CCINP Modélisation PSI 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation et ingénierie numérique PSI 2016 ?

Le sujet porte sur la modélisation mécanique d'un amortisseur magnétorhéologique, l'électromagnétisme du circuit de la bobine et l'asservissement de la suspension, en mêlant sciences physiques et sciences de l'ingénieur.

Q: Quelles questions ont eu le taux de réussite le plus faible ?

Les questions 9, 13, 15, 32 et 36 ont eu des taux de réussite très faibles, autour de 5 à 20 %, selon le rapport.

Q: Ce sujet mélange-t-il sciences physiques et sciences de l'ingénieur ?

Oui, le rapport indique que les candidats ont abordé les questions des deux matières sans être perturbés par le changement de discipline d'une question à l'autre.

Q: Ce sujet PSI 2016 est-il faisable en première année ?

Le rapport ne précise pas explicitement le niveau de programme requis par partie ; il indique seulement que le sujet couvre à la fois les sciences physiques et les sciences de l'ingénieur du programme de PSI.

1,0(1 vote)

Principe fondamental de la dynamique
Équations différentielles et résolution
Théorème d'Ampère et symétries
Régime sinusoïdal, ARQS
Asservissement et stabilité

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BanqueCCINP Année2016 FilièrePSI MatièrePhysique Modelisation

Annales CCINP PSI Physique Modelisation CCINP PSI 2016 PSI Physique Modelisation Physique Modelisation 2016

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Présentation du sujet

Difficile

Suspension automobile à fluide magnétorhéologique : modélisation et asservissement

Le sujet étudie la caractérisation d'un nouveau type de suspension utilisant un fluide magnétorhéologique. Il aborde la modélisation de l'amortisseur sur un véhicule, l'écoulement du fluide, l'influence de son caractère ferromagnétique et le circuit magnétique et électrique de l'amortisseur, puis une expérimentation sur le quart d'un véhicule réel avec identification et choix d'un correcteur pour la stabilité de la suspension.

1Partie 1 : modélisation de l'amortisseur sur un véhiculeMise en situation et modélisation mécanique de la suspension sur le véhicule.
2Partie 2 : écoulement du fluide et circuits de l'amortisseurModélisation de l'écoulement du fluide magnétorhéologique, de son caractère ferromagnétique, puis du circuit magnétique et du circuit électrique de l'amortisseur.
3Partie 3 : expérimentation sur le quart de véhicule réelIdentification de l'amortisseur pour des sollicitations sinusoïdales et caractérisation du correcteur pour valider le critère de stabilité.

Difficile. Le rapport donne des taux de réussite souvent faibles sur les questions non guidées, plusieurs questions tombant à 5 % ou 10 % de réussite, notamment Q9, Q13, Q15, Q32 et Q36.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Raisonnement faux menant au résultat fourni · Application numérique mal maîtrisée · Définition de l'ARQS méconnue

Les candidats ont dans l'ensemble abordé les questions relevant des deux matières sans être perturbés par le changement de discipline, mais de nombreuses questions proches du cours ont été mal traitées malgré une présentation des copies jugée tout à fait acceptable.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Raisonnement faux menant au résultat fourniQ9
Certains candidats bâtissent un raisonnement faux pour retomber sur le résultat donné par l'énoncé, ce que le jury sanctionne.
« Un raisonnement faux aboutissant au résultat fourni pa r l'énoncé n'est pas une démarche très appréciée par les correcteurs »
2
Application numérique mal maîtriséeQ15
La question 15, très peu réussie, montre des erreurs fréquentes dans l'application numérique demandée.
« Beaucoup d'erreurs sur l'application numérique »
3
Définition de l'ARQS méconnueQ20
La définition de l'approximation des régimes quasi-stationnaires n'est connue que d'un très petit nombre de candidats.
« La définition de l'ARQS n'est connue que d'un très petit nombre de candidats »
4
Argumentation insuffisanteQ30
La question 30, peu réussie, nécessitait une argumentation construite que peu de candidats ont fournie.
« Une argumentation construite est impérative »
5
Tableau des exigences non utiliséQ18, Q36
Une grande partie des candidats n'a pas le réflexe d'utiliser le tableau des exigences fourni dans l'énoncé.
« Une grande partie des candidats n'a pa s le réflexe d'utiliser le tableau des exigences »

Ce qui a été bien réussi

Les questions 1, 3 et 4, abordées par la quasi-totalité des candidats, ont été correctement traitées.
La question 19, de cours, a été réussie à 90 %.

Conseils du jury

Justifier explicitement les conditions aux limites utilisées.
Utiliser le tableau des exigences fourni dans l'énoncé plutôt que de l'ignorer.
Employer systématiquement les notations imposées par l'énoncé.
Préciser explicitement l'analyse des symétries et des invariances plutôt que de l'omettre.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE

Jeudi 5 mai: 8 h-12 h

Abstract

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet comporte 19 pages de texte de présentation et énoncé du sujet.
Le sujet est composé d'une mise en situation et de

3

parties, indépendantes.
Toute documentation autre que celle fournie est interdite.

REMARQUES PRÉLIMINAIRES

Il est conseillé d'utiliser des feuilles de papier brouillon afin de mettre au point les développements mathématiques, schémas, graphes et courbes, avant de les recopier au propre sur la copie.

Il est demandé au candidat de bien vouloir inscrire les résultats et les développements nécessaires aux différentes questions sur sa copie, en précisant bien le numéro de la question traitée et, si possible, dans l'ordre des questions. Les résultats attendus seront obligatoirement encadrés.

Même s'il est conseillé de traiter les parties dans l'ordre du sujet pour comprendre la logique d'enchaînement des questions, le candidat pourra, s'il le souhaite, tirer profit de l'indépendance des parties. Chaque partie possède ses propres notations.

Suspension magnétorhéologique

I Mise en situation

Figure 1 - Mise en œuvre de la suspension sur un véhicule

La suspension sur un véhicule est le terme donné au système composé des ressorts, des amortisseurs et des liaisons mécaniques qui connectent le châssis du véhicule aux roues.
Dans une suspension, l'amortisseur joue un rôle central en répondant à un double objectif : il contraint l'élasticité du ressort de suspension et limite ainsi les mouvements oscillatoires du véhicule ; il freine le rebond des roues sur les obstacles et maintient celles-ci en contact avec le sol.
La modification continue de l'état de la route et des exigences sur la tenue en virage oblige à modifier les caractéristiques de réponses des suspensions. C'est le cas de cette suspension qui est capable de faire varier la raideur de l'asservissement roue par roue. Pour contenir les mouvements de caisse et préserver le confort sur chaussée dégradée, la vitesse de déplacement de la suspension devra être très précise.
Ce sujet concerne donc la caractérisation d'un nouveau type de suspension utilisant un fluide magnétorhéologique et son asservissement.
Les exigences désirées par les constructeurs l'utilisant (Audi, Ferrari,...) sont fournies et représentées dans le tableau 1.

Exigences

Critères

Valeur

1.1 La suspension doit être rapide

pour s'adapter à la route

Temps de réponse à un

échelon

(Tr_(5%))

< 35 ms

1.2 Le système doit résister au poids

de la voiture

Charge maximale sur

l'amortisseur

< 800 kg

1.3 L'asservissement du système

doit être stable

Marge de phase

> 45^\circ

Tableau 1

La suspension magnétorhéologique (MR), ou MagneRide (dénomination commerciale), fait appel à des amortisseurs à orifices fixes et fluide magnétorhéologique. En cas de besoin de raidissement, les bobines électriques à la périphérie de l'orifice sont alimentées en courant, ce qui provoque l'attraction des particules souples magnétisées en suspension dans le fluide et augmente la résistance à l'écoulement.

Pour caractériser les paramètres de cette suspension, une suspension MR de taille réduite sera montée sur un banc d'essai et sollicitée.
Tout d'abord, il faut identifier les paramètres importants de ce type d'amortisseur. Une modélisation de cet amortisseur sur un véhicule est réalisée dans la première partie. La deuxième partie porte sur l'étude d'une suspension réduite utilisée pour l'expérimentation. Cette partie étudie une modélisation de l'écoulement du fluide dans l'amortisseur, puis une modélisation de l'influence du caractère ferromagnétique du fluide et enfin une modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de l'amortisseur. Dans la dernière partie, une expérimentation sur le quart d'un véhicule réel est réalisée. Ce système est soumis à des sollicitations sinusoïdales. Cette partie comporte une identification de l'amortisseur pour des sollicitations sinusoïdales puis la caractérisation du correcteur afin de valider le critère de stabilité de la suspension.

II Caractérisation et modélisation de l'amortisseur

L'étude effectuée dans cette partie repose sur un modèle de quart de véhicule simplifié qui sera expérimenté dans la suite. Ce modèle permet de saisir le comportement vertical de l'ensemble caisse-rouepneu. Il est constitué d'une masse suspendue (caisse) qui repose, par l'intermédiaire de la suspension, sur la masse non suspendue (roue) qui repose elle-même sur le sol par l'intermédiaire du pneumatique. La masse suspendue représente le quart de la masse de la caisse du véhicule. La suspension proprement dite est représentée par un ressort monté en parallèle avec un amortisseur.

Objectif

L'objectif de cette partie est de modéliser le banc d'essai. La modélisation retenue est représentée par la figure 2.

Figure 2 - Schéma cinématique du modèle quart de véhicule

Hypothèses

Aucun frottement sec n'est considéré.
Seul le mouvement vertical de la voiture (caisse-essieu-roue) est pris en compte.
Le rayon de la roue est négligé.
Le contact roue/sol est permanent.
La masse de l'essieu est négligée.
La masse de la roue est négligée.
On considère que la vitesse et l'accélération de la roue sont négligeables devant celle de la caisse $z˙_r(t) = 0$ et $z¨_r(t) = 0$ .

La masse

m

est associée à la portion de poids du quart de véhicule reposant sur la roue comme cela est expliqué dans l'introduction.
Soit

R(O, x⃗, y⃗, z⃗)

le repère galiléen prenant la route comme solide de référence. Soit

G

le centre de gravité de la caisse, tel que :

O_1 G^(\to-) = ay⃗ + (z_m(t) - z_r(t))z⃗

On note :

$m$ la masse du quart de la caisse en kg .
$k$ la constante de raideur du ressort en N.m $^(- 1)$ .
$c$ le coefficient de frottement fluide dans l'amortisseur en $N.(m.s^(- 1))^(- 1)$ .

Données

Action mécanique due à l'amortisseur sur la caisse en négligeant $z˙_r(t)$ :

{𝒯_(Amortisseur → caisse)} = {F⃗_a = − c(z˙_m(t))z⃗; 0→}}}{{.

Action mécanique due au ressort sur la caisse :

{𝒯_(Ressort → caisse)} = _A{F⃗_r = − k(z_m(t) − z_r(t))z⃗; 0→}}}{{.

On notera une action mécanique de la forme :

{𝒯_(i → j)} = _P{X_(ij), L_(ij); Y_(ij), M_(ij); Z_(ij), N_(ij)}}}{{_R

où

$X_(ij), Y_(ij), Z_(ij)$ sont les composantes de la résultante du torseur $𝒯_(i \to j)$ dans le repère $R(O, x⃗, y⃗, z⃗)$ .
$L_(ij), M_(ij), N_(ij)$ sont les composantes du moment du torseur $𝒯_(i \to j)$ au point de réduction P dans le repère $R(O, x⃗, y⃗, z⃗)$ .

Q1. Donner la forme du torseur d'action mécanique transmissible des liaisons en

A, B

C

. Exprimer le torseur de l'action mécanique de la pesanteur sur la caisse

{𝒯_(pesanteur → caisse)}

Q2. Appliquer le Principe Fondamental de la dynamique à la caisse en résultante suivant

z⃗

. Écrire l'équation différentielle en fonction de

z_m(t)

z_r(t)

et de leurs dérivées temporelles éventuelles.

On pose :

z_(m0)(t) - (mg)/k = z_m(t)

.
Q3. Réécrire l'équation différentielle précédente en effectuant le changement de variable défini ci-dessus.

Q4. Effectuer le passage de l'équation différentielle dans le domaine de Laplace en considérant des conditions initiales nulles. On notera

Z_(m0)(p) = ℒ[z_(m0)(t)]

Z_r(p) = ℒ[z_r(t)]

. La mettre sous la forme donnée ci-dessous en exprimant les constantes

K, ξ_0

ω_0

H(p) = (Z_(m0)(p))/(Z_r(p)) = K/(1 + (2ξ_0)/(ω_0)p + 1/(ω_0^2)p^2).

Afin de comparer les performances entre l'amortisseur magnétorhéologique et un amortisseur classique, on fait varier la fréquence d'excitation au moyen d'un moteur pour les deux amortisseurs. On fait varier cette fréquence d'excitation du moteur entre 0 et 20 Hz . Sur la figure

3

est tracé le gain de la fonction de transfert

H(jω) = (Z_(m0)(jω))/(Z_r(jω))

de la suspension caractérisant le rapport d'amplitude entre la caisse et la roue en fonction de la pulsation

ω

, pour les deux systèmes, pour différentes valeurs du taux d'amortissement.
On définit

ξ_0 = ξ_(sky)

pour un amortissement magnétorhéologique et

ξ_0 = ξ

pour l'amortisseur classique.

Figure 3 - Courbe de gain du diagramme de Bode

Q5. Commenter l'amortissement des vibrations en fonction de la fréquence pour

ξ_0 = 0, 5

ξ_0 = 1, 5

dans le cas de la suspension MR et dans le cas d'une suspension classique.

III Description de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique

Objectif

Modéliser l'écoulement du fluide dans l'amortisseur et montrer que l'amortisseur exerce sur la roue une force d'amortissement de la forme

F⃗ = - αV⃗

où

V⃗

est la vitesse de la roue perpendiculairement à la route.

L'amortisseur est constitué d'un fluide enfermé dans un cylindre de révolution d'axe (

Oz⃗

). À l'intérieur de ce cylindre se trouve un piston, de même diamètre que le cylindre, percé d'une valve. On suppose que le piston coulisse sans frottements à l'intérieur du cylindre.
Le fluide enfermé dans le cylindre est ici une huile, que l'on supposera newtonienne (en absence de champ magnétique) et incompressible. Lorsque le véhicule roule sur une anfractuosité de la route, le piston se déplace dans le cylindre et le fluide passe d'un coté à l'autre du piston en s'écoulant par la valve.
Le corps du piston est constitué d'un matériau ferromagnétique doux (acier) et d'une bobine parcourue par un courant électrique d'intensité

i

. Le tout forme un circuit magnétique dont la valve est l'entrefer.

Données et notations utilisées

Les données ci-dessous sont celles de l'amortisseur de taille réduite utilisé pour réaliser les expériences:

coefficient de viscosité dynamique de l'huile MR: $η = 1, 0$ Pa.s ;
masse volumique de l'huile $MR : ρ = 3, 0 kg.L^(- 1)$ ;
perméabilité magnétique relative de l'acier: $μ_1 ≃ 5000$ ;
perméabilité magnétique relative de l'huile $MR : μ_2 ≃ 2, 5$ ;
rayon du piston ( $S_p$ sa surface) : $r_p = 10 mm$ ;
rayon interne de la valve : $r_1 = 7, 0 mm$ ;
rayon externe de la valve: $r_2 = 8, 0 mm$ ;
rayon moyen de la valve: $r_m$ ;
circonférence moyenne de la valve: $w = 2πr_m$ ;
épaisseur de la valve: $e = 1, 0 mm$ ;
longueur du piston: $L = 20 mm$ ;
vitesse caractéristique de déplacement du piston : $0 < V_0 < 100 mm.s^(- 1)$ ;
intensité du courant électrique circulant dans la bobine: $i$ ;
nombre de spires (jointives) de la bobine: $N$ ;
rayon interne de la bobine: $r_0 = 3, 0 mm$ ;
hauteur de l'entrefer : $h = 1, 0 mm$ ;
développements limités en 0 :
$- (1 + x)^α = _(x \to 0)1 + αx + (α(α - 1))/2x^2 + \circ (x^2);$
$- ln(1 + x) = _(x \to 0)x - (x^2)/2 + \circ (x^2);$
lors des applications numériques, on utilisera les données suivantes:
$- 16π \approx 50$ ;
$- π/(16) \approx 0, 1963$ .

Figure 4 - Amortisseur à fluide magnétorhéologique

Sur les figure 5.(b) et figure 5.(c) et dans toutes les suivantes, le fluide circule dans la partie annulaire en gris foncé.

III. 1 Modélisation de l'écoulement du fluide dans la valve

On suppose que le piston est animé d'un mouvement de translation verticale de vitesse

V⃗ = - V_0 u⃗_z

dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Q6. Expliquer pourquoi le caractère incompressible du fluide implique un écoulement de celui-ci à travers la valve en sens inverse par rapport à la vitesse de déplacement du piston, puis donner l'expression du débit volumique du fluide

D_v

à travers la valve en fonction de

V_0

S_p

On fait les hypothèses suivantes.
i) L'écoulement est stationnaire.
ii) L'écoulement est étudié en absence de champ magnétique.
iii) L'influence de la gravité est négligeable.
iv) La vitesse caractéristique

U

de l'écoulement est bien supérieure à

V_0

.
v) L'épaisseur

e

de la valve est négligeable devant son rayon de courbure moyen

r_m

.
vi) Les pressions sont supposées uniformes de part et d'autre du piston.
vii) Le nombre de Reynolds de l'écoulement est très inférieur à 1 .

Ces hypothèses permettent de modéliser l'écoulement dans la valve par un écoulement de Poiseuille entre deux cylindres immobiles de rayon

r_1

r_2

, de rayon moyen

r_m

et de longueur

L

. On utilise comme référence la base cartésienne (

u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z

) représentée par la figure

5

à laquelle on associe la base cylindrique (

u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z

Figure 5 - Schématisation de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique

Le champ des vitesses est supposé de la forme

v⃗ = v_z(r)u⃗_z

en coordonnées cylindriques.
Q7. Dans ces conditions, l'écoulement est régi, en coordonnées cylindriques, par l'équation suivante:

1/r[d/(dr)(r(dv_z)/(dr))]u⃗_z = (ΔP)/(ηL)u⃗_z.

où

ΔP = P(z = L) - P(z = 0)

est la perte de charge du fluide lors de son écoulement à travers la valve. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par

v_z(r)

r = r_1

r = r_2

Q8. Résoudre l'équation (4) et montrer que le champ des vitesses s'écrit:

v_z(r) = C_1[(r^2 - r_1^2) - C_2 ln(r/(r_1))].

où

C_1

C_2

sont des constantes que l'on exprimera en fonction de

L, η, ΔP, r_1

r_2

Figure 6 - Vue en coupe transversale du piston,

w

est la circonférence moyenne de la valve

Q9. On pose :

r = r_1 + γ

, exprimer

v_z(γ)

en fonction de

L, η, ΔP, r_1

e

. Effectuer un développement limité à l'ordre 2 en

e/(r_1)

γ/(r_1)

que l'on supposera du même ordre de grandeur et montrer que:

v_z(γ) = (ΔP)/(2ηL)γ(γ - e).

Q10. En utilisant l'équation (6), montrer que le débit volumique à travers la valve est:

D_v = - (we^3)/(12ηL)ΔP.

On utilisera avec pertinence le fait que l'expression obtenue à la question précédente est identique à celle d'un écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles.

Q11. Un logiciel de calcul numérique permet de calculer le débit volumique à partir de l'équation (5) et donne

D_v = - 1, 964 \cdot 10^(- 10)ΔP

. Discuter la pertinence de l'approximation effectuée.

Q12. Exprimer la résultante

F⃗_p

des forces de pression s'exerçant sur le piston.

Q13. Évaluer littéralement l'ordre de grandeur de la norme de la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur le piston et montrer qu'elle est négligeable devant la norme de la résultante des forces de pression s'exerçant sur le piston.

Q14. En déduire que l'amortisseur exerce sur la roue une force d'amortissement de la forme

F⃗ = - αV⃗

où

V⃗

est la vitesse de la roue perpendiculairement à la route. Donner l'expression de

α

en fonction de

L, η, e, w

S_p

Q15. Calculer la valeur de

α

. La valeur typique de

α

pour une automobile est

α_v \sim 10^4 kg.s^(- 1)

. L'amortisseur présenté pourrait-il être monté sur une automobile?

III. 2 Influence du caractère ferromagnétique du fluide

Objectif
Caractériser le facteur d'amortissement $α$ de l'amortisseur.

Le fluide magnétorhéologique est une suspension colloïdale de particules ferromagnétiques (typiquement du fer) d'un diamètre compris entre

0, 1μ m

10μ m

. Les particules ferromagnétiques s'organisent sous forme d'agrégats sous l'action d'un champ magnétique et altèrent les propriétés du fluide qui semble changer de viscosité d'un point de vue macroscopique. Sous l'action d'un champ magnétique, les particules ferromagnétiques s'organisent sous forme de chaînes selon la direction du champ magnétique

B⃗

(figure 7). Le mécanisme de formation des agrégats lors de l'application d'un champ magnétique est représenté figure 8.

Figure 7 - Image au microscope électronique des particules ferromagnétiques du fluide MR sans champ magnétique (à gauche) et en présence d'un champ magnétique (à droite)

Figure 8 - Schématisation de la formation des agrégats de particules de fer lors de l'application d'un champ magnétique

Figure 9 - Évolution de la norme de la force d'amortissement

F

en fonction de celle de la vitesse du piston

V

pour différentes valeurs de l'excitation magnétique

H

dans la valve

Q18. Le temps de formation caractéristique des agrégats est de 3 ms . Ce temps de réponse est-il acceptable?

III. 3 Modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de la bobine
Objectif
Modéliser le circuit magnétique et le circuit électrique permettant de contrôler $α$ . Vérifier que le temps de réponse du système est en accord avec le cahier des charges.

Le circuit magnétique du piston est représenté figure 10. On supposera que l'acier et le fluide MR sont des milieux ferromagnétiques doux. Le vecteur excitation magnétique est noté

H⃗

et on suppose que le circuit magnétique canalise la totalité des lignes de champ magnétique. On négligera les pertes fer dans l'acier.

Q19. Rappeler les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Thomson.

Q20. Définir ce qu'est l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) et simplifier l'équation de Maxwell-Ampère dans ce cadre.

On se place maintenant et pour toute la suite dans le cadre de l'ARQS.
Q21. Retrouver le théorème d'Ampère à partir de l'équation de Maxwell-Ampère.

On considère un solénoïde infiniment long de section circulaire de rayon

δ

, comportant

n

spires jointives par unité de longueur régulièrement réparties et parcourues par un courant d'intensité

i

Q22. Établir l'expression du champ magnétique créé par ce solénoïde infini en admettant que le champ extérieur est nul.

Figure 10 - Schématisation du circuit magnétique du piston

Q23. Que pouvez-vous dire des lignes de champ magnétique dans le cas d'un solénoïde infini?

Q24. Dessiner l'allure des lignes de champ magnétique dans le cas d'un solénoïde de longueur finie. Rappeler le lien entre l'équation de Maxwell-Thomson et l'allure des lignes de champ que vous venez de tracer.

Q25. Dans le cas du solénoïde infini, exprimer le flux magnétique

φ

à travers une spire.

Q26. On note

N_t

le nombre total de spires et

l

la longueur du solénoïde. Exprimer, toujours en considérant le solénoїde comme infini, le flux propre

Φ_p

à travers les

N_t

spires. En déduire l'expression de l'inductance propre

L_p

de ce solénoïde.

On considère que le vecteur excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes au niveau de la bobine et dans l'entrefer.
On note :

H⃗_1 = H_1 u⃗_z et B_1^(\to-) = B_1 u⃗_z au niveau de la bobine;; H⃗_3 = H_3 u⃗_r et B_3^(\to-) = B_3 u⃗_r entre E et D (entrefer).

Q27. Au vu de ce qui précède, justifier cette modélisation.

Q28. Rappeler la relation entre

B⃗

H⃗

pour un milieu ferromagnétique doux.

Figure 11 - Vue en coupe transversale du piston

Q29. Donner la relation liant

B_3, B_1

, la section

S_1 = πr_0^2

de la partie interne du piston, le rayon moyen

r_m

de l'entrefer et la hauteur

h

de l'entrefer. Une vue en coupe transversale du piston est représentée figure 11.

Q30. Évaluer la norme du champ magnétique le long du contour

C

, représenté sur la figure 10. En déduire que la circulation de

H⃗

sur le contour

C

, vérifie:

\oint _C H⃗ \cdot dl\to ≃ 2eH_3.

Q31. Appliquer le théorème d'Ampère au contour

C

. En déduire qu'une modification de l'intensité du courant circulant dans la bobine permet de modifier le facteur d'amortissement

α

de l'amortisseur.

Q32. Montrer que l'inductance propre

L^'

de la bobine vérifie, en présence du fluide,

L^' = μ_2 L_0

où

L_0

est l'inductance propre de la bobine en absence de fluide (

μ_2 = 1

Q33. Proposer une modélisation pour la bobine réelle en justifiant l'origine physique des composants idéaux qui la composent, à savoir une inductance

L^'

et une résistance

R_b

. Faire un schéma électrique équivalent de la bobine réelle.

Q34. On soumet la bobine à un échelon de tension:

U_e(t) = E

pour

t > 0

. Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité

i(t)

du courant électrique circulant dans la bobine. Donner l'expression du temps caractéristique d'évolution de l'intensité du courant circulant dans la bobine.

Q35. Sachant que

R_b = 1, 7Ω

, vérifier la cohérence des résultats expérimentaux (figure 12) avec l'expression de

L^'

trouvée question Q32.

Q36. Conclure sur la possibilité d'adapter en "temps réel" le facteur d'amortissement d'un amortisseur à fluide magnétorhéologique.

Figure 12 - Réponse à un échelon de tension de la bobine en présence ou non du fluide MR dans le piston

IV Caractérisation expérimentale de la suspension MR

Nous voulons maintenant lier la modélisation dynamique de la suspension avec la modélisation physique de l'amortisseur. Dans la réalité, la suspension est soumise à des perturbations et excitations provenant de la route qui représentent les irrégularités de la chaussée. Ces perturbations se décomposent comme une somme de sinusoïdes de différentes fréquences. Pour ces raisons, l'excitateur de la partie II est placé au niveau de la roue pour simuler une route cabossée.
La suspension est uniquement pilotée par le courant dans la bobine.

Objectif
L'objectif de cette partie est de caractériser l'influence du courant sur la réponse de la suspension.

Afin de mettre en évidence l'influence de l'effet magnétorhéologique, nous comparons l'amplitude du mouvement de la masse suspendue par rapport à celle du mouvement excitateur (figure 13, page 15).

Le profil du mouvement produit par l'excitateur est une sinusoïde d'amplitude 10 mm :

z_r(t) = 10 \cdot sin(ω \cdot t).

Pour chaque valeur de l'intensité du courant dans l'amortisseur, on fait varier la fréquence d'excitation et on reporte dans un tableau les amplitudes

z_m

z_r

maximales.

Figure 13 - Suspension soumise à un profil sinusoïdal. Courbes de

z_m

z_r

obtenues sur le banc d'essai

IV. 1 Identification des paramètres pilotant la suspension

Objectif

Déterminer la fonction de transfert

H(p) = (Z_m(p))/(Z_r(p))

pour chaque valeur du courant et valider le choix d'un capteur de déplacement.

Sur la base de l'étude réalisée dans les parties précédentes, le choix des paramètres de la suspension MR à échelle réduite doit être mené. Ces paramètres sont la constante de raideur

k

du ressort, la masse suspendue

m

et l'intensité

i

du courant qui permet de commander l'effet de la bobine.
Pour visualiser correctement l'ensemble des réponses émises pour différents courants, un plan d'expériences est réalisé.
Pour chaque courant commandé dans la suspension, un diagramme de gain dans le plan de Bode permet de visualiser le rapport

[H(jω)]_(db) = 20log(|(Z_m(jω))/(Z_r(jω))|)

pour différentes sollicitations fréquentielles. Une courbe obtenue pour une valeur de l'intensité

i = 0

est reportée sur la figure 14, page 16. Cette courbe a été réalisée à l'aide d'une caméra ccd et d'un opérateur qui relève les valeurs d'amplitudes maximales grâce à cette caméra.

Q37. À partir de la courbe de la figure 14, identifier la forme de la fonction de transfert, en déduire le gain K et la pulsation propre

ω_0

On relève sur la courbe les valeurs de la pulsation de résonance

ω_r

et de la pulsation propre.
On donne le rapport

((ω_r)/(ω_0))^2 = 0, 8725

\sqrt(0, 06325) \approx 0, 25

Q38. Calculer le facteur d'amortissement de la fonction de transfert. À partir de l'abaque figure 15, en déduire le temps de réponse de la suspension.

Figure

14 - [H(jω)]_(db) = 20log(|(Z_m(jω))/(Z_r(jω))|)

pour une intensité de commande de

i = 0

Figure 15 - Temps de réponse réduit en fonction du coefficient d'amortissement

z

Pour simplifier la mesure et permettre la réalisation optimale du plan d'expérience, le choix d'un capteur de déplacement est décidé.

IV. 2 Caractérisation du capteur de déplacement

On se restreint à deux types de capteur de déplacement:

un capteur de type capacitif dont le principe repose sur la mesure d'une capacité dont la valeur dépend de la position de l'objet cible ;
un capteur optique fonctionnant sur le principe de la triangulation laser: un faisceau lumineux est envoyé sur l'objet cible qui se comporte comme une source secondaire dont on détermine la position (figure 16).

Figure 16 - Principe de mesure par triangulation laser

Les caractéristiques des deux capteurs retenus sont données tableau 2 et la réponse à un échelon de la chaîne d'acquisition associée à chaque capteur figure 17, page 18. La résolution et la linéarité sont données en pourcentage de la plage de mesure (d.p.m).

Plage de mesure	Résolution	Linéarité
5 mm	$0, 01% d.p.m$ .	$0, 05% d.p.m$ .

Plage de mesure	Résolution	Linéarité
600 mm	$0, 01% d.p.m$ .	$0, 18% d.p.m$ .

Tableau 2 - Caractéristiques du capteur capacitif (à gauche) et du capteur optique (à droite)

Q39. Déterminer le temps réponse caractéristique des chaînes d'acquisitions associées à chaque capteur, systèmes que l'on supposera du premier ordre.

Q40. Quel capteur est-il possible d'utiliser? Justifier.
On désire maintenant vérifier si le capteur de déplacement convient pour l'étude de la suspension.
Q41. Peut-on, avec une bonne approximation, considérer que le capteur de déplacement est un système "instantané"? Justifier.

Q42. Simplifier alors la fonction de transfert du capteur. En déduire le nom de cette fonction.

Figure 17 - Réponse à un échelon (en unité SI)

IV. 3 Pilotage de la suspension et choix du correcteur

Objectif

L'objectif de cette partie est de déterminer les paramètres de commande du système asservi pour obtenir un déplacement nul de la suspension.

Pour la suspension magnétorhéologique à piloter, le système à contrôler possède un degré de liberté lié à la variable de réglage qui est le courant

i

dans la bobine de l'amortisseur. L'objectif est de maîtriser la position de la masse (donc de sa vitesse

v_m

, en terme énergétique). Un confort idéal serait d'avoir une position fixe de la caisse quelles que soient les perturbations, c'est-à-dire une vitesse de référence nulle

v_(m ref) = 0

, avec

v_m(t) = z˙_m(t)

la vitesse du quart de caisse.
Tous les paramètres et entrées de la suspension sont connus à l'exception du correcteur

C(p)

. On se propose de vérifier l'exigence fournie dans le tableau 3 par les constructeurs automobiles pour la suspension.

Exigences

Critères

Valeur

1.3 L'asservissement du système

doit être stable

Marge de phase

> 45^\circ

Tableau 3

Pour cela, le schéma-bloc en boucle fermée du système est représenté sur la figure 18.

Figure 18 - Modélisation en boucle fermée de la suspension MR

avec:

$V_m$ la vitesse de la masse du véhicule;
$V_(m ref)$ la vitesse désirée.

De gauche à droite, le premier bloc

C(p)

représente le correcteur. La sortie correspond à la force totale de référence

F_(tot)

en N. Le deuxième bloc est l'amortisseur, dont on tient compte du temps de réponse électrique

τ_e

. La sortie obtenue est la force d'amortissement

F_a

en N et le dernier bloc représente la caisse sur laquelle on applique la deuxième loi de Newton.
Nous désirons valider le critère de stabilité du système.

Q43. Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte

FTBO(p)

du système pour

C(p) = 1

. Ce système est-il précis pour une entrée temporelle

V_(m ref)

en échelon?

Une analyse harmonique de la fonction de transfert en boucle ouverte pour

C(p) = 1

dans le plan de Bode a donné le diagramme asymptotique en gain et en phase sur la figure 19.

Figure 19 - Diagramme asymptotique en gain et en phase dans le plan de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte

Q44. Déterminer la marge de phase

Mφ

On décide de choisir pour le correcteur

C(p)

un correcteur de type proportionnel. On note

K_p

le gain du correcteur.

Q45. Déterminer la valeur de

K_p

permettant de valider exactement l'exigence 1.3 du cahier des charges.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation et ingénierie numérique PSI 2016 ?

Le sujet porte sur la modélisation mécanique d'un amortisseur magnétorhéologique, l'électromagnétisme du circuit de la bobine et l'asservissement de la suspension, en mêlant sciences physiques et sciences de l'ingénieur.

Quelles questions ont eu le taux de réussite le plus faible ?

Les questions 9, 13, 15, 32 et 36 ont eu des taux de réussite très faibles, autour de 5 à 20 %, selon le rapport.

Ce sujet mélange-t-il sciences physiques et sciences de l'ingénieur ?

Oui, le rapport indique que les candidats ont abordé les questions des deux matières sans être perturbés par le changement de discipline d'une question à l'autre.

Ce sujet PSI 2016 est-il faisable en première année ?

Le rapport ne précise pas explicitement le niveau de programme requis par partie ; il indique seulement que le sujet couvre à la fois les sciences physiques et les sciences de l'ingénieur du programme de PSI.

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MODELISATION ET INGENIERIE NUMERIQUE

Abstract

Les calculatrices sont interdites

REMARQUES PRÉLIMINAIRES

Suspension magnétorhéologique

I Mise en situation

II Caractérisation et modélisation de l'amortisseur

Objectif

Hypothèses

Données

III Description de l'amortisseur à fluide magnétorhéologique

Objectif

Données et notations utilisées

III. 1 Modélisation de l'écoulement du fluide dans la valve

III. 2 Influence du caractère ferromagnétique du fluide

Objectif Caractériser le facteur d'amortissement α de l'amortisseur.

III. 3 Modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de la bobine Objectif Modéliser le circuit magnétique et le circuit électrique permettant de contrôler α. Vérifier que le temps de réponse du système est en accord avec le cahier des charges.

IV Caractérisation expérimentale de la suspension MR

Objectif L'objectif de cette partie est de caractériser l'influence du courant sur la réponse de la suspension.

IV. 1 Identification des paramètres pilotant la suspension

Objectif

IV. 2 Caractérisation du capteur de déplacement

IV. 3 Pilotage de la suspension et choix du correcteur

Objectif

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de modélisation et ingénierie numérique PSI 2016 ?

Quelles questions ont eu le taux de réussite le plus faible ?

Ce sujet mélange-t-il sciences physiques et sciences de l'ingénieur ?

Ce sujet PSI 2016 est-il faisable en première année ?

Commentaires• CCINP Modélisation PSI 2016

Commentaires• CCINP Modélisation PSI 2016

Objectif
Caractériser le facteur d'amortissement $α$ de l'amortisseur.

III. 3 Modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de la bobine
Objectif
Modéliser le circuit magnétique et le circuit électrique permettant de contrôler $α$ . Vérifier que le temps de réponse du système est en accord avec le cahier des charges.

Objectif
L'objectif de cette partie est de caractériser l'influence du courant sur la réponse de la suspension.