X ENS Modélisation PSI 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2022

• de respecter l'ensemble des notations alphabétiques et numériques du sujet;
• de préciser ses propres notations lorsque cela s'avère nécessaire ;
• de justifier ses hypothèses et rédiger clairement ses réponses ;
• de numéroter soigneusement les pages de sa copie.

Le cœur

• La partie 1 est une présentation du système biologique étudié.
• La partie 2 traite de la modélisation biomécanique du muscle cardiaque.
• La partie 3 traite de la modélisation du système cardiovasculaire et de la circulation sanguine.
• La partie 4 traite de la modélisation du système de régulation de la fréquence cardiaque au sein du système nerveux autonome (SNA).

1 Présentation de l'étude

1.1 Histoire et épistémologie du cœur

Figure 1 - Imagerie d'un cœur humain

• les oreillettes droite et gauche (cavités supérieures);
• les ventricules droit et gauche (cavités inférieures).

1.2 Le cœur, juste une pompe?

Figure 2 - Schéma du sens de circulation dans un cœur

1.3 Régulation du système cardiovasculaire

Figure 3 - schéma de principe de la régulation sanguine

• Les barorécepteurs transmettent des trains d'impulsions électrique au système nerveux autonome. Les messages sont codés en fréquence et une dilatation des parois augmente la fréquence.
• Les récepteurs cardio-pulmonaires sont des récepteurs basse pression. Localisés dans la paroi des veines caves, des oreillettes et dans les vaisseaux pulmonaires, ils sont sensibles à l'étirement des parois.
  Le système nerveux autonome est composé de deux sous systèmes :
• Le système nerveux sympathique correspond à la mise en état d'alerte de l'organisme et à la préparation physique ou intellectuelle.
• Le système nerveux parasympathique ou vagal engendre un ralentissement général des fonctions de l'organisme afin de conserver l'énergie.
  Les voies efférentes sympathiques et vagales ont des temps d'action très différents. En effet, la voie vagale agit très rapidement avec un temps de réponse de l'ordre de la durée d'un battement cardiaque alors que la voie sympathique a un temps d'action plus lent de l'ordre de la durée d'une dizaine de battements. Le système nerveux autonome agit sur le fonctionnement du système cardiovasculaire sur plusieurs aspects, dont les fonctions physiologiques suivantes:
• L'effet chronotrope agit sur la fréquence d'activation du nœud sinusal et donc la fréquence cardiaque.
• L'effet dromotrope est lié à la vitesse de conduction des cellules du nœud AV, c'est à dire à la rapidité de conduction électrique entre les oreillettes et les ventricules.
• L'effet inotrope est lié la contractilité du myocarde (le muscle du cœur). Au niveau cellulaire, la contractilité peut se définir comme la capacité des cellules à développer une force de contraction en réponse à un stimuli.
• L'effet bathmotrope modifie le niveau d'excitabilité électrique des cellules ventriculaire.

2 La modélisation du myocarde

2.1 Physiologie du muscle

Figure 4 - Composition hiérarchique du muscle

Figure 5 - Représentation en série de N sarcomères

• l_c, longueur de l'élément contractile (EC);
• l_(c0), longueur au repos de l'élément contractile (EC);
• s, longueur d'un sarcomère;
• s_0, longueur au repos d'un sarcomère.

2.2 Modèles unidirectionnelles à l'échelle macroscopique

• la contraction isométrique: le muscle développe une force sans changer sa longueur;
• la contraction isotonique: le muscle développe une force constante au cours du temps;
• la contraction auxotonique : le muscle développe une force variable et se raccourcit, elle n'est ni isométrique, ni isotonique.
  On réalise une expérience de stimulation du muscle quasi-statique, illustrée sur la figure 6. Pour cela, on accroche au muscle une masse P(1) qui fixe sa longueur initiale (2), puis on accroche une masse A qui n'intervient pas dans la charge du muscle (3) (la butée supportant le poids de la masse A) ; on stimule le muscle électriquement pour qu'il développe une force (4). On maintient la stimulation électrique et on constate le raccourcissement lent du muscle (5).

Figure 6 - Schéma de l'expérience de contraction isotonique

Figure 7 - Modèle basé sur les ressorts de Maxwell Hill

Figure 8 - Fonction d'activation chimique

2.3 Prise en compte des effets inertiels

Figure 9 - Modèle massique de Maxwell Hill

2.4 Modèles volumique du cœur

Figure 10 - Modéle simplifié du ventricule gauche

3 La circulation sanguine

• Le système vasculaire systèmique (ou grande circulation) qui permet au sang partant du ventricule gauche de rejoindre l'oreillette droite. Il comprend les voies qui assurent la vascularisation de tous les tissus.
• Le système vasculaire pulmonaire (ou petite circulation) qui assure la liaison entre le ventricule droit et l'oreillette gauche. Il permet le ravitaillement du sang en oxygène.

Figure 12 - Réseau capillaire d'un organe de la circulation systémique

Figure 12 - Réseau capillaire d'un organe de la circulation systémique

• Les artères : ce sont les vaisseaux sanguins qui partent du cœur pour se ramifier de plus en plus. L'aorte (de grands diamètres et particulièrement élastique) part du cœur pour devenir des artérioles (de diamètres plus petites et plus rigides).
• Les capillaires : ce sont des vaisseaux très fin au niveau desquels se font tous les échanges entre le sang et les tissus vascularisés.
• Les veines et les veinules: ce sont les vaisseaux permettant au sang de retourner au cœur. Les veines ont des parois plus minces que les artères, elles sont aussi situées plus loin de l'action de pompage et la pression sanguine y est plus faible.
  Pour représenter le comportement du circuit vasculaire, nous envisageons une approche systémique. Les différents éléments sont observés comme des systèmes dynamiques régis par un ensemble d'équations différentielles ordinaires. Les vaisseaux sanguins ne sont pas en effet rigides et une augmentation de pression se traduira par une augmentation de leur section. Les veines systémiques constituent également un important réservoir de sang. Ce circuit est aussi en basse pression tandis que les artères systémiques sont en haute pression. Dans cette partie les effets de la pesanteur sont négligeables.

3.1 L'écoulement sanguin

Figure 13 - Schématisation du réseau sanguin

Figure 14 - Écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique

3.2 Prise en compte de l'élasticité des vaisseaux sanguins

Figure 15 - Représentation de la distensibilité des artères lors d'un cycle cardiaque

Figure 16 - Schéma du modéle de Windkessel

Figure 17 - Approximation en signal créneau du débit sortant du cœur

Figure 18 - Modèle de Windkessel à 4 éléments

Figure 19 - Diagramme de Bode du modéle de Windkessel à 4 éléments

4 Le système nerveux autonome (S.N.A.)

4.1 Échantillonnage numérique et principe de discrétisation

Figure 20 - Représentation schématique d'une mesure d'électrocardiogramme (ECG) sur une période T_c à gauche, et de la densité spectrale des signaux d'un ECG, à droite.

def uneFonction(V:[ float ], c: str ,u) -> (int,np.ndarray):

import numpy as np
# pas de temps d'echantillonnage
DT = 1.e-3 # s
# nombre de pas etudies (duree d'experience de 1000s)
N = 10**6
# tableaux numpy contenant les valeurs des signaux etudies ( initialisees a 0)
T = np.linspace(0,N*DT,N+1)
Pa = np.zeros(T.shape)
# pour tous les signaux necessaires
Pb = np.zeros(T.shape)
# ...

Figure 21 - Schéma de la représentation continue et discrète d'un sous-système causal utilisé dans la modélisation du SNA.

4.2 Récepteurs d'informations barométriques

Figure 22 - Fonction de transfert complexe d'un barorécepteur.

• 0 < n ≤ N est l'indice où doit être calculée la valeur attendue du signal de sortie Pb[n];
• Pa et Pb sont des tableaux numpy de taille N + 1, dont toutes les valeurs sont connues pour les indices i < n et Pa[n] est une valeur d'entrée connue;
• tau est un nombre flottant représentant la constante de temps du filtre (ici τ_b ), et K le gain (K_b).
  Dans la suite du sujet, le barorécepteur est modélisé avec un gain unitaire K_b = 1. Il existe également d'autres récepteurs barométriques, notamment pour relever la valeur de la pression veineuse (qui n'est pas filtrée car beaucoup plus stable). Cependant, dans cette étude simplifiée, qui se concentre sur la chaîne de gestion de la fréquence cardiaque isolée de l'activité musculaire, seule la pression artérielle est utilisée.

4.3 Modélisation des effecteurs

Figure 23 - Régulation de la fréquence cardiaque.

• 0 < n ≤ N est l'indice où doit être calculée la valeur attendue du signal de sortie Fx[n];
• Pb et Fx sont des tableaux numpy de taille N + 1, dont toutes les valeurs sont connues pour les indices i < n et Pb[n] est une valeur d'entrée connue;
• ax,bx,Tx,P0x sont des nombres flottants représentants respectivement les paramètres a_x, b_x, T_x, P_x^0;
  avec Fx[n] qui vérifie l'expression de Fx(Pb(t)) pour les variables discrètes associées et à l'instant discret T_n.

• 0 < n ≤ N est l'indice où doit être calculée la valeur attendue du signal de sortie Y[n];
• X et Y sont des tableaux numpy de taille N + 1, dont toutes les valeurs sont connues pour les indices i < n et X[n] est une valeur d'entrée connue;
• rt est un nombre flottant représentant une consigne de retard temporelle r_t ≥ 0; produisant en sortie Y , le signal d'entrée retardé du multiple de ΔT le plus proche de la consigne de retard r_t.

Figure 24 - Représentation continue linéaire par morceaux du signal discret ( V_n ).

• 0 < n ≤ N est l'indice où doit être calculée la valeur attendue du signal de sortie Y[n];
• X et Y sont des tableaux numpy de taille N + 1, dont toutes les valeurs sont connues pour les indices i < n et X[n] est une valeur d'entrée connue;
• rt est un nombre flottant représentant une consigne de retard temporelle r_t ≥ 0; produisant en sortie Y le signal d'entrée retardé de la consigne r_t.

Figure 25 - Schéma de principe du générateur d'impulsions.

• 0 < n ≤ N est l'indice où doit être calculée la valeur attendue du signal de sortie binaire PulseC[n];
• X et PulseC sont des tableaux numpy de taille N + 1, dont toutes les valeurs sont connues pour les indices i < n et X[n] est une valeur d'entrée connue;
• It est la valeur à l'instant précédent de l'intégrale I(T_(n − 1));
• R est la valeur de la consigne de référence R; produisant le signal impulsionnel binaire PulseC et renvoyant la valeur mise à jour de l'intégrale I(T_n).
  On précise qu'un schéma d'intégration temporel basé sur la méthode des rectangles est suffisamment précis pour cette opération.

4.4 Identification et validation du modèle

class ParametresSNA:
    \# parametre du filtre de pression arterielle
    tau_b $=0$. \# constante du temps
    K_b $=0$. \# gain barorecepteur
    \# parametres de la voie vagale ou v est subsitue a x
    $a \_v=0 . \# \$ a \_x \$$
    \# ...

class SignauxSNA:
    def __init__(self,DT,N):
        self . DT = DT \# pas de temps
        self . $\mathrm{N}=\mathrm{N} \#$ nombre de pas de temps simules
        self $. \mathrm{T} \quad=\mathrm{np}$.linspace( $0, \mathrm{~N} * \mathrm{DT}, \mathrm{N}+1$ )
        sz $\quad=$ self.T.shape
        \# pressions
        self . Pa = np.zeros(sz)
        self $. \mathrm{Pb}=\mathrm{np} . z e r o s(\mathrm{sz})$
        \# voie vagale
        self .Sfv = np.zeros(sz)
        self .Srv = np.zeros(sz)
        self .Sv = np.zeros(sz)
        \# voie sympathique
        self. Sfs = np.zeros(sz)
        self .Srs = np.zeros(sz)
        self .Ss = np.zeros(sz)
        \# entree de I'IPFM
        self .Sc = np.zeros(sz)
        \# sortie impulsionnelle
        self .PulseC = np.zeros(sz)
        \# integrateur IPFM
        self .lt $=0$.

def SNA(n:int,s:SignauxSNA,p:ParametresSNA):
    # Filtrage de la pression arterielle
    passe_bas_gain(n,s.Pa,s.Pb,p.tau_b,p.K_b,s.DT)
    # ...

Données expérimentales et paramètres du modèle issus de Lu et al « A human cardiopulmonary system model applied to the analysis of the Valsalva maneuver », Am J Physiol Heart Circ Physiol, 281: H2661-H2679, 2001.

• La phase I commence au début de l'élévation de la pression intrathoracique. La pression artérielle augmente, bien que le retour veineux vers le cœur droit soit réduit. En effet, la hausse de la pression à l'intérieur du thorax favorise le retour sanguin de la circulation pulmonaire au cœur gauche.
• Dans la phase II, la pression artérielle chute. Cela est dû à la pression thoracique qui limite le retour veineux vers les cœurs droit et gauche.
• La phase III marque la fin de l'expiration forcée et la baisse de la pression à l'intérieur du thorax. La pression artérielle reste tout d'abord basse, car le retour veineux gauche demeure limité bien que le retour veineux droit soit revenu à des valeurs supérieures à la normale.
• La phase IV est signée par une augmentation du retour veineux gauche et donc une augmentation de la pression artérielle jusqu'à ce que l'excès de retour veineux soit complètement pompé.
  Les variations de la fréquence cardiaque pendant la manœuvre de Valsalva reflètent la réponse des barorécepteurs aux variations de la pression artérielle. Ainsi, on peut noter une tachycardie en phase II puis une baisse de la fréquence cardiaque en phase III et IV.

• barorécepteur : tau_b=2s, K_s=1;
  — voie vagale: K_v=0.8, tau_v=1.8s, R_v=0.2s, a_v=0, b_v=1, P0_v=110 mmHg, T_v=. 04 ;
  — voie sympathique: K_s=1, tau_s=10s, R_s=3s, a_s=0.3, b_s=0.7, P0_s=100 mmHg, T_s=-. 09 ; on peut obtenir l'évolution du rythme cardiaque représentée sur les figures 27 (b) et 27 (c).

Figure 27 - Simulation numérique de la manœuvre de Valsalva à l'aide du modèle Python obtenu. Représentation de l'enveloppe de pression artérielle (a), de la pression artérielle avec la pulsation cardiaque simulée (b), évolution de la fréquence cardiaque (c), représentation des signaux dans le SNA (d).

Fin de l'énoncé.

Références