X ENS Mathématiques PSI 2026Sujet

Notations

• -Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note I_n la matrice identité de ℳ_n(ℝ).
• -Pour tout (n, m) ∈ ℕ^∗ × ℕ^∗ et toute matrice A ∈ ℳ_(n, m)(ℝ) on note Ker(A) et Im(A) les ensembles :
  Ker(A), = {X ∈ ℳ_(m, 1)(ℝ)|AX = 0},; Im(A), = {Y ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ)|∃X ∈ ℳ_(m, 1)(ℝ) tel que Y = AX}.
  La transposée d'une matrice A est notée ^t A. Lorsque A = [a] ∈ ℳ_1(ℝ), où a ∈ ℝ, on identifie A au réel a.

• Pour n ∈ ℕ^∗, on note ⟨.,. ⟩leproduitscalairecanoniquedeℳ_(n, 1)(ℝ) défini par

Partie I : généralités sur les fonctions convexes et les fonctions minorées

1. Soit f : ℝ^n → ℝ une fonction convexe de classe C^1 sur ℝ^n;

• (a)Soient x = (x_1, ⋯, x_n) ∈ ℝ^n et y = (y_1, ⋯, y_n) ∈ ℝ^n fixés et h : ℝ → ℝ définie par
  ∀t ∈ ℝ, h(t) = f(x + t(y − x))
  Exprimer h^′(0) en fonction de x, y et du gradient de f.
• (b)En déduire l'inégalité
  ∀x ∈ ℝ^n, ∀y ∈ ℝ^n, f(y) − f(x) ⩾ ⟨∇f(x), y − x⟩.
• (c)En déduire que
  ∀x ∈ ℝ^n, ∀y ∈ ℝ^n, ⟨∇f(y) − ∇f(x), y − x⟩ ⩾ 0.
• (d)Soit x_0 ∈ S(f). Montrer que f(x_0) est le minimum global de f sur ℝ^n et que
  ∀x ∈ S(f), f(x) = f(x_0).
• (e)Montrer que S(f) est une partie convexe fermée de ℝ^n.

2. On suppose dans cette question que f est minorée et de classe C^1 sur ℝ^n ( f n'est plus supposée convexe). Pour tout réel ε > 0, on définit la fonction f_ε par

• (a)Soit ε ∈ ]0, + ∞[. Montrer qu'il existe x_ε ∈ ℝ^n tel que
  ∀x ∈ ℝ^n, f_ε(x) ⩾ f_ε(x_ε).
  Indication : on peut considérer l'ensemble {x ∈ ℝ^n|f_ε(x) ⩽ f_ε(0)}.
• (b)En déduire que pour tout ε > 0, il existe x_ε ∈ ℝ^n tel que
  ‖∇f(x_ε)‖ ⩽ ε.
• (c)En déduire
  inf{‖∇f(x)‖|x ∈ ℝ^n} = 0.

Partie II : le cas monodimensionnel

• 3.On considère deux fonctions f_1 et f_2 de ℝ dans ℝ, de classe C^1, convexes, minorées et vérifiant la propriété suivante : il existe une constante c ∈ ℝ telle que
  ∀x ∈ ℝ, f_1^′(x)^2 − f_2^′(x)^2 = c
  (autrement dit, la fonction (f_1^′)^2 − (f_2^′)^2 est constante). On rappelle que pour i ∈ {1, 2} :
  S(f_i) = {x ∈ ℝ|f_i^′(x) = 0}.
  • (a)Montrer que c = 0 et que S(f_1) = S(f_2).
  • (b)Soit i ∈ {1, 2}. Montrer que f_i^′ est croissante sur ℝ.
  • (c)Montrer que S(f_1) est un intervalle de ℝ.
  • (d)Montrer que f_1^′ = f_2^′ sur ℝ.
    Indication : on peut distinguer les cas S(f_1) = ∅ et S(f_1) ≠ ∅.
  • (e)Conclure.
• 4.On considère maintenant une fonction g de ℝ dans ℝ, de classe C^2 et minorée. On définit la fonction R : ℝ → ℝ par
  ∀x ∈ ℝ, R(x) = g^′(x)^2.
  On suppose que R est convexe. On voudrait démontrer que g l'est aussi.
  • (a)Montrer que
    S(R) = S(g).
  • (b)On suppose dans cette question que S(g) = ∅. Montrer que g^′ est croissante.
  • (c)On suppose dans cette question que S(g) ≠ ∅. Montrer que g^′ est croissante.
  • (d)Montrer que g est convexe.
    Indication : on peut fixer x, y ∈ ℝ avec x < y et considérer la fonction φ(t) = g((1 − t)x + ty) − (1 − t)g(x) − tg(y) pour t ∈ [0, 1].
• 5.On considère deux fonctions g_1 et g_2 de ℝ dans ℝ, de classe C^2 minorées et vérifiant les propriétés suivantes :
  • -la fonction x ∈ ℝ ↦ g_1^′(x)^2 ∈ ℝ est convexe,
  • -il existe une constante c_1 ∈ ℝ telle que
    ∀x ∈ ℝ, g_1^′(x)^2 − g_2^′(x)^2 = c_1.
    Montrer que g_1 − g_2 est une fonction constante.

Partie III : cas des fonctions quadratiques

• 6.Soit f ∈ ℰ et (M, B) ∈ ℳ_n(ℝ) × ℳ_(n, 1)(ℝ) un couple qui la caractérise (on rappelle que M est symétrique).

• • (a)Montrer que
    ^t(∇f(x)) = MX − B.
  • (b)En déduire que Tf ∈ ℰ_0.
  • (c)Montrer que Ker(M)^⊥ = Im(M) et en déduire que
    Im(M) ⊕ Ker(M) = ℳ_(n, 1)(ℝ).
  • (d)En déduire que l'application X ∈ Im(M) ↦ MX ∈ Im(M) est un automorphisme de Im(M).
  • (e)Montrer que les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes
    • (i) f ∈ ℰ_0.
    • (ii) B ∈ Ker(M)^⊥ et ∀X ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ), ^t XMX ⩾ 0.
    • (iii) f est convexe et S(f) ≠ ∅.
  • (f)En déduire que si f ∈ ℰ_0 alors il existe une constante réelle α > 0 telle que
    ∀X ∈ Im(M), ^t XMX ⩾ α‖X‖^2.
• 7.Montrer que l'application T : f ∈ ℰ_0 ↦ Tf ∈ ℰ_0 est surjective.
• 8.Soient M_1 et M_2 deux matrices symétriques positives telles que M_1^2 = M_2^2. Montrer que M_1 = M_2.
• 9.Montrer que l'application T : f ∈ ℰ_0 ↦ Tf ∈ ℰ_0 est aussi injective.
• 10.Conclure.

Partie IV : un cas un peu plus général

• - f et g sont convexes minorées,
• -La fonction x ∈ ℝ^n ↦ ‖∇f(x)‖^2 − ‖∇g(x)‖^2 est constante,
• - f + g ∈ ℰ,
• - S(f) ≠ ∅.

• 12.Montrer que nécessairement
  ∀x ∈ ℝ^n, ‖∇f(x)‖ = ‖∇g(x)‖.
• 13.Montrer que
  S(h) = S(f) = S(g).
• 14.Soient y_1, ⋯, y_n des fonctions de classe C^1 de ℝ_+dans ℝ. On note y = (y_1, ⋯, y_n) l'application de ℝ_+dans ℝ^n définie par
  ∀t ∈ ℝ_+, y(t) = (y_1(t), ⋯, y_n(t))
  et on suppose que l'intégrale
  ∫_0^(+ ∞)‖y^′(t)‖^2 dt
  converge (où pour tout t ∈ ℝ_+, y^′(t) = (y_1^′(t), ⋯, y_n^′(t)) ).
  • (a)On définit la fonction z de ℝ_+dans ℝ^n par
    z(t) = {1/t(y(t) − y(0)), si t > 0,; y^′(0), si t = 0.
    Montrer que z est continue sur ℝ_+et que pour tout réel A ⩾ 0 on a
    ∫_0^A‖z(t)‖^2 dt ⩽ 2∫_0^A⟨z(t), y^′(t)⟩dt
  • (b)En déduire que l'intégrale
    ∫_0^(+ ∞)‖z(t)‖^2 dt
    converge et qu'on a
    ∫_0^(+ ∞)‖z(t)‖^2 dt ⩽ 4∫_0^(+ ∞)‖y^′(t)‖^2 dt
  • (c)Montrer que l'intégrale généralisée
    ∫_0^(+ ∞)(‖y(t)‖^2)/(t^2 + 1)dt
    converge et que
    ∫_0^(+ ∞)(‖y(t)‖^2)/(t^2 + 1)dt ⩽ 8∫_0^(+ ∞)‖y^′(t)‖^2 dt + π‖y(0)‖^2
• 15.Dans toute la suite, Y : t ∈ [0, + ∞[ ↦ ^t(y_1(t), ⋯, y_n(t)) ∈ ℳ_(n, 1)(ℝ) désigne une solution de classe C^1 du système différentiel
  Y^′(t) = − MY(t) + B,
  On pose y : t ∈ [0, + ∞[ ↦ (y_1(t), ⋯, y_n(t)) ∈ ℝ^n.

• (a)Soit v ∈ S(h). On définit les fonctions F et D sur [0, + ∞[ par
  ∀t ∈ [0, + ∞[, F(t) = h(y(t)) et D(t) = ‖Y(t) − V‖^2
  (on rappelle que V = ^t v ). Montrer que F et D sont décroissantes.
  Indication : on peut observer que ^t∇h(x) = MX − B (voir question (6a)).
• (b)Soient U ∈ Im(M), Y_0 ∈ Ker(M) et Y_1 ∈ Im(M) tels que
  MU = B et Y(0) = Y_0 + Y_1.
  On définit la fonction Z : [0, + ∞[ → ℳ_(n, 1)(ℝ) par
  ∀t ∈ [0, + ∞[, Z(t) = Y(t) − U − Y_0.
  Justifier l'existence des vecteurs U, Y_0 et Y_1 puis montrer que pour tout
  ∀t ⩾ 0, Z^′(t) = − MZ(t),
  et en déduire que pour tout t ⩾ 0, Z(t) ∈ Im(M).
• (c)Soit ω la fonction définie sur [0, + ∞[parω(t) = ‖Z(t)‖^2 pour t ⩾ 0. Montrer qu'il existe un réel β > 0 tel que
  ∀t ⩾ 0, ω^′(t) + βω(t) ⩽ 0.
• (d)En déduire que
  ∀t ⩾ 0, ω(t) ⩽ ω(0)e^(− βt).
• (e)En déduire qu'il existe Y_∞ ∈ S(h) tel
  lim_(t → + ∞)Y(t) = Y_∞.
• (f)Montrer que les intégrales
  ∫_0^(+ ∞)‖y^′(t)‖^2 dt et ∫_0^(+ ∞)(‖y(t)‖^2)/(t^2 + 1)dt
  convergent et que
  ∫_0^(+ ∞)‖y^′(t)‖^2 dt = h(y(0)) − infh; ∫_0^(+ ∞)(‖y(t)‖^2)/(t^2 + 1)dt ≤ 8(h(y(0)) − infh) + π‖y(0)‖^2

16. Montrer que