X ENS Modélisation PSI 2026Sujet et corrigé

• -De respecter l'ensemble des notations alphabétiques et numériques du sujet;
• -De préciser ses propres notations lorsque cela s'avère nécessaire ;
• -De justifier ses hypothèses et rédiger clairement ses réponses ;
• -De numéroter soigneusement les pages de sa copie.

Vers un ciel plus propre : un turbopropulseur hybride pour l'aviation régionale

Figure 1 - Projet de turbopropulseur hybride (source https://theaircurrent.com)

• A-1 Les enjeux énergétiques
• A-2 Modélisation d'un turbopropulseur
• A-3 Le régulateur de pas d'hélice
• A-4 Validation du modèle

• B-1 Modélisation d'une pile à combustible à membrane échangeuse de protons
• B-2 Augmentation de la puissance massique des entrainements électriques et fiabilité
• B-3 Décharges partielles au sein des conducteurs

Partie A - L'avion de transport régional

A-1 Les enjeux énergétiques

• -décollage : T_x^(→−) = 0→;
• -montée : T_x^(→−) = − KV(t)^2 x_1^(→−);
• -palier : T_x^(→−) = − K/2V_p^2 x⃗.

Figure 2 - Paramétrage et caractéristiques des phases de vol

• -Montrer que u est solution de l'équation différentielle (E_2) : u^′ = ω(1 − u^2) où ω est une constante à préciser.
• -Résoudre (E_2) en posant, pour t ≥ 0, u(t) = th(v(t)) avec v une fonction de classe C^1 sur ℝ_+.
• -En déduire, pour t ≥ 0, f(t) en fonction de A, B et f_0.

• -Commenter la modélisation proposée concernant la force de frottement de l'air.
• -Pour chaque phase, évaluer le sens de l'erreur commise par rapport à la réalité.
• -Conclure sur l'erreur globale.

Figure 4 - Évolution de la vitesse de l'avion en fonction du temps

• -En déduire la masse de batterie m_b nécessaire avec ce modèle, pour une propulsion 100 % électrique.
• -Comparer avec la masse à vide.
• -Un avion de transport régional 100 % électrique est-il envisageable ?
• -Quel serait l'impact sur le coefficient K et la consommation ?

Figure 5 - Nouveau modèle : estimation de l'énergie nécessaire en fonction de la masse totale

A-2 - Modélisation d'un turbopropulseur

Figure 7 - Turbopropulseur et turboréacteur

Figure 8 - Turbopropulseur PW127 (Pratt & Whitney) équipant l'ATR72 et schéma de principe

• -une entrée (diffuseur)
• -un étage de compression
• -une chambre de combustion
• -une turbine HP qui entraîne le compresseur et une turbine libre qui entraîne l'hélice
• -un réducteur pour obtenir la meilleure vitesse de rotation possible pour l'hélice.

• -gaz parfaits à c_p constant (air et gaz brûlés) ;
• -transformations adiabatiques avec pertes modélisées par des rendements ;
• -combustion idéale à pression totale constante ;
• -cycle stationnaire et ouvert (entrée = air, sortie = gaz brûlés) ;
• -pas de pertes mécaniques au niveau des compresseurs/turbines, pas de pertes de charge ;
• -78 passagers dans l'avion.

Figure 10 - Les différents étages du cycle thermodynamique ouvert (cycle de Brayton)

• -(1)⟹ (2) Admission d'air : dans cette étape, l'air est ralenti à vitesse quasi nulle. Hypothèse : compression isentropique faible (Mach subsonique), pas de transfert thermique. L'entrée d'air a une section A_e et l'avion vole à une vitesse V_p (nombre de Mach μ_1 ).
• -(2) ⇒ (3) Compression : l'air est comprimé par le compresseur. On note η_c le rendement isentropique du compresseur, T_3 la température de sortie réelle du compresseur et T_(3s) la température isentropique. Le taux de compression est noté r_c(= (P_3)/(P_2)).
• -(3) ⇒ (4) Combustion : ajout du carburant et combustion à pression supposée constante. Lors de cette phase, le carburant est ajouté avec un débit massique D_(mf).
• -(4) ⇒ (5) et (5) ⇒ (6) Détente : le gaz se détend dans la turbine, qui extrait l'énergie pour entraîner le compresseur et l'hélice via le réducteur. L'écoulement se termine au passage d'une tuyère d'éjection (5-6), où la détente se termine jusqu'à la pression ambiante P_1. Le coefficient de détente vaut π_e = (P_6)/(P_5) ≈ (P_1)/(P_5).
  On note η_T le rendement isentropique de la turbine, T_5 la température réelle de sortie de la turbine et T_(5s) la température isentropique, γ_f le coefficient isentropique du dodécane gazeux.

Débit massique d'air PW127 estimé en fonction de l'atitude

• -Écrire l'équation de combustion. Le coefficient stœchiométrique du dodécane sera unitaire.
• -En déduire la valeur AFR (Air Fuel Ratio) définie par AFR = (Masse d'air)/(Masse de carburant) pour être dans les proportions stœchiométriques.

Figure 12 - Diagramme T − s du cycle de Brayton pour le turbopropulseur, à Mach 0.5.

• -transfert thermique vers l'extérieur (non adiabatique) ;
• -combustion incomplète ;
• -pertes de charge dans l'écoulement.

• -Déterminer numériquement la consommation de carburant par passager pour 100km en vol de croisière (78 passagers dans l'avion).
• -Comparer avec la donnée constructeur de consommation (tableau de la Figure 3). Conclure sur la qualité du modèle.

Figure 13 -Vue d'ensemble de la modélisation thermodynamique

Figure 14 - Puissance théorique propulsant l'avion

Figure 15 - Puissance résistante de l'air

A-3 - Le régulateur de pas d'hélice

Figure 16 - Régulateurs centrifuges de pas d'hélice

Figure 16 - Régulateurs centrifuges de pas d'hélice

Figure 16 - Schéma cinématique du régulateur, vue 3D, paramétrage, graphe des liaisons

• -l'angle β_3 reste faible au cours du mouvement :
  cos(β_3) ≈ 1 et sin(β_3) ≈ β_3
• - (O_0, k⃗, l_1→) est plan de symétrie matériel et géométrique ;
• -toutes les liaisons sont supposées parfaites et le repère R_0(O, ı⃗, ȷ⃗, k⃗) sert de référentiel galiléen ;
• -les actions de la pesanteur sur les masselottes 3 et 4 sont négligées devant les forces d'inertie ;
• -le poids de 2 est négligé ;

• -le déplacement de la pièce 2 est repérée par la variable z = O_0 O_2^(→−).k⃗, qui mesure l'écrasement du ressort à un instant t par rapport à sa position à vide O_0 (Figure 17) ;
• -le ressort, de raideur k_R, exerce un effort F_(R → 2)^(→−) sur la pièce 2 tel que : F_(R → 2)^(→−) = − k_R zk⃗;
• -la vitesse de rotation de 1 par rapport à 0 est supposée constante : Ω_(1/0)^(→−) = β_1˙k⃗ = ω_1 k⃗.

• -la vitesse hélice CL (Condition Level), qui reste constante en vol en palier,
• -la puissance (POWER).

L'hélice et le régulateur sont placés tous deux en aval d'un réducteur, de rapport r_1 = 1/15 pour l'hélice et r_2 = 0, 8 pour le régulateur.

• -vol en palier, Mach 0,5 (≈ 550km/h = 153m/s), altitude 6500m;
• -POWER sur 70 % ;

A-4 - Validation du modèle

• -déplacement z de la tige du régulateur, en extrapolant la loi obtenue précédemment aux différents réglages de puissance affichée,
• -angle de pas d'hélice en fonction du déplacement de la tige du distributeur,
• -poussée totale des 2 hélices en fonction du pas, commande POWER sur 70%, altitude 6500m, Mach 0,5.

Figure 20 - loi entrée-sortie du régulateur centrifuge

Figure 21 - Angle de pas d'hélice en fonction du déplacement du distributeur

Figure 22 - Poussée de l'hélice en fonction du pas, commande POWER à 70%

• -Estimer, à partir des données des Figures 2 et 3 ou de la Figure 15, la force résistante de l'air dans ces conditions de vol.
• -Comparer avec la valeur précédente et discuter de la pertinence du modèle.

Partie B - L'alimentation électrique en énergie d'un avion hybride et électrique

Figure 23 - Profils standard en puissance pour un vol inter régional

• -le décollage avec une puissance maximale sur un temps court,
• -le vol stationnaire où la puissance est constante,
• -l'atterrissage avec une puissance moyenne faible mais des variations importantes de la puissance.

B-1 Modélisation d'une pile à combustible à membrane échangeuse de protons

Figure 24 - Source d'énergie énergie électrique W_e

Figure 25 - Evolution de la tension, sous une pression de 1 atm

def const_mat_regresseur(POLYNOME_TAILLE: int,
            D_COURANT: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """
    Fonction qui construit la matrice des regresseurs à partir des mesures
    de densité de courant.
    Parameters
    ----------
    POLY_TAILLE : int
        Taille du polynôme d'approximation soit le nombre de coefficient à
calculer K + 1.
    D_COURANT : np.ndarray
        Vecteur des densités de courant mesurées (vecteur type numpy array)
soit de taille G + 1 mesures.
    Returns
    -------
    MAT_REG_CONST : np.ndarray
        Matrice des regresseurs (vecteur type numpy array).
    """
    # Création de la matrice des regresseurs
    return MAT_REG_CONST

Figure 27 - Comparaison de modèles

Figure 28 - Utilisation d'une capacité

B-2 - Augmentation de la puissance massique des entrainements électriques et fiabilité

Figure 29 - Schéma électrique équivalent

B-3 - Décharges partielles au sein des conducteurs

Figure 30 - Stator d'une machine électrique avec les bobinages	Figure 30 bis - Vue en coupe du bobinage

Figure 31 - Proximité de 2 conducteurs

Figure 32 - Evolution de la tension de claquage en fonction de la pression

Conclusion

ANNEXE - Aide au calcul numérique