son maintien dans l'état bas.
Q3. Exprimer puis calculer la puissance consommée p_c = I_(DS)V_(DD) pour maintenir l'inverseur dans l'état bas.
On prendra R = 10MΩ. Commenter.
Pour résoudre ce problème de consommation d'énergie, on associe un transistor NMOS et un transistor PMOS. Cette technique, que l'on nomme CMOS (Complementary Metal Oxyde Semiconductor) permet de réduire considérablement la puissance consommée lors du maintien de la sortie dans un état donné qui est alors de l'ordre du nW. Le circuit CMOS le plus simple est l'inverseur CMOS présenté figure 8, le transistor PMOS est appelé transistor de charge et le transistor NMOS transistor de signal.
Figure 8 - Inverseur CMOS ( V_(t_n) = − V_(t_p) < V_(DD) )
Q4. Justifier que le circuit de la figure 8 constitue bien un inverseur logique. Pour cela, on pourra se placer dans les cas où V_(in) = 0 V et V_(in) = + V_(DD).
Q5. Dans le cadre de la modélisation proposée pour les transistors, justifier que ce circuit ne consomme pas de puissance pour maintenir la sortie dans l'état haut ou dans l'état bas.
Q6. Interpréter la puissance consommée par le composant réel pour maintenir l'état de sortie de l'inverseur.
Une porte CMOS idéale consomme donc de l'énergie uniquement lorsque la sortie bascule d'un état à un autre (commutation). Nous allons donc maintenant nous intéresser au comportement dynamique de l'inverseur. On suppose que la tension d'entrée de l'inverseur est un créneau représenté figure 9. Pour étudier la réponse de l'inverseur en fonction du temps, on introduit dans le modèle un condensateur idéal de capacité C_L = 0, 1pF reliant la source et le drain du transistor de signal (figure 9).
Figure 9 - Modélisation dynamique de l'inverseur CMOS et tension d'entrée
Q7. Donner une origine des effets capacitifs pris en compte dans le modèle. Pourquoi n'était-il pas nécessaire de les prendre en compte lors de l'étude du comportement statique de l'inverseur?
Q8. Déterminer l'équation reliant (dV_(out))/(dt)(t) et i(t) = − I_(DS_p)(t) lors du basculement de la sortie de l'état bas à l'état haut. En déduire l'énergie fournie à la porte lors de cette commutation. Que dire de celle fournie par l'alimentation pour la commutation inverse?
Q9. En déduire l'expression de la puissance moyenne consommée par l'inverseur sur une période de la tension l'entrée.
Q10. On peut montrer que la durée τ, nécessaire pour que la tension de sortie passe de + 0, 9V_(DD) à 0, 1V_(DD) (et inversement), a pour expression :
τ = (C_L)/(κ ⋅ (V_(DD) − V_(t_n)))[(2(V_(t_n) − 0, 1V_(DD)))/(V_(DD) − V_(t_n)) + ln((19V_(DD) − 20V_(t_n))/(V_(DD)))]
où κ est un paramètre caractéristique des transistors.
Simplifier l'expression de τ pour V_(t_n) = 0, 1V_(DD). Application numérique pour V_(DD) = 5, 0 V et κ = 10μ A ⋅ V^(− 2). À quoi correspond cette durée pour l'opération logique réalisée par la porte?
Q11. En déduire une estimation numérique de la puissance consommée par l'inverseur sur une période. On supposera que T ≃ 2τ. Commenter.
Depuis les années 70, la finesse de gravure, c'est-à-dire la longueur L du canal, ne cesse de diminuer. Elle est globalement divisée par deux tous les deux ans de même que les autres paramètres géométriques du transistor. Cela a permis de diminuer la capacité parasite C_L ainsi que la tension d'alimentation.
Q12. À l'aide du modèle précédent, discuter qualitativement de l'impact de la finesse de gravure sur les performances des processeurs.
Q13. Avec la diminution de la taille des transistors, la puissance consommée en fonctionnement statique de l'inverseur CMOS augmente. Expliquer qualitativement cette augmentation.
Bien sûr l'architecture interne, les courants de court-circuit, le fait que les portes ne fonctionnent pas toutes en même temps et bien d'autres facteurs influent sur les performances des processeurs et en particulier sur la puissance électrique dissipée lors de leur fonctionnement. Malgré tous les progrès techniques réalisés, les processeurs (en particulier les plus puissants) chauffent pendant leur fonctionnement. Les fabricants donnent comme indication à ce propos l'enveloppe thermique, ou T.D.P. (pour Thermal Design Power), exprimée en watt, du processeur. Il s'agit du transfert thermique vers l'extérieur dont doit pouvoir bénéficier le processeur pour fonctionner correctement. À l'heure actuelle, l'enveloppe thermique typique est de l'ordre d'une dizaine à une centaine de watts pour les processeurs commerciaux les plus performants.
Q14. En l'absence de système de refroidissement, exprimer la durée Δt nécessaire à un microprocesseur (substrat en silicium) possédant une enveloppe thermique de P_(th) = 100 W pour s'échauffer de :
Δθ = θ_f − θ_0.
Sachant que le microprocesseur ne doit pas dépasser 70^∘C, estimer sa durée de fonctionnement pour θ_0 = 20^∘C. Commenter.
Données :
  • volume du processeur V ≃ 0, 1 cm^3;
  • capacité thermique massique du silicium c_S = 0, 7 J ⋅ g^(− 1) ⋅ K^(− 1);
  • masse volumique du silicium ρ_S = 2, 3 g ⋅ cm^(− 3).

Partie II - Modélisation du système de refroidissement

II. 1 - Rôle de la pâte thermique

Intéressons-nous tout d'abord au transport de l'énergie thermique vers le système de refroidissement. On appelle ici processeur le composant photographié figure 10. C'est cette puce que l'on assimilera à un carré de surface S = 4 cm^2 que l'on trouve dans les cartes mères des ordinateurs. La puissance thermique est essentiellement produite à l'intérieur du carré hachuré dont la surface sera appelée surface utile notée S_u. La température de cette partie du processeur est supposée uniforme.
Figure 10 - Photographie d'une puce AMD A6-5400 et représentation de la surface utile S_u (carré hachuré)
On néglige le transfert thermique à travers les parois latérales du processeur. On ne considère que le transfert thermique s'effectuant à travers la face supérieure du processeur. Cette dernière est en contact avec le support métallique du radiateur (refroidissement à air) ou de l'échangeur (refroidissement à eau) du système de refroidissement. À cause de leur rugosité, le contact entre les deux surfaces présente des imperfections. Cela se traduit par des poches d'air entre elles que l'on remplit lors du montage du système de refroidissement avec une pâte thermique (figure 11).
Figure 11 - Schématisation et modélisation de la surface de contact entre le processeur et le radiateur (ou de l'échangeur thermique)
On souhaite estimer l'impact de la rugosité sur l'efficacité du transfert thermique vers le système de refroidissement en l'absence de la pâte thermique pour en comprendre l'importance.
On modélise le système par deux milieux distants de e et de section plane S_u perpendiculaire à l'axe (Oy). Les lacunes remplies d'air (en l'absence de pâte thermique) entre les plaques sont donc modélisées par une couche d'air d'épaisseur e constante. On se place en régime stationnaire et on note λ_a la conductivité thermique de l'air. Le processeur et le radiateur ont des températures uniformes respectivement notées T_p et T_r. Dans la couche d'air, la température T ne dépend que de y. On utilisera les valeurs numériques suivantes :
  • conductivité thermique de l'air λ_a = 0, 03 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 1);
  • épaisseur de la couche d'air e = 1μ m (taille caractéristique des reliefs d'une surface métallique sans traitements de surface);
  • conductivité thermique de la pâte thermique λ_p = 10 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 1).
Q15. Justifier que l'on puisse négliger les effets de bord et considérer que T ne dépend que de y dans la couche d'air.
Q16. Rappeler la loi de Fourier. À l'aide d'un bilan d'énergie sur un système bien choisi, établir l'équation vérifiée, en régime stationnaire, par T dans la couche d'air de surface S_u.
Q17. En déduire l'expression de T(y) puis l'expression de la résistance thermique R_a de la couche d'air.
Q18. Il est conseillé d'appliquer une goutte, supposée sphérique, de pâte thermique d'environ 3 mm de diamètre qui est étalée par pression lors de l'installation du radiateur. À l'aide des photographies de la figure 12, exprimer en fonction des paramètres pertinents l'épaisseur e_p de la couche de pâte thermique. Application numérique.
Q19. Calculer la résistance thermique R_a de la couche d'air et celle R_p de la couche de pâte thermique de surface S_u.
Figure 12 - Application de la pâte thermique
Q20. Pour un flux thermique de 100 W , estimer la différence de température ΔT = T_p − T_r entre le processeur et le radiateur avec et sans pâte thermique. Commenter à l'aide des valeurs numériques indiquées à la question Q14.
Q21. Proposer une autre méthode permettant de diminuer la résistance thermique du contact entre les deux plaques.

II. 2 - Description d'un module de watercooling

Le watercooling ou refroidissent à eau est une technique d'évacuation de la chaleur produite par les processeurs appelée ainsi par opposition à l'aircooling ou refroidissement à air. Un système de watercooling est constitué (figure 13) d'un échangeur thermique situé sur le processeur et d'un radiateur (dissipateur généralement externe) situé à l'arrière de la tour reliés par des tuyaux dans lesquels circule de l'eau. Le débit d'eau est contrôlé par une pompe. L'eau reçoit l'énergie thermique produite dans le processeur au niveau de l'échangeur avant de la céder à l'air de la pièce dans le radiateur.
Figure 13 - Schématisation d'un système de watercooling
On s'intéresse ici à un échangeur thermique (figure 14) constitué d'un ensemble de micro-canaux percés dans le corps de l'échangeur et d'ailettes de refroidissement. Ces dispositifs sont fabriqués dans des métaux conduisant la chaleur. Les plus rencontrés sont le cuivre de conductivité thermique 401 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 1) et l'aluminium de conductivité thermique 237 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 1) ). L'eau circule dans les canaux et emporte l'énergie thermique produite par le processeur.
Figure 14 - Photographie d'un échangeur thermique à micro-canaux (sans son "courvercle")
Q22. Lequel des deux métaux (aluminium ou cuivre) est le plus adapté pour réaliser l'échangeur thermique. Quel est son inconvénient?
Q23. Le débit massique D_m de l'écoulement à travers l'échangeur est de l'ordre de 10^(− 2) kg ⋅ s^(− 1). À l'aide d'un bilan d'énergie sur un système bien choisi, estimer la température du fluide en sortie de l'échangeur pour une puissance thermique dissipée de 100 W . On rappelle la valeur de la capacité thermique massique de l'eau liquide c_e = 4, 18 kJ ⋅ K^(− 1) ⋅ kg^(− 1).

II. 3 - Détermination du champ de température dans l'échangeur

On souhaite maintenant déterminer le nombre nécessaire d'ailettes de refroidissement ainsi que la température dans ces ailettes en régime permanent.
Nous allons pour cela déterminer le champ de température dans l'échangeur et en particulier dans la base métallique en contact avec le processeur (figure 15).
Figure 15 - Schématisation de l'échangeur et d'une ailette de refroidissement
Dans cette partie du système, l'équation vérifiée par le champ de température en régime permanent est :
(∂^2 T(x, y))/(∂y^2) + (∂^2 T(x, y))/(∂x^2) = 0.
Le problème est toujours supposé invariant selon l'axe ( Oz ). Pour illustrer le principe de la méthode, l'ailette est modélisé par un rectangle. Considérons le rectangle figure 16 dont trois côtés sont à la température T_1 et le dernier à la température T_2. Ce rectangle est découpé en 8 petits carrés de côté h (appelé pas de discrétisation) dont les sommets forment un réseau de points de coordonnées (ih, jh) auxquels correspondent les températures T(ih, jh) que l'on mémorise dans un tableau T_((i, j)).
L'objectif est de déterminer les températures T_((1, 1)), T_((1, 2)) et T_((1, 3)) aux points de coordonnées (h, h), (h, 2h) et (h, 3h).
Figure 16 - Discrétisation de l'ailette
La méthode des différences finies centrées avec le pas de h est utilisée pour déterminer le champ de température dans l'échangeur et en particulier dans la base métallique en contact avec le processeur.
(∂T)/(∂x)(x, y) ≅ (T_((x + h/2, y)) − T_((x − h/2, y)))/h; (∂T)/(∂y)(x, y) ≅ (T_((x, y + h/2)) − T_((x, y − h/2)))/h
Q24. Selon une logique analogue, expliquer comment approcher (∂^2 T)/(∂x^2)(x, y) et (∂^2 T)/(∂y^2)(x, y), d'abord à partir des dérivées premières de T(x, y), puis sans aucune dérivée. Les expressions finales pourront faire intervenir T(x + h, y), T(x − h, y), T(x, y + h), T(x, y − h) et T(x, y).
Q25. En déduire les coefficients a, b, c, d et e de l'équation différentielle sous forme discrétisée suivante :
a ⋅ T_((i − 1, j)) + b ⋅ T_((i + 1, j)) + c ⋅ T_((i, j − 1)) + d ⋅ T_((i, j + 1)) + e ⋅ T_((i, j)) = 0
Q26. Écrire les équations pour i = 1, j = 1, pour i = 1, j = 2 et pour i = 1, j = 3.
Q27. En déduire le système d'équations à résoudre, le mettre sous forme de deux matrices A et B tel que :
A ⋅ T = B; T = [T_((1, 1)); T_((1, 2)); T_((1, 3))]
avec A une matrice 3 × 3 et B un vecteur de 3 composantes.
La discrétisation de la base métallique n'est pas suffisamment fine et ne prend pas en compte les effets à l'interface ailette/embase.
Figure 17 - Calcul sur différentes géométries
Pour permettre d'obtenir une bonne approximation du champ de température T sur l'ensemble de la structure (Ω) et de connaître le pas de discrétisation optimal, il est nécessaire de calculer l'énergie interne pour différentes discrétisations. L'énergie interne s'exprime par :
E_i = 1/2∬_Ω λ∇T ⋅ ∇TdΩ
Il est possible de montrer qu'en prenant une discrétisation très fine (non demandé), l'énergie interne va tendre vers une valeur exacte ( E_i ) correspondant à une valeur calculée numériquement pour une discrétisation suffisamment fine.
On note E_i^n l'énergie interne approchée calculée numériquement en fonction du nombre d'inconnues de discrétisation n. On peut ensuite tracer l'erreur sur l'énergie interne (E_i^n − E_i)/E_i^n en fonction de n en échelle log (figure 18). Pour ne pas effectuer ensuite des calculs trop importants, on choisit une valeur de discrétisation n correspondant à une erreur de 5%.
Figure 18 - Erreur sur l'énergie interne (E_i^n − E_i)/E_i^n en fonction du nombre de nœuds n
Q28. Déterminer la valeur de n correspondant à l'énergie interne permettant d'assurer que la discrétisation du domaine Ω soit suffisamment fine pour avoir une bonne approximation du champ de température T(x, y) sur l'ensemble de la structure.
Après discrétisation sur un modèle plus complexe (figure 17), le système à résoudre est toujours du type A ⋅ T = B mais la dimension de la matrice A devient très élevée. La matrice obtenue est une matrice tridiagonale, pentadiagonale par morceau. Plusieurs résolutions sont effectuées autour de quelques températures critiques tel que la résolution devienne :
A ⋅ (T + δT) = (B + δB).
L'objectif de cette résolution est de regarder l'influence de cette incertitude δB sur la température finale obtenue.
Il est possible de montrer que la variation du premier membre sur le résultat est majorée par la variation du second membre sur les données multipliées par ‖A‖ ⋅ ‖A^(− 1)‖, c'est-à-dire:
(‖δT‖)/(‖T‖) = (‖A‖ ⋅ ‖A^(− 1)‖)(‖δB‖)/(‖B‖).
Le nombre ‖A‖ ⋅ ‖A^(− 1)‖, appelé cond(A), définit un bon conditionnement de la matrice A, c'est-à-dire une faible influence des variations de B sur le résultat de T.
Q29. Parmi les valeurs { − 10000, − 1000, − 1, 1, 1000, 10000} pour cond (A), donner la valeur de cond(A) qui entraînera un bon conditionnement de notre matrice.
La norme de A est définie par :
‖A‖_∞ = max_(1 ≤ i ≤ m)∑_(j = 1)^n|A_(ij)|.
Une partie représentative de la matrice obtenue est représentée ci-dessous :
A = [1, 2, 6, 8; 2, 5, 15, 23; 6, 15, 46, 73; 8, 23, 73, 130]
et la matrice inverse :
A^(− 1) = [41, 28, − 24, 6; 28, 35, − 23, 5; − 24, − 23, 17, 4; 6, 5, − 4, 1].
Q30. Calculer ‖A‖_∞ et ‖A^(− 1)‖_∞.
Q31. Calculer cond(A). Est ce bien conditionné ?

Partie III - Modélisation de la pompe centrifuge

Les parties précédentes ont permis de modéliser la dissipation thermique au niveau du processeur et des ailettes. Nous allons maintenant modéliser la dissipation de chaleur au niveau du fluide. La pompe centrifuge (figure 19) est le type de pompe le plus utilisé pour le refroidissement liquide en raison de sa large gamme d'utilisation, sa robustesse et son faible coût de production. La pompe utilisée ici est une pompe Dangerden CSP-MAG.
Figure 19 - Pompe centrifuge utilisée pour le refroidissement liquide
Figure 20 - Écoulement dans une pompe centrifuge
Caractéristiques de la pompe (figures 21 et 22) :
  • tension de fonctionnement : U = 12 V,
  • à l'entrée β_1 = 25^∘,
  • à la sortie β_2 = 62^∘,
  • couple maximum qui s'exerce sur la roue en entrée de la pompe : C = 3 ⋅ 10^(− 2) N ⋅ m,
  • vitesse maximum de la roue : N = 2500tr ⋅ min^(− 1),
  • rayon en entrée des aubages : R_1 = 4, 5 mm,
  • rayon en sortie des aubages : R_2 = 17, 5 mm,
  • épaisseur des aubes en entrée et en sortie e_1 = 9 mm, e_2 = 5 mm,
  • masse volumique de l'eau utilisée dans le circuit de refroidissement : ρ_(eau) ≈ 1 g ⋅ cm^(− 3).
Figure 21 - Paramétrage des aubages de la pompe centrifuge
Figure 22 - Triangle des vitesses d'une roue de pompe centrifuge
Cette machine hydraulique communique de l'énergie mécanique au fluide par la mise en rotation. Tout d'abord, une canalisation d'aspiration amène le fluide selon l'axe de la roue à l'entrée. Le liquide acquiert ensuite une énergie cinétique en embrassant les aubages de la roue qui tournent à grande vitesse. Finalement, par la force centrifuge, le liquide est propulsé radialement vers l'extérieur de la roue. Cette énergie cinétique est transformée en énergie de pression au niveau du collecteur, la forme en spirale de celui-ci a pour rôle de transformer le mouvement de rotation en un mouvement de translation
(figure 20).
L'objectif de cette partie est de caractériser les performances de la pompe.
Hypothèses :
  • le fluide est incompressible et parfait,
  • le rotor tourne à une vitesse constante ω par rapport au corps de pompe,
  • le corps de pompe {0} est supposé fixe dans un référentiel galiléen,
  • l'écoulement entre deux aubages est supposé permanent et plan,
  • la répartition des pressions est supposée uniforme dans les sections d'entrées et de sortie,
  • au vu des vitesses engagées, la pesanteur devant les paramètres d'inertie est négligée.
On désigne par e_1 l'épaisseur de la veine fluide en entrée et e_2 l'épaisseur de la veine fluide en sortie. e varie linéairement entre e_1 et e_2. On définit S_1 la section en entrée des aubages, S_2 la section en sortie. À l'entrée du rotor, un point M_1 est repéré par ses coordonnées et sa vitesse :
− OM_1^(→−) = R_1 ⋅ e⃗_r + z ⋅ z⃗,
− V⃗_(M_1(fluide /0)) = V⃗_1 tel que V⃗_1 = V_(1r) ⋅ e⃗_r + V_(1θ) ⋅ e⃗_θ.
À la sortie du rotor, un point M_2 est repéré par ses coordonnées et sa vitesse :
− OM_2^(→−) = R_2 ⋅ e⃗_r + z ⋅ z⃗,
  • V⃗_(M_2(fluide /0)) = V⃗_2 tel que V⃗_2 = V_(2r) ⋅ e⃗_r + V_(2θ) ⋅ e⃗_θ.
Entre deux aubages, entre l'entrée et la sortie, un point M est repéré par ses coordonnées et sa vitesse :
− OM^(→−) = r ⋅ e⃗_r + z ⋅ z⃗,
− V⃗_(M(f luide /0)) = V⃗ tel que V⃗ = V_r ⋅ e⃗_r + V_θ ⋅ e⃗_θ.

Bilan des actions mécaniques

Dans cette partie, on considère que :
  • l'épaisseur des aubes est négligeable,
  • le fluide pénètre sur toute la périphérie et est également éjecté sur toute la périphérie,
  • l'inertie de la pompe est négligée.
On définit le torseur dynamique du système fluide compris entre l'entrée S_1 et la sortie S_2.
{𝒟_((fluide /0))}, = {R_(D, (fluide /0))^(→−) = d/(dt)∭_D ρ ⋅ V⃗ ⋅ dv; δ_(O(fluide /0))^(→−) = d/(dt)∭_D OM^(→−) ∧ ρ ⋅ V⃗ ⋅ dv}}}{{; = {d/(dt)∭_D ρ ⋅ V⃗ ⋅ dv; ∂/(∂t)∭_D OM^(→−) ∧ ρ ⋅ V⃗ ⋅ dv + ∬_(∂D)(OM^(→−) ∧ ρ ⋅ V⃗) ⋅ (V⃗ ⋅ n⃗)ds}}}{{
avec ∂D = S_1 (entrée) ∪ S_2 (sortie) ∪ S_(laterale), D le volume de fluide et n⃗ le vecteur normal à la surface considérée. L'action du moteur sur Σ = { rotor+fluide } est modélisée par :
{𝒯_((moteur → Σ))} = _o{0→; Cz⃗}.
Q32. Montrer que le moment dynamique du fluide au point O dans son mouvement par rapport au repère galiléen R_0 s'écrit :
δ_(O(fluide/0))^(→−) = 2π ⋅ ρ ⋅ (R_2^2 ⋅ V_(2r) ⋅ V_(2θ) ⋅ e_2 − R_1^2 ⋅ V_(1r) ⋅ V_(1θ) ⋅ e_1)
Q33. Calculer le débit massique du fluide au niveau de l'entrée.
Q34. Calculer le débit massique du fluide au niveau de la sortie.
Q35. En déduire une relation entre le débit massique Q_m et le couple moteur.

Triangle des vitesses sur une pompe centrifuge

Pour l'étude des turbomachines (figure 22), il est intéressant de faire apparaître pour chaque particule de fluide la vitesse V⃗ = W⃗ + U⃗ où V⃗ est la vitesse absolue de cette particule par rapport au repère galiléen, W⃗ la vitesse relative par rapport au rotor et U⃗ la vitesse d'entraînement.
On pose :
V_r e→_r = W_r e→_r + U_r e→_r; V_θ e→_θ = W_θ e→_θ + U_θ e→_θ
La vitesse d'une particule s'écrit alors :
V⃗, = W⃗ + U⃗; = V_r e⃗_r + V_θ e⃗_θ = W_r e⃗_r + U_r e⃗_r + W_θ e⃗_θ + U_θ e⃗_θ; = W_r e⃗_r + W_θ e⃗_θ + U_θ e⃗_θ
Q36. Montrer que W_θ, W_r et U_θ s'écrivent :
W_θ = − W ⋅ cosβ; W_r = V_r = W ⋅ sinβ; U_θ = U
Q37. Montrer que V_θ = U − (V_r)/(tanβ).
Q38. Définir la relation entre le débit volumique Q_ν et la vitesse V_r puis la vitesse U en fonction de ω.
Q39. Déterminer V_(1θ) et V_(2θ) en fonction de Q_v, R_1, R_2, ω, β_1 et β_2, en déduire la relation entre C et Q_m. Après résolution, nous obtenons un débit de Q_v = 0, 0005 m^3 ⋅ s^(− 1).
Q40. Est-ce compatible avec le débit maximum de 500 L/h donné par le constructeur de la pompe ? Justifier cette modélisation.

Différence de pression entre l'entrée et la sortie

À partir de l'équation d'Euler, il est possible de montrer que pour un fluide parfait incompressible, le théorème de Bernoulli permet d'écrire :
(W^2 − U^2)/2 + P/ρ = cste .
Q41. En déduire la différence de pression entre l'entrée et la sortie de la pompe ΔP.
La pression obtenue vaut 4, 1 ⋅ 10^5 Pa, le constructeur annonce pour sa pompe 2 ⋅ 10^5 Pa.
Q42. Comment justifier cet écart?
Figure 23 - Puissance hydraulique en sortie de pompe
Q43. D'après la figure 23, quelle est la puissance maximale développée par la pompe ?
Q44. Calculer la puissance mécanique transmise à la pompe puis en déduire le rendement maximal de la pompe.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de modélisation et ingénierie numérique PSI CCINP 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de modélisation et ingénierie numérique PSI CCINP 2020 ?

Le sujet, sur un circuit de refroidissement à eau pour microprocesseur, couvre l'électronique numérique (transistors, portes CMOS), les transferts thermiques, la mécanique des fluides et l'analyse numérique matricielle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à ce sujet de modélisation PSI CCINP 2020 ?

Le jury relève une confusion entre énergie et puissance, une méconnaissance du fait qu'un circuit sans résistance peut consommer de la puissance, des notions de modélisation mal comprises, et une définition intégrale du débit peu maîtrisée.

Ce sujet de modélisation et ingénierie numérique PSI 2020 est-il difficile ?

Le niveau est hétérogène selon le rapport : la plupart des questions ont été abordées et plusieurs bien traitées, mais certaines, notamment sur la pompe centrifuge et la partie informatique, sont restées peu ou mal réussies.

Le sujet de modélisation PSI CCINP 2020 nécessite-t-il des connaissances en informatique ?

Oui, la partie II comporte une résolution du champ de température par la méthode des différences finies, avec discrétisation, mise sous forme matricielle et étude du conditionnement de la matrice obtenue.

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