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X ENS Mathématiques PSI 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude de l'algorithme de descente de gradient et de ses variantes
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Le sujet étudie et établit des propriétés de convergence de l'algorithme de descente de gradient, utilisé notamment en intelligence artificielle. Après des préliminaires établissant l'existence d'un minimiseur, il montre la convergence rapide sous hypothèses fortes, puis affaiblit ces hypothèses, étudie la descente de gradient proximale qui se passe de la dérivabilité, et termine en dimension quelconque avec la variante projetée sur la boule unité. Le sujet se limite pour l'essentiel à la dimension 1, sauf dans la dernière partie.

  1. 1Partie I : préliminairesÉtablissement de l'existence d'un minimiseur et d'une première propriété des itérées de la descente de gradient.
  2. 2Partie II : convergence rapide, sous des hypothèses fortesÉtude de la convergence géométrique de la suite des itérées vers un minimiseur, sous hypothèses fortes.
  3. 3Partie III : convergence lente, sous des hypothèses faiblesÉtude de la convergence, a priori plus lente, des itérées vers un minimiseur a priori non unique, en affaiblissant les hypothèses.
  4. 4Partie IV : descente de gradient proximaleÉtude d'une généralisation de l'algorithme qui se passe de l'hypothèse de dérivabilité, avec un lien vers la descente de gradient implicite.
  5. 5Partie V : optimisation sur la boule unitéÉtude de la variante projetée de l'algorithme, en dimension quelconque, pour minimiser une fonction restreinte à la boule unité.

Difficile. Le rapport indique que le sujet était très long avec de nombreuses questions à priori simples mais demandant de la précision dans les arguments, et que le reste du sujet après la question 33 n'a presque pas été abordé par les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,96 / 20 · écart-type 3,37 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,96/ 20
Écart-type
3,37
Coefficient
10
Durée
4 h
moyenne 9,9605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 14 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Arguments flous sur le caractère borné · Convexité forte confondue avec convexité · Distinction des cas selon la position initiale non maîtrisée
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Le jury note que le sujet était très long, avec de nombreuses questions a priori simples mais exigeant de la précision dans les arguments. Il a utilisé toute l'échelle des notes de 0 à 20, sans anomalie statistique ni phénomène de concentration ou de discontinuité, pour une moyenne de 9,96 et un écart type de 3,37.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Arguments flous sur le caractère bornéQ1-a

    À la question 1-a, les arguments ont souvent été flous pour montrer le caractère borné de la suite.

  2. 2
    Convexité forte confondue avec convexitéQ7

    Des copies présentent des calculs sans justification, notamment sur le fait qu'une fonction alpha-convexe implique la convexité, question très rarement bien traitée.

    « La question n'a été que très rarement bien traitée »
  3. 3
    Distinction des cas selon la position initiale non maîtriséeQ11

    Il s'agissait de distinguer les situations selon que x0 est négatif, supérieur à 1/tau, ou entre les deux, mais très peu de copies ont su le faire.

  4. 4
    Développements limités sans petit oQ12-a

    Le jury signale une attention à porter aux développements limités écrits sans le symbole petit o.

  5. 5
    Minimum affirmé sans utiliser la convexitéQ18-c

    De nombreux candidats ont affirmé que si f' s'annule en un point a, alors a est nécessairement un minimum, sans utiliser la convexité de f.

  6. 6
    Tableau de variations insuffisamment détailléQ22-a

    Il s'agissait de faire un tableau des variations suffisamment détaillé de F_x0, ce qui n'a presque jamais été fait correctement.

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions élémentaires 3-4 et 8-9 ont été bien traitées.
  • La décroissance demandée à la question 10-a est en général bien démontrée, et la construction d'un intervalle stable est en général bien exhibée.
  • Les questions 22b et 23 ont été bien traitées quand elles étaient abordées.

Conseils du jury

  • Soigner la précision des arguments même sur des questions qui semblent simples, en particulier pour les questions de convexité et de continuité.
  • Ne pas hésiter à admettre le résultat d'une question pour répondre aux suivantes, comme le permettait l'énoncé.
  • Invoquer explicitement les théorèmes utilisés (bornes atteintes, Cauchy-Schwarz) en précisant comment ils s'appliquent.
  • Détailler les tableaux de variations et les calculs de limites plutôt que de les esquisser.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLES NORMALES SUPERIEURES ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2025

LUNDI 14 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERE PSI - Epreuve n ^∘1
MATHEMATIQUES (XUSR)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 7 pages numérotées de 1 à 7 .

Début de l'épreuve

Notations

On note C(ℝ) l'ensemble des fonctions continues de ℝ dans ℝ, et C^1(ℝ) l'ensemble de celles qui sont dérivables sur ℝ à dérivée continue. On dit qu'une fonction g : ℝ → ℝ est L-Lipschitzienne, où L > 0 est un nombre réel, si elle satisfait
∀x, y ∈ ℝ, |g(x) − g(y)| ≤ L|x − y|.
On dit qu'une fonction f : ℝ → ℝ est convexe si elle satisfait
∀x, y ∈ ℝ, ∀t ∈ [0, 1], f((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)f(x) + tf(y).
On pourra utiliser sans démonstration le fait qu'une fonction f ∈ C^1(ℝ) est convexe si et seulement si sa dérivée f^′ est croissante.
Dans les parties I, II et III du sujet, la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) est toujours définie par la relation de récurrence
∀n ∈ ℕ, x_(n + 1):=x_n − τf^′(x_n),
déterminée par un terme initial x_0 ∈ ℝ, un pas de temps τ > 0, et une fonction f ∈ C^1(ℝ).

Objectif de l'énoncé

L'objet de cette composition est d'établir certaines propriétés de l'algorithme de la descente de gradient et de ses variantes. Dans le cas général d'une fonction f ∈ C^1(ℝ^d) de plusieurs variables continûment différentiable, cette méthode s'écrit
∀n ∈ ℕ, x_(n + 1) = x_n − τ∇f(x_n).
Le choix de la dimension d = 1 a été fait dans ce sujet (dernière partie exceptée) dans le but d'alléger les notations, cependant la plupart des résultats obtenus et des méthodes de preuve s'étendent naturellement en dimension arbitraire. Lorsque la fonction f possède de fortes propriétés (convexité, régularité, ...), la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) des itérées converge rapidement vers un minimiseur de f. Sous des hypothèses plus faibles, on peut parfois obtenir une convergence plus lente, ou bien avoir recours à une variante telle que la descente de gradient implicite. Comprendre le comportement fin de l'algorithme lorsque f a des propriétés plus faibles (par exemple f non-convexe) fait l'objet de recherches actuelles, et du champ d'investigation mathématique dit de l'optimisation numérique, dont les applications sont nombreuses (ingénierie, intelligence artificielle, etc).
A l'exception des préliminaires, toutes les parties sont indépendantes. Ne pas hésiter à admettre le résultat d'une question pour répondre aux suivantes.

Partie I: Préliminaires

Dans cette partie préliminaire, on établit d'abord l'existence d'un minimiseur, sous des hypothèses adéquates, puis une première propriété des itérées (x_n)_(n ∈ ℕ) de la descente de gradient.
  1. Soit f ∈ C(ℝ) telle que
lim_(x → − ∞)f(x) = + ∞ et lim_(x → + ∞)f(x) = + ∞
a) Montrer que l'ensemble {x ∈ ℝ|f(x) ≤ f(0)} est fermé et borné.
b) En déduire qu'il existe x_∗ ∈ ℝ tel que f(x_∗) = min{f(x)|x ∈ ℝ}.
2. On suppose dans cette question que f ∈ C^1(ℝ) est convexe, et que f^′ est L-Lipschitzienne, pour un certain L > 0.
a) Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ
|f^′(x) − f^′(y)|^2 ≤ L(x − y)(f^′(x) − f^′(y))
b) Soient x, y ∈ ℝ, et soient x~:=x − τf^′(x) et y~:=y − τf^′(y). Montrer que
|x~ − y~|^2 ≤ |x − y|^2 − τ(2 − τL)(x − y)(f^′(x) − f^′(y)).
c) On suppose de plus que f admet un minimiseur x_∗, et que 0 < τ ≤ 2/L. Montrer que la suite (|x_n − x_∗|)_(n ∈ ℕ) est décroissante. (On rappelle que (x_n)_(n ∈ ℕ) satisfait (2).)

Partie II: Convergence rapide, sous des hypothèses fortes

Dans cette partie, on montre que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) définie par l'algorithme de descente de gradient converge rapidement vers un minimiseur de f, on parle de convergence géométrique, en faisant des hypothèses fortes sur cette fonction. Commençons par l'étude d'un exemple.
3. Dans cette question seulement, on pose f(x):=1/2Lx^2 pour tout x ∈ ℝ, où L > 0 est fixé.
a) Montrer que x_(n + 1) = (1 − τL)x_n, puis exprimer directement x_n en fonction de x_0 et n.
b) On suppose x_0 ≠ 0. Justifier que x_n → 0 si et seulement si 0 < τ < 2/L.
Hypothèses : Dans la suite, on se donne f ∈ C^1(ℝ) telle que f^′ est L-Lipschitzienne, avec L > 0, et on fixe τ tel que 0 < τ ≤ 2/L. On suppose de plus que f est α-convexe, avec α > 0, c'est à dire que
g(x):=f(x) − 1/2αx^2, est une fonction convexe sur ℝ.
  1. Justifier que f^′(x) − αx est une fonction croissante de x ∈ ℝ. En déduire que α ≤ L.
  2. Montrer que f(x) ≥ f(0) + f^′(0)x + αx^2/2 pour tout x ∈ ℝ. En déduire que f admet un minimiseur sur ℝ.
On note x_∗ ∈ ℝ un minimiseur de f, dont l'existence vient d'être établie. Les hypothèses faites permettent d'établir que les itérées (x_n)_(n ∈ ℕ) de la descente de gradient s'en rapprochent.
6. Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ
α|x − y|^2 ≤ (f^′(x) − f^′(y))(x − y)
  1. En déduire que pour tous x, y ∈ ℝ, en notant x~:=x − τf^′(x) et y~:=y − τf^′(y), on a
|x~ − y~|^2 ≤ |x − y|^2(1 − ατ(2 − Lτ))
  1. On suppose 0 < τ < 2/L. Montrer que |x_n − x_∗| ≤ ρ^n|x_0 − x_∗|, où ρ est une constante que l'on précisera, et telle que 0 ≤ ρ < 1.

Partie III: Convergence lente, sous des hypothèses faibles

Dans cette partie, on se passe de l'hypothèse très forte (4) utilisée précédemment. On montre que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) des itérées de la descente de gradient converge, a priori assez lentement, vers un minimiseur de f, a priori non-unique. Commençons de nouveau par l'étude d'un exemple :
f(x):=1/3x^3 si x ≥ 0, f(x):=0 si x < 0
  1. Justifier que f ∈ C^1(ℝ) et que f est convexe. Donner l'ensemble de ses minimiseurs.
  2. On suppose dans cette question que 0 < x_0 < 1/τ.
    a) Justifier que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ), définie par la relation de récurrence (2), est décroissante, à valeurs strictement positives, et satisfait x_(n + 1) = x_n(1 − τx_n) pour tout n ∈ ℕ.
    b) Justifier que x_n → 0 lorsque n → ∞.
    c) Montrer que 1/x_(n + 1) = 1/x_n + τ/(1 − τx_n) pour tout n ∈ ℕ. En déduire que x_n ≤ x_0/(1 + nτx_0).
  3. On suppose seulement τ > 0. Montrer que pour tout x_0 ∈ ℝ, la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) converge vers un minimiseur de f.
Hypothèses : On se donne dans la suite f ∈ C^1(ℝ). On suppose que f est convexe, admet un minimiseur x_∗ ∈ ℝ, et que f^′ est L-Lipschitzienne. On suppose également que 0 < τ < 2/L.
12. a) Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ
f(y) ≥ f(x) + f^′(x)(y − x)
Indication : considérer un développement limité de (1) lorsque t → 0^+.
b) Montrer que pour tous x, y ∈ ℝ
f(y) ≤ f(x) + f^′(x)(y − x) + L/2(y − x)^2
c) Etablir que pour tout n ∈ ℕ
f(x_(n + 1)) ≤ f(x_n) − τ/2(2 − τL)|f^′(x_n)|^2
En déduire que la suite (f(x_n))_(n ∈ ℕ) est décroissante.
Dans les questions suivantes, on montre que l'algorithme du gradient converge en valeur, c'est à dire que la suite (f(x_n))_(n ∈ ℕ) tend vers le minimum f(x_∗) de la fonction f.
13. Montrer que 0 ≤ f(x) − f(x_∗) ≤ |x − x_∗||f^′(x)| pour tout x ∈ ℝ.
14. Montrer que pour tout n ∈ ℕ, en supposant x_0 ≠ x_∗,
f(x_(n + 1)) ≤ f(x_n) − τ/2(2 − τL)(|f(x_n) − f(x_∗)|^2)/(|x_0 − x_∗|^2).
Indication : utiliser 2.c)
15. Soit c > 0, et soit (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite de nombres réels positifs telle que a_(n + 1) ≤ a_n − c(a_n)^2 pour tout n ∈ ℕ. Montrer a_n ≤ a_0/(1 + nca_0) pour tout n ∈ ℕ.
Indication : adapter le raisonnement de la question 10.c)
16. Etablir une majoration de la suite de terme général a_n:=f(x_n) − f(x_∗). Conclure que f(x_n) → f(x_∗) lorsque n → ∞.
On cherche maintenant à établir que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) tend vers un minimiseur de f. On rappelle qu'on a noté x_∗ ∈ ℝ un tel minimiseur, que l'on suppose exister, mais que celui-ci n'est pas forcément unique comme le montre l'exemple introductif.
17. Montrer que τ/2(2 − τL)∑_(0 ≤ i < n)|f^′(x_i)|^2 ≤ (f(x_0) − f(x_n)) pour tout n ∈ ℕ^∗. En déduire que f^′(x_n) → 0 lorsque n → ∞.
18. a) Montrer que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ) admet une sous suite convergente. On note φ : ℕ → ℕ l'extractrice et x_(∗∗) la limite correspondante, de sorte que x_(φ(n)) → x_(∗∗) lorsque n → ∞. Indication. On pourra utiliser sans démonstration le théorème de Bolzano-Weierstrass : de toute suite dans ℝ bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.
b) Montrer que f^′(x_(∗∗)) = 0.
c) En déduire que x_(∗∗) est un minimiseur de f, puis que |x_n − x_(∗∗)| → 0 lorsque n → ∞.

Partie IV: Descente de gradient proximale

Une limitation de l'algorithme de descente de gradient est que la fonction à minimiser doit être (continûment) dérivable. Dans cette partie on considère une généralisation de cet algorithme, qui se passe de cette hypothèse. Le lien avec la descente de gradient, dans sa variante implicite, est fait dans la question 21.
Hypothèses : On considère une fonction convexe f ∈ C(ℝ), admettant un minimiseur x_∗ ∈ ℝ. Soit également τ > 0.
19. Montrer que la fonction F_(x_0)(x):=1/2|x − x_0|^2 + τf(x) admet un unique minimiseur sur ℝ, que l'on notera p_f(x_0).
Indication: On pourra considérer des minimiseurs x_1 et x_2 de F_(x_0), et remarquer que
|1/2(x_1 + x_2) − x_0|^2 < 1/2|x_1 − x_0|^2 + 1/2|x_2 − x_0|^2 si x_1 ≠ x_2.
  1. Montrer que x_0 ∈ ℝ est un minimiseur de f si et seulement si p_f(x_0) = x_0.
Indication : considérer la quantité F_(x_0)((1 − t)x_0 + tx_∗) lorsque t → 0^+.
21. Dans cette question seulement, on suppose que f ∈ C^1(ℝ). Montrer que x_1:=p_f(x_0) satisfait
x_1 = x_0 − τf^′(x_1).
Dans toute la suite, étant donné x_0 ∈ ℝ, on définit la suite récurrente (x_n)_(n ∈ ℕ) par
x_(n + 1):=p_f(x_n).
Illustrons le comportement de cette suite sur un exemple.
22. Dans cette question seulement, on pose f(x):=|x| pour tout x ∈ ℝ.
a) Montrer que
p_f(x) = {x − τ, si x ≥ τ; x + τ, si x ≤ − τ; 0, sinon
b) En déduire que x_n → 0 lorsque n → ∞, quels que soient x_0 ∈ ℝ et τ > 0.
Les questions suivantes étudient les différences entre les termes successifs de la suite (x_n)_(n ∈ ℕ), désormais définie par (5). (Attention : (2) n'a plus cours.)
23. Montrer que 1/2|x_1 − x_0|^2 + τf(x_1) ≤ τf(x_0). En déduire que pour tous entiers N > M ≥ 0
1/2∑_(M < n ≤ N)|x_n − x_(n − 1)|^2 ≤ τ(f(x_M) − f(x_N))
En déduire que |x_(n + 1) − x_n| → 0 lorsque n → ∞.
24. Montrer que pout tous M, N ∈ ℕ
|x_N − x_M| ≤ √(2τ|N − M|)√(|f(x_M) − f(x_N)|).
Montrons maintenant que la fonction p_f définissant notre suite récurrente est 1-Lipschitzienne.
25. Soient x ∈ ℝ, et x~:=p_f(x). Montrer que pour tous v ∈ ℝ et t ∈ ℝ
τf(x~) + 1/2|x~ − x|^2 ≤ τf(x~ + tv) + 1/2|x~ + tv − x|^2
Soient également y ∈ ℝ, et y~:=p_f(y). En déduire que
2τ(f(x~) + f(y~) − f(x~ + tv) − f(y~ − tv)) ≤ |x~ + tv − x|^2 + |y~ − tv − y|^2 − |x~ − x|^2 − |y~ − y|^2.
  1. Montrer que le membre de droite dans l'inégalité (6) admet le développement limité 2tv(x~ − x + y − y~) + o(t) lorsque t → 0.
  2. On choisit v:=y~ − x~ dans l'inégalité (6). Montrer que le membre de gauche est positif pour tout t ∈ [0, 1]. En déduire que
|x~ − y~|^2 ≤ (x − y)(x~ − y~)
  1. Montrer que |p_f(x) − p_f(y)| ≤ |x − y| pour tous x, y ∈ ℝ. En déduire que la suite (|x_n − x_∗|)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
On obtient comme dans la question 18.a) l'existence d'une sous-suite convergente x_(φ(n)) → x_(∗∗) lorsque n → ∞, où φ : ℕ → ℕ est strictement croissante et x_(∗∗) ∈ ℝ.
29. Montrer que x_(φ(n) + 1) → x_(∗∗) lorsque n → ∞, puis en déduire que p_f(x_(∗∗)) = x_(∗∗).
30. Conclure que x_(∗∗) est un minimiseur de f, et que x_n → x_(∗∗) lorsque n → ∞.

Partie V: Optimisation sur la boule unité

Dans cette partie, on étudie la variante dite projetée de l'algorithme descente de gradient, qui vise à minimiser une fonction de plusieurs variables, restreinte à la boule unité. On fixe un entier d ∈ ℕ^∗, et on munit ℝ^d du produit scalaire usuel noté ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme euclidienne associée ‖ ⋅ ‖. On note C:={x ∈ ℝ^d|‖x‖ ≤ 1} la boule unité fermée de ℝ^d, et on se donne f ∈ C^1(ℝ^d).
31. Montrer que f admet un minimiseur sur C, que l'on note x_∗ dans les questions suivantes.
32. On suppose dans cette question que ‖x_∗‖ < 1. Montrer que ∇f(x_∗) = 0.
33. On suppose dans cette question que ‖x_∗‖ = 1. L'objectif est de montrer que
∃λ ≥ 0, ∇f(x_∗) = − λx_∗
a) Soient x, y ∈ ℝ^d tels que x ≠ y et ‖x‖ = ‖y‖ = 1. Montrer que ⟨x, v⟩ > 0 et ⟨y, v⟩ < 0, où v:=x − y.
b) On suppose par l'absurde que (7) n'est pas satisfaite. Montrer qu'il existe v ∈ ℝ^d tel que ⟨v, ∇f(x_∗)⟩ > 0 et ⟨v, x_∗⟩ > 0. En déduire une contradiction et conclure.
Indication : considérer les quantités f(x_∗ − tv) et ‖x_∗ − tv‖^2, dans la limite t → 0^+.
Dans la suite de cette section, M désigne une matrice réelle symétrique de taille d × d non nulle telle que
∀x ∈ ℝ^d, ⟨x, Mx⟩ ≥ 0
(Les vecteurs de ℝ^d sont ici considérés comme des vecteurs colonnes.)
On définit la fonction f de ℝ^d dans ℝ par
f(x):= − 1/2⟨x, Mx⟩
  1. Montrer que ∇f(x) = − Mx, pour tout x ∈ ℝ^d.
  2. Décrire l'ensemble des minimiseurs de f sur C.
Etant donné x_0 ∈ ℝ^d, on définit une suite récurrente par
x_(n + 1):=P_C(x_n − τ∇f(x_n)), avec P_C(x):={x, si ‖x‖ ≤ 1; x/‖x‖, sinon
Cette suite correspond à l'algorithme de la descente de gradient projetée.
36. On suppose dans cette question que ‖x_0‖ ≥ 1.
a) Montrer que
∀n ∈ ℕ∖{0}, x_n = ((I_d + τM)^n x_0)/(‖(I_d + τM)^n x_0‖)
b) Calculer lim_(n → ∞)x_n.
Indication. Décomposer x_0 = ∑_(1 ≤ i ≤ d)α_i e_i dans une base orthonormée de vecteurs propres (e_1, ⋯, e_d), associés aux valeurs propres λ_1, ⋯, λ_d de M. Introduire l'ensemble d'indices I:={i ∈ [ [1, d] ]|α_i ≠ 0}, la valeur propre λ:=max_(i ∈ I)λ_i, et le vecteur x_0^′:=∑_(i ∈ I^′)α_i e_i où I^′:={i ∈ I|λ_i = λ}.
37. Comment la suite se comporte-t-elle lorsque ‖x_0‖ < 1 ?
38. Montrer qu'il existe un hyperplan H ⊂ ℝ^d tel que, pour tout x_0 ∈ ℝ^d∖H, on a lim_(n → ∞)f(x_n) = min{f(x)|x ∈ C}.

Fin du sujet

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths PSI X-ENS 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths PSI X-ENS 2025 ?

Le sujet porte sur l'algorithme de descente de gradient : convexité, suites récurrentes, développements limités, théorème des bornes atteintes et inégalité de Cauchy-Schwarz, avec une dernière partie en dimension quelconque sur la boule unité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur maths X-ENS PSI 2025 ?

Le jury relève des arguments flous sur le caractère borné, une confusion entre convexité forte et convexité simple, des distinctions de cas mal maîtrisées, et des tableaux de variations insuffisamment détaillés.

Le sujet de maths X-ENS PSI 2025 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique un sujet très long avec des questions a priori simples mais exigeant de la précision, et note que la fin du sujet, après la question 33, n'a presque pas été abordée par les candidats.

Quelle est la moyenne au sujet de maths PSI X-ENS 2025 ?

La moyenne était de 9,96 avec un écart type de 3,37, sur une échelle de notes allant de 0 à 20, selon le rapport du jury.

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