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Mines Mathématiques 2 PSI 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices normales réelles : quatre caractérisations équivalentes et exponentielle de matrice
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Le sujet étudie les matrices réelles qui commutent avec leur transposée. Après les exemples des matrices symétriques, antisymétriques et orthogonales, il démontre de façon circulaire l'équivalence de quatre conditions, dont une réduction orthogonale par blocs de taille 1 ou 2. Il définit ensuite l'exponentielle d'une matrice comme limite d'une suite et caractérise l'image des matrices normales par cette application.

  1. 1Partie I : question préliminaireLa relation « être orthogonalement semblable » est une relation d'équivalence.
  2. 2Partie II : exemplesMatrices symétriques, antisymétriques, orthogonales et multiples de matrices de O2 face aux quatre conditions.
  3. 3Partie III : deux premières implicationsPassage d'une transposée polynomiale en A à la normalité, puis à l'égalité des normes de tAX et AX.
  4. 4Partie IV : la condition (C3) implique la condition (C4)Cas de la taille 2, sous-espaces propres communs à A et tA, puis réduction par blocs par récurrence sur la taille.
  5. 5Partie V : la condition (C4) implique la condition (C1)Polynôme d'interpolation complexe, division euclidienne et polynôme de la matrice rR(θ).
  6. 6Partie VI : exponentielle d'une matrice normaleConvergence de la suite des sommes partielles, fermeture de l'ensemble des matrices normales et description de l'image de cet ensemble par l'exponentielle.

Difficulté moyenne. Selon le rapport, le sujet est de difficulté progressive : les dix premières questions sont largement abordables, les suivantes demandent plus d'initiative et les fins de parties IV à VI ont été rarement abordées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définitions de cours incomplètes · Erreurs de logique sur les coefficients · Stabilité et récurrence mal écrites
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La plupart des candidats se sont concentrés sur les questions 1 à 10, 13, 16 et 17. Le jury relève des problèmes de quantification, des objets non définis et une maîtrise insuffisante de la notion de polynôme. Il estime que le sujet permettait à chacun de s'exprimer selon son niveau, à condition d'avoir assimilé les bases du cours.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définitions de cours incomplètesQ1, Q2

    La définition d'une relation d'équivalence est souvent incomplète. Le théorème spectral est mal énoncé : il affirme qu'une matrice symétrique réelle est orthogonalement semblable à une matrice diagonale, pas seulement diagonalisable.

    « Il manque ainsi fréquemment un à deux des trois items »
  2. 2
    Erreurs de logique sur les coefficientsQ7

    Il suffit d'une implication, pas d'équivalences. L'égalité b² = c² n'entraîne pas b = c, et l'indication de l'énoncé est souvent ignorée.

    « Il n’est pas question de mettre en place des équivalences »
  3. 3
    Stabilité et récurrence mal écritesQ11, Q12

    La traduction matricielle de la stabilité d'un sous-espace est mal connue. La récurrence sur la taille de la matrice doit être posée avec une hypothèse bien quantifiée, pas remplacée par « par itération ».

    « Le jury ne peut se contenter d’une formulation abusive du type « par itération »
  4. 4
    Polynômes de matrices confondusQ13, Q14

    P(A) n'est pas la matrice de coefficients P(ai,j). L'existence du polynôme d'interpolation est souvent éludée, et beaucoup échouent sur le cas sin θ = 0.

  5. 5
    Convergence de séries mal justifiéeQ16

    Il faut majorer la valeur absolue des termes généraux et nommer la série majorante. La règle de d'Alembert sur des termes pouvant s'annuler est sanctionnée, et les séries de fonctions sont inutiles ici.

    « L’utilisation de la règle de d’Alembert sur des termes généraux pouvant s’annuler est sanctionnée »
  6. 6
    Passages à la limite non motivésQ18, Q19, Q20

    Dire « par passage à la limite » ne suffit pas : il faut invoquer la continuité d'une application, par exemple linéaire. La convergence se traite par les suites coordonnées dans la base canonique.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3 est assez bien traitée et la question 6 n'a pas posé de problème.
  • La question 8 est assez bien traitée.
  • Le théorème de Cayley-Hamilton est le plus souvent bien utilisé (Q14).
  • Les sommes des deux séries de la question 16 sont obtenues par un grand nombre de candidats.

Conseils du jury

  • Lire l'énoncé en profondeur et respecter ses notations.
  • Énoncer les résultats de cours de façon précise et complète, notamment le théorème spectral et la division euclidienne.
  • Rédiger les récurrences proprement plutôt qu'écrire « par une récurrence évidente ».
  • Utiliser les indications de l'énoncé, qui facilitent l'accès au résultat.
  • Traiter une partie raisonnable du sujet avec rigueur plutôt que survoler toute l'épreuve.
  • Éviter les affirmations non justifiées, assimilées à du bluff.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

  • n désigne un entier naturel non nul.
  • M_n désigne l'espace vectoriel des matrices carrées réelles de taille ( n, n ), dont la matrice unité est notée I_n.
  • E_n désigne l'espace vectoriel des matrices réelles de taille ( n, 1 ) (matrices colonnes). On le munit de son produit scalaire usuel et de la norme (euclidienne) associée définis par :
(X|Y) = ^t XY et ‖X‖ = √(^t XX)
  • Pour A ∈ M_n, on note ^t A, la transposée de A.
  • S_n (respectivement A_n ) désigne le sous-espace vectoriel de M_n constitué des matrices symétriques (respectivement antisymétriques) de M_n.
  • O_n = {A ∈ M_n, A^t A = I_n} est le groupe orthogonal d'ordre n.
  • SO_n = {A ∈ O_n, det(A) = 1} est le groupe spécial orthogonal d'ordre n.
  • Pour tout θ ∈ ℝ, on note R(θ) = [cosθ, − sinθ; sinθ, cosθ] et S(θ) = [cosθ, sinθ; sinθ, − cosθ].
On rappelle que SO_2 = {R(θ), θ ∈ ℝ} et O_2 = SO_2 ∪ { S(θ), θ ∈ ℝ}.
Définition 1 Une matrice A de M_n est dite normale lorsqu'elle commute avec sa transposée, c'est-àdire lorsque A^t A = ^t AA.
Définition 2A ∈ M_n est dite orthogonalement semblable a˙B ∈ M_n, s'il existe Q ∈ O_n tel que B = ^t QAQ. (On pourra noter en abrégé : A est ORTS à B )

Objectifs

  • Dans un premier temps, ce problème vise à établir que, pour une matrice A ∈ M_n, les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
    (C_1) Il existe un polynôme P à coefficients réels tel que ^t A = P(A).
    ( C_2 ) La matrice A est normale.
    (C_3) Pour tout X ∈ E_n, ‖^t AX‖ = ‖AX‖.
    (C_4) La matrice A est orthogonalement semblable à une matrice diagonale par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
  • soit de taille (1, 1),
  • soit de taille (2, 2) du type rR(θ), où (r, θ) ∈ ℝ_+^∗ × ℝ.
  • Dans un second temps, on définit et caractérise l'exponentielle d'une telle matrice.
On pourra utiliser, sans démonstration, les deux résultats suivants :
Théorème 1 Tout endomorphisme de ℝ^n admet au moins une droite ou un plan stable.
Théorème 2 Si A ∈ M_n et B ∈ M_n sont telles qu'il existe Q ∈ O_n vérifiant B = ^t QAQ, alors, pour tout polynôme P à coefficients réels, on a P(B) = ^t QP(A)Q.

I. Question préliminaire

  1. Montrer que la relation ORTS est une relation d'équivalence sur M_n.

II. Exemples

  1. Montrer que les éléments de S_n vérifient les conditions (C_1), (C_2), (C_3) et (C_4), et que ceux de A_n vérifient les conditions ( C_1 ), ( C_2 ) et ( C_3 ).
  2. Montrer que les éléments de O_n vérifient les conditions ( C_2 ) et ( C_3 ).
  3. Dans cette question seulement, on suppose n = 2.
Montrer que les matrices rT, où r > 0 et T ∈ O_2, vérifient les conditions ( C_1 ) et ( C_4 ).

III. Deux premières implications

Soit A ∈ M_n.
5. Montrer que si A vérifie la condition ( C_1 ), alors A vérifie la condition ( C_2 ).
6. Montrer que si A vérifie la condition ( C_2 ), alors A vérifie la condition ( C_3 ).

IV. La condition ( C_3 ) implique la condition ( C_4 )

Dans cette question seulement, on suppose n = 2 et soit A = [a, c; b, d] ∈ M_2 vérifiant la condition ( C_3 ).
7. Montrer que c = b ou bien ( b ≠ 0 et c = − b et a = d ).
On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs [1; 0] et [1; 1] de E_2.
En déduire que A vérifie la condition ( C_4 ).
Dans toute la suite de cette partie, on se donne A ∈ M_n vérifiant la condition ( C_3 ).
8. Montrer que, pour tout réel λ, la matrice A − λI_n vérifie ( C_3 ).
9. En déduire que A et ^t A ont les mêmes sous-espaces propres et qu'ils sont deux à deux orthogonaux.
10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la matrice A pour qu'elle soit diagonalisable.
11. Pour n ⩾ 3, montrer que A est orthogonalement semblable à une matrice du type [A_1, 0; 0, A_2], où A_1 ∈ M_p et A_2 ∈ M_(n − p) vérifient ( C_3 ), avec p ∈ {1, 2}.
On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à A vérifie ( C_3 ).
12. Montrer que si A vérifie la condition ( C_3 ), alors A vérifie la condition ( C_4 ).

V. La condition ( C_4 ) implique la condition ( C_1 )

Soit Z = {z_1, …, z_n}, une famille de n complexes deux à deux distincts.
13. Établir l'existence d'un unique polynôme P de ℂ_(n − 1)[X] tel que :
∀k ∈ {1, …, n}, P(z_k) = z_k^–
On suppose de plus que, pour tout k ∈ {1, …, n}, z_k^– ∈ Z.
Montrer alors que le polynôme P est réel.
Soient (r, θ) ∈ ℝ_+^∗ × ℝ et P ∈ ℝ[X] tel que P(re^(iθ)) = re^(− iθ).
14. Montrer que P(rR(θ)) = ^t(rR(θ)).
Lorsque sinθ ≠ 0, on pourra utiliser la division euclidienne de P par le polynôme caractéristique χ de la matrice rR(θ) de M_2.
15. Montrer que si A ∈ M_n vérifie la condition ( C_4 ), alors A vérifie la condition ( C_1 ).

VI. Exponentielle d'une matrice normale

  1. Pour tout (r, θ) ∈ ℝ^∗ × ℝ, montrer que les séries ∑_(k ∈ ℕ)(r^k cos(kθ))/(k!) et ∑_(k ∈ ℕ)(r^k sin(kθ))/(k!) convergent et calculer leur somme.
L'espace vectoriel M_n est désormais muni de la norme ‖.‖_∞ définie par :
∀A = (A_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n, ‖A‖_∞ = max_(1 ⩽ i, j ⩽ n)|A_(i, j)|
  1. Montrer que, pour tout (A, B) ∈ M_n^2, ‖AB‖_∞ ⩽ n‖A‖_∞‖B‖_∞.
Pour A ∈ M_n et p ∈ ℕ, on pose S_p(A) = ∑_(k = 0)^p 1/(k!)A^k.
18. Montrer que la suite (S_p(A))_(p ∈ ℕ) converge dans M_n, vers une limite que l'on notera Exp(A), et que:
∀Q ∈ O_n, Exp(^t QAQ) = ^t QExp(A)Q
On pourra montrer que, pour tous 1 ⩽ i, j ⩽ n, la série numérique ∑_(k ∈ ℕ)((A^k)_(i, j))/(k!) est absolument convergente.
19. Montrer que l'ensemble E_n constitué des matrices normales de M_n est un fermé de M_n. Qu'en déduit-on pour Exp(A), lorsque A ∈ E_n ?
20. Soit (r, θ) ∈ ℝ × ℝ. Montrer que Exp(rR(θ)) = e^(rcosθ)R(rsinθ).
En déduire que Exp(E_n) est l'ensemble des matrices de M_n orthogonalement semblable aux matrices diagonales par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
  • soit du type (μ) ∈ M_1, avec μ > 0
  • soit du type αR(β) ∈ M_2, avec α > 0 et β ∈ ℝ.
On note S_n^(+ +)l'ensemble des matrices symétriques de M_n à valeurs propres strictement positives, et F_n l'ensemble des matrices B de M_n vérifiant les deux conditions :
  • les valeurs propres négatives de B sont de multiplicité paire
  • il existe S ∈ S_n^(+ +)et T ∈ SO_n telles que B = ST = TS.
  1. Démontrer que Exp(E_n) = F_n.
  2. La matrice B = (B_(i, j)) ∈ M_n définie par :
B_(i, j) = {1, si 1 ⩽ i + 1 = j ⩽ n ou (i, j) = (n, 1); 0, sinon
est-elle l'exponentielle d'une matrice de E_n ?
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés les termes de la licence
    Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2020 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2020 ?

Sur les matrices normales réelles : équivalence de quatre caractérisations, dont une réduction orthogonale par blocs, puis exponentielle de matrice et image des matrices normales par l'exponentielle.

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines-Ponts maths 2 PSI 2020 ?

L'algèbre linéaire et surtout bilinéaire (produit scalaire, matrices orthogonales, théorème spectral), les polynômes de matrices, les séries numériques et les espaces vectoriels normés de dimension finie.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Mines maths 2 PSI 2020 ?

Des définitions de cours incomplètes (relation d'équivalence, théorème spectral), des erreurs de logique en Q7, des récurrences mal posées en Q12, la confusion entre P(A) et la matrice des P(ai,j) en Q14 et des convergences mal justifiées en Q16.

Quelles questions du Mines maths 2 PSI 2020 étaient les plus abordables ?

Selon le rapport, les dix premières questions étaient largement abordables avec de la rigueur. Les questions 11, 12, 15, 20 et 21 demandaient davantage d'initiative.

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