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Mines Mathématiques 2 PSI 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Noyaux de type positif, opérateurs intégraux et théorème de Mercer
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Le sujet étudie l'analyse spectrale des opérateurs intégraux à noyau de type positif, version continue des endomorphismes symétriques positifs d'un espace euclidien. Après des préliminaires sur les matrices symétriques positives, les intégrales à paramètre et les sommes de Riemann, il définit les noyaux de type positif, puis étudie l'opérateur associé au noyau min(x, t), relié à un problème aux limites, jusqu'au théorème de Mercer sur cet exemple.

  1. 1Quelques résultats préliminaires (questions 1 à 6)Valeurs propres d'une matrice symétrique positive, continuité et dérivation d'intégrales dépendant d'un paramètre, théorème de Fubini sur un rectangle et convergence de sommes de Riemann doubles.
  2. 2Noyaux de type positif (questions 7 à 11)Définition par les matrices de covariance, exemples issus d'un produit scalaire, cas d'un ensemble fini et noyau min(x, y).
  3. 3Opérateurs à noyau (questions 12 à 23)Endomorphisme symétrique associé à un noyau, positivité des valeurs propres, lien avec un problème aux limites du second ordre, éléments propres, développement du noyau et formule de la trace.

Difficile. Le jury juge le sujet assez long, seules trois questions ont un taux de réussite satisfaisant et les questions au-delà de la 17 ont un taux de réussite extrêmement faible.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,63 / 20 · écart-type 3,92 · 3 544 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,63/ 20
Écart-type
3,92
Présents
3 544
Coefficient
3
Durée
3 h
moyenne 7,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Variables et paramètres confondus · Valeur initiale oubliée · Développement d'un produit scalaire non reconnu
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La plupart des candidats abordent l'essentiel des questions jusqu'à la 16, mais les suivantes ne sont traitées que très superficiellement. Seules les questions 1, 2 et 10 atteignent un taux de réussite satisfaisant. Le jury relève un net relâchement dans l'introduction des objets manipulés et un manque récurrent de justification.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Variables et paramètres confondusQ3, Q4

    En question 3, beaucoup dominent par une fonction du paramètre au lieu de la variable d'intégration, et oublient de majorer |f| par une constante via le théorème des bornes atteintes.

  2. 2
    Valeur initiale oubliéeQ5

    En question 5, beaucoup écrivent ψ comme l'intégrale de sa dérivée sans s'intéresser à la valeur de ψ en a.

    « C’est une erreur grave. »
  3. 3
    Développement d'un produit scalaire non reconnuQ7, Q8

    Le caractère positif du noyau est très peu réussi, faute de reconnaître le développement d'un produit scalaire, et la question 8, application directe de la 7, est très mal réussie.

    « c’est probablement le signe d’un manque de pratique du calcul symbolique. »
  4. 4
    Intégrale nulle et fonction nulleQ12

    Beaucoup affirment qu'une fonction d'intégrale nulle est nulle. Il fallait passer par une interprétation en termes de produit scalaire.

    « Beaucoup de candidats prétendent qu’une fonction n’est d’intégrale nulle que si elle est nulle. »
  5. 5
    Théorème de Cauchy appliqué à tortQ16

    Les conditions portent sur deux instants distincts : c'est un problème aux limites, pas un problème de Cauchy. La dérivation sous l'intégrale était aussi exclue, le noyau n'étant pas de classe C1.

    « Énormément de candidats voient à tort une application du théorème de Cauchy linéaire »
  6. 6
    Recherche d'éléments propres bâcléeQ17

    Peu étudient la valeur propre zéro ou éliminent les valeurs propres négatives, et presque tous oublient la réciproque, ce qui bloque la suite.

    « Presque tous les candidats oublient de traiter la réciproque »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 2 et 10 présentent des taux de réussite satisfaisants.
  • La symétrie en question 7 n'a posé aucun problème.
  • La linéarité de u_K en question 13 est le plus souvent bien établie.
  • La question 18 est généralement bien traitée par ceux qui ont trouvé la valeur de λ_k.
  • L'usage abusif des symboles d'implication et d'équivalence tend à disparaître.

Conseils du jury

  • Maîtriser parfaitement son cours.
  • Préparer au brouillon la structure du raisonnement, puis donner toutes les justifications pertinentes et seulement elles.
  • Introduire explicitement chaque objet et chaque variable avant de l'utiliser.
  • Traiter en profondeur un nombre réduit de questions plutôt que survoler tout le sujet : deux tiers des questions bien traitées suffisaient pour une note satisfaisante.
  • Signaler honnêtement une hypothèse restrictive, par exemple se limiter aux fonctions de classe C1 en question 10.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Noyaux de type positif

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés des opérateurs intégraux à noyau de type positif.
La partie préliminaire comporte des résultats utilisés par la suite et qui pourront éventuellement être admis.
La seconde partie définit les noyaux de type positif (en abrégé NTP) et en donne quelques exemples.
Enfin, la dernière partie étudie certaines propriétés d'un opérateur à NTP, et montre sur un exemple le lien avec la résolution d'une équation différentielle du second ordre ayant certaines conditions aux limites. On démontrera également, sur cet exemple, le théorème de Mercer (1909).

Notations

  • L'espace vectoriel des matrices à coefficients réels ayant n lignes et p colonnes est noté M_(n, p)(R). On notera en particulier M_n(R) = M_(n, n)(R).
  • La matrice transposée d'une matrice A ∈ M_(n, p)(R) est notée A^⊤.
  • On note S_n(R) le sous-espace vectoriel de M_n(R) formé des matrices symétriques réelles.
  • On dit qu'une matrice S ∈ S_n(R) est positive si :
∀X ∈ M_(n, 1)(R), X^⊤SX ⩾ 0,
et on note S_n^+(R) l'ensemble des matrices symétriques positives.
  • Les intervalles de R qui interviennent dans le problème seront toujours supposés d'intérieur non vide.

Quelques résultats préliminaires

Soit A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ S_n(R).
1▹ Vérifier que pour tout vecteur X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(R) on a:
X^⊤AX = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(i, j)x_i x_j.
2▹ Montrer que si A ∈ S_n^+(R), les valeurs propres de A sont des réels positifs ou nuls.
Soit f une application continue sur [a; b] × [c; d], à valeurs dans R.
Pour (x, t) ∈ [a; b] × [c; d] on pose : φ(x, t) = ∫_a^x f(u, t)du.
3▹ Montrer que pour tout x ∈ [a; b], l'application t ↦ φ(x, t) est continue sur [c; d].
On pose alors, pour tout x ∈ [a; b] : ψ(x) = ∫_c^d φ(x, t)dt.
4▹ Montrer que ψ est de classe 𝒞^1 sur [a; b]; préciser ψ^′.
5 - En déduire :
∀x ∈ [a; b], ∫_a^x(∫_c^d f(u, t)dt)du = ∫_c^d(∫_a^x f(u, t)du)dt
On a donc, en particulier : ∫_a^b(∫_c^d f(u, t)dt)du = ∫_c^d(∫_a^b f(u, t)du)dt (c'est le théorème de Fubini).
Cette quantité sera notée simplement :
∫_a^b∫_c^d f(u, t)du dt
Soit f une application continue sur [a; b] × [c; d], à valeurs dans R. On suppose qu'il existe M ∈ R_+tel que, pour tous (x, y), (x^′, y^′) ∈ [a; b] × [c; d] :
|f(x, y) − f(x^′, y^′)| ⩽ M(|x − x^′| + |y − y^′|) (condition L)
n désignant un entier naturel non nul, on pose, pour tout entier k ∈ [ [0; n] ],
u_k = a + k(b − a)/n
et pour tout entier ℓ ∈ [ [0; n] ],
t_ℓ = c + ℓ(d − c)/n.
Enfin, on définit la somme de Riemann :
S_n(f) = ((b − a)(d − c))/(n^2)∑_(k = 0)^(n − 1)∑_(ℓ = 0)^(n − 1)f(u_k, t_ℓ).
6▹ Démontrer que: lim_(n → + ∞)S_n(f) = ∫_a^b∫_c^d f(u, t)du dt.
Pour la suite, on admettra que ce dernier résultat reste valable pour toute application f continue sur [a; b] × [c; d].

Noyaux de type positif

Soit Ω un ensemble quelconque. Une application K : Ω × Ω → R s'appelle un noyau de type positif (en abrégé NTP) si :
(i) K est symétrique, c'est-à-dire : ∀(x, y) ∈ Ω^2, K(x, y) = K(y, x);
(ii) pour tout n ∈ N^∗, pour tout (x_1, …, x_n) ∈ Ω^n, la matrice (appelée matrice de covariance) :
Cov_K(x_1, …, x_n) = (K(x_i, x_j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)
appartient à S_n^+(R).
7▹ Soit H un espace préhilbertien réel, où le produit scalaire est noté ⟨|⟩_H. Montrer que l'application K : H^2 ⟶ R est un NTP.
(x, y) ⟼ ⟨x|y⟩_H
Soit Ω un ensemble. On dit qu'une application K sur Ω × Ω vérifie la propriété ( R ) s'il existe un espace préhilbertien H et une application φ : Ω → H tels que :
∀(x, y) ∈ Ω^2, K(x, y) = ⟨φ(x)|φ(y)⟩_H.
8 - Montrer que si K vérifie la propriété ( R ), alors K est un NTP.
9▹ Montrer que si Ω = {x_1, …, x_n} est un ensemble fini, et si K est un NTP sur Ω, alors K vérifie la propriété (R).
Indication : on pourra diagonaliser la matrice Cov_K(x_1, …, x_n).
On considère ici l'espace vectoriel H des fonctions f continues et de classe 𝒞^1 par morceaux sur l'intervalle [0; 1], telles que f(0) = 0 (on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un espace vectoriel). Pour (f, g) ∈ H^2 on pose :
⟨f|g⟩_H = ∫_0^1 f^′(t)g^′(t)dt.
10▹ Montrer que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire sur H.
Soit le noyau
K : [0; 1] × [0; 1], ⟶ R; (x, y), ⟼ min(x, y).
11▹ Montrer que K vérifie la propriété (R).
Indication : pour tout x ∈ [0; 1], on pourra poser φ(x) = K_x, où K_x désigne l'application partielle y ↦ K(x, y).

Opérateurs à noyau

Soit I = [a; b] un segment de R. On notera E l'espace vectoriel 𝒞(I, R), que l'on munit du produit scalaire habituel : ⟨f|g⟩ = ∫_I f(t)g(t)dt, et l'on note ‖‖_2 la norme associée.
Soit K une application symétrique et continue de I × I dans R. On lui associe alors l'application u_K définie sur E par :
∀f ∈ E, ∀x ∈ I, u_K(f)(x) = ∫_a^b K(x, t)f(t)dt = ⟨K_x|f⟩,
où K_x désigne l'application partielle t ↦ K(x, t).
12▹ Montrer que si K^′ est une autre application symétrique et continue de I × I dans R telle que u_K = u_(K^′), alors K = K^′.
13▹ Montrer que u_K est un endomorphisme de E, puis que cet endomorphisme est une application continue de l'espace vectoriel normé ( E, ‖‖_2 ) dans lui-même.
14▹ Montrer que u_K est un endomorphisme symétrique de l'espace préhilbertien E.
En déduire que si λ et μ sont deux valeurs propres distinctes de u_K et si f_λ, f_μ en sont deux vecteurs propres associés, alors f_λ et f_μ sont orthogonaux.
On suppose désormais que K est un NTP.
15 - Montrer que, pour toute f ∈ E, on a ⟨u_K(f)|f⟩ ⩾ 0. Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de u_K ?
Indication : utiliser la question 6▹.
On prend maintenant, I = [0; 1], et on note E l'espace vectoriel E = 𝒞([0; 1], R) que l'on munit du produit scalaire: ⟨f|g⟩ = ∫_I f(t)g(t)dt, et l'on note ‖‖_2 la norme associée.
Soit f ∈ E donnée. On cherche ici à déterminer les applications g de classe 𝒞^2 sur [0; 1] qui satisfont au problème aux limites :
(P) {g^(′′), = − f; g(0), = g^′(1) = 0.
16▹ Montrer que le problème (P) possède une solution unique g, donnée par
g = u_K(f)
où K est le NTP défini par :
K : I × I, ⟶ R; (x, t), ⟼ min(x, t).
17▹ Déterminer les valeurs propres de u_K (on les exprimera sous forme d'une suite strictement décroissante (λ_k)_(k ∈ N)).
Montrer que pour tout k ∈ N le sous-espace propre associé à la valeur propre λ_k est de dimension 1 , et déterminer un vecteur propre unitaire e_k qui l'engendre.
Pour tout entier n ∈ N, on note F_n = Vect(e_0, …, e_n) et p_n la projection orthogonale sur F_n.
18 - En admettant la relation :
∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((k + 1/2)^4) = (π^4)/6,
vérifier l'égalité :
∫_0^1∫_0^1 K(x, t)^2 dx dt = ∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k^2.
19▹ Montrer que :
lim_(n → + ∞)∫_0^1‖K_x − p_n(K_x)‖_2^2 dx = 0
20▹ En déduire, pour toute f ∈ E :
lim_(n → + ∞)‖u_K(f) − ∑_(k = 0)^n λ_k⟨e_k|f⟩e_k‖_2^2 = 0.
21 - Montrer que la série de fonctions
∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k⟨e_k|f⟩e_k
est uniformément convergente sur I, puis que
u_K(f) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k⟨e_k|f⟩e_k.
22▹ Démontrer que :
∀(x, y) ∈ I^2, K(x, y) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k e_k(x)e_k(y)
Indication : poser K^′(x, y) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k e_k(x)e_k(y) et montrer que u_K = u_(K^′).
23▹ En déduire la formule de la trace :
∫_0^1 K(x, x)dx = ∑_(k = 0)^(+ ∞)λ_k
puis la valeur de
∑_(k = 0)^(+ ∞)1/((k + 1/2)^2)
Les relations (1) et (2) se généralisent à tous les NTP ; il s'agit du théorème de Mercer (1909).
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PSI 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PSI 2021 ?

Selon le jury, sur les espaces euclidiens et préhilbertiens réels, les intégrales à paramètre, un peu de topologie et les équations différentielles, autour des opérateurs intégraux à noyau de type positif.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 PSI 2021 ?

Des objets non introduits, des justifications absentes, la confusion entre variable et paramètre dans les intégrales, l'idée fausse qu'une fonction d'intégrale nulle est nulle et l'application à tort du théorème de Cauchy à un problème aux limites.

Le sujet Mines Maths 2 PSI 2021 était-il long ?

Le jury le juge assez long. La plupart des candidats abordent les questions jusqu'à la 16, et deux tiers des questions correctement traitées suffisaient pour obtenir une note tout à fait satisfaisante.

Quelle question du Mines Maths 2 PSI 2021 était la plus difficile au début du sujet ?

La question 6, sur la convergence de sommes de Riemann doubles, n'a pratiquement pas été réussie : le théorème du programme ne suffisait pas à contrôler l'uniformité de la convergence.

Pas de description pour le moment