Mines Mathématiques 1 PSI 2020Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents de dimension maximale (théorème de Gerstenhaber)

Le sujet démontre qu'un sous-espace vectoriel d'endomorphismes nilpotents de dimension n(n-1)/2 est trigonalisable en matrices triangulaires supérieures strictes dans une base commune. Il enchaîne des généralités sur les endomorphismes nilpotents, une représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien, deux lemmes sur les sous-espaces nilpotents, puis une preuve par récurrence sur la dimension.

1Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotentsTrigonalisation d'une matrice nilpotente, traces de ses puissances, nilindice et familles libres de la forme (x, u(x), ..., u^(p-1)(x)).
2Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidienIsomorphisme entre E et l'espace des formes linéaires via le produit scalaire, puis étude des endomorphismes a ⊗ x et de leur trace.
3Partie III : deux lemmesIdentité sur les traces tr(u^k v) = 0 et condition suffisante d'existence d'un vecteur propre commun aux éléments d'un sous-espace nilpotent.
4Partie IV : démonstration du théorème BRécurrence sur la dimension à l'aide d'une projection orthogonale sur un hyperplan et de calculs de dimensions par le théorème du rang.

Difficile. Le jury qualifie le problème de très long et d'un niveau conceptuel élevé, la fin du sujet ayant rarement été abordée.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Formule du binôme appliquée à tort · Liberté d'une famille concaténée · Dimension de L(E, R) et isomorphisme

Le problème, très long et d'un niveau conceptuel élevé, mêle algèbre linéaire, réduction et algèbre euclidienne. Les nombreuses questions proches du cours ont permis de bien classer les candidats, mais le cours est souvent mal maîtrisé. Les correcteurs ont été surpris par le manque de rigueur, surtout en algèbre, et par le peu de soin des copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formule du binôme appliquée à tortQ8, Q10
Une très grande majorité de candidats développe (u + tv)^k par la formule du binôme alors que u et v ne commutent pas ; cette erreur n'a rapporté aucun point.
« La formule du binôme, qui ne s’applique pas, est utilisée par une très grande majorité de candidats. »
2
Liberté d'une famille concaténéeQ3
La liberté de la seconde famille a rarement été prouvée correctement : réunir deux familles libres ne donne pas en général une famille libre.
« Rappelons que la « concaténation » de deux familles libres n’est en général pas libre. »
3
Dimension de L(E, R) et isomorphismeQ5
Des dimensions fantaisistes ont été proposées ; l'isomorphisme exigeait la linéarité, l'injectivité par un argument d'orthogonalité et l'égalité des dimensions.
« Nous avons sanctionné des arguments du type : en dimension finie, une application injective est bijective. »
4
Somme de nilpotentsQ9
Beaucoup de copies affirment que la somme de deux endomorphismes nilpotents est nilpotente, ce qui est faux en général ; il fallait utiliser que V est un sous-espace vectoriel.
5
Espace NB et nilindiceQ2
La structure d'espace vectoriel est parfois mal justifiée, la dimension doit s'appuyer sur un isomorphisme avec les matrices triangulaires supérieures strictes, et il faut prouver que le nilindice vaut exactement n.
6
Confusion entre objets abstraitsQ6, Q12
À partir de la question 6, les objets deviennent abstraits et les candidats les confondent ; les notations de la question 12 sont rarement maîtrisées.
« Il y a ici beaucoup de confusion entre les objets, qui commencent à devenir vraiment abstraits. »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 est souvent traitée assez correctement, avec des variantes possibles.
La liberté de la famille (x, u(x), ..., u^(p-1)(x)) à la question 3 est presque toujours bien établie.

Conseils du jury

Travailler le cours : résultats, théorèmes et techniques du programme doivent être maîtrisés.
Faire référence explicitement aux questions utilisées et ne pas qualifier une démonstration d'évidente.
Utiliser correctement les quantificateurs, souligner ou encadrer les résultats et soigner la présentation.
Faire confiance à l'énoncé plutôt qu'à un résultat personnel qui simplifie tout.
Pour la question 14, penser à appliquer deux fois le théorème du rang.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des

R

-espaces vectoriels de dimension finie. Soit

E

un tel espace vectoriel et

u

un endomorphisme de

E

. On dit que

u

est nilpotent lorsqu'il existe un entier

p \geq 0

tel que

u^p = 0

; le plus petit de ces entiers est alors noté

ν(u)

et appelé nilindice de

u

, et l'on notera qu'alors

u^k = 0

pour tout entier

k \geq ν(u)

. On rappelle que

u^0 = id_E

. L'ensemble des endomorphismes nilpotents de

E

est noté

N(E)

: on prendra garde au fait qu'il ne s'agit a priori pas d'un sous-espace vectoriel de

L(E)

Un sous-espace vectoriel

V

L(E)

est dit nilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsque

V \subset N(E)

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note

T_n^(+ +)(R)

l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de

M_n(R)

. On admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de

M_n(R)

, de dimension

(n(n - 1))/2

Dans un sujet antérieur du concours (PSI Maths II 2016), le résultat suivant a été établi :

Théorème A .

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n > 0

, et

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

. Alors,

dimV \leq (n(n - 1))/2

Le théorème

A

est ici considéré comme acquis. L'objectif du présent sujet est de déterminer les sous-espaces vectoriels nilpotents de

L(E)

dont la dimension est égale à

(n(n - 1))/2

. Plus précisément, on se propose d'établir le résultat suivant (Gerstenhaber, 1958) :

Théorème B .

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n > 0

, et

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

de dimension

(n(n - 1))/2

. Il existe alors une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme

C)

, et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme

D

). Dans l'ultime partie IV, les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème

B

par récurrence sur la dimension de l'espace

E

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n > 0

. Soit

u \in N(E)

. On choisit une matrice carrée

M

représentant l'endomorphisme

u

Démontrer que $M$ est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coefficients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que $tru^k = 0$ pour tout $k \in N^*$ .

On fixe une base

B = (e_1, \dots, e_n)

E

. On note

N_B

l'ensemble des endomorphismes de

E

dont la matrice dans

B

est triangulaire supérieure stricte.
2. Justifier que

N_B

est un sous-espace vectoriel de

L(E)

de dimension

(n(n - 1))/2

, et mettre en évidence dans

N_B

un élément nilpotent de nilindice

n

. On pourra introduire l'endomorphisme

u

E

défini par

u(e_i) = e_(i - 1)

pour tout

i \in [ [2, n] ]

, et

u(e_1) = 0

.
3. Soit

u \in L(E)

. On se donne deux vecteurs

x

y

E

, ainsi que deux entiers

p \geq q \geq 1

tels que

u^p(x) = u^q(y) = 0, u^(p - 1)(x) \neq 0

u^(q - 1)(y) \neq 0

. Montrer que la famille

(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x))

est libre, et que si

(u^(p - 1)(x), u^(q - 1)(y))

est libre alors

(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x), y, u(y), \dots, u^(q - 1)(y))

est libre.
4. Soit

u \in N(E)

, de nilindice

p

. Déduire de la question précédente que

p \leq n

et que si

p \geq n - 1

p \geq 2

alors

Imu^(p - 1) = Imu \cap Keru

Imu^(p - 1)

est de dimension 1 .

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien

(E, (- | -))

. Lorsque

a

désigne un vecteur de

E

, on note

φ_a : {E, ⟶ R; x, ⟼ (a|x).

Calculer la dimension de $L(E, R)$ en fonction de celle de $E$ . Montrer que $a \mapsto φ_a$ définit un isomorphisme de $E$ sur $L(E, R)$ .

Étant donné

a \in E

x \in E

, on notera désormais

a \otimes x

l'application de

E

dans lui-même définie par :

\forallz \in E, (a \otimes x)(z) = (a|z) \cdot x

On fixe $x \in E∖{0}$ . Montrer que l'application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur ${u \in L(E) : Imu \subset Vect(x)}$ .
Soit $a \in E$ et $x \in E∖{0}$ . Montrer que $tr(a \otimes x) = (a|x)$ .

III Deux lemmes

On considère ici un espace euclidien

(E, (- | -))

de dimension

n > 0

. On rappelle que l'on a démontré à la question 4 que le nilindice d'un élément de

N(E)

est toujours inférieur ou égal à

n

. Soit

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

contenant un élément non nul. On note

p:=max_(u \in V)ν(u),

appelé nilindice générique de

V

. On a donc

p \geq 2

.
On introduit le sous-ensemble

V^∙

E

formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles

Imu^(p - 1)

pour

u

dans

V

; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré

K(V):=Vect(V^∙).

Enfin, étant donné

x \in E

, on pose

Vx:={v(x)|v \in V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme C. Soit

u

v

dans

V

. Alors

tr(u^k v) = 0

pour tout entier naturel

k

.
Lemme D. Soit

x

dans

V^∙∖{0}

. Si

K(V) \subset Vect(x) + Vx

, alors

v(x) = 0

pour tout

v

dans

V

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires

u

v

V

.
8. Soit

k \in N^*

. Montrer qu'il existe une unique famille

(f_0^((k)), \dots, f_k^((k)))

d'endomorphismes de

E

telle que

\forallt \in R, (u + tv)^k = \sum_(i = 0)^k t^i f_i^((k)).

Montrer en particulier que

f_0^((k)) = u^k

f_1^((k)) = \sum_(i = 0)^(k - 1)u^i vu^(k - 1 - i)

. Pour l'unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
9. À l'aide de la question précédente, montrer que

\sum_(i = 0)^(p - 1)u^i vu^(p - 1 - i) = 0

.
10. Étant donné

k \in N

, donner une expression simplifiée de

tr(f_1^((k + 1)))

, et en déduire la validité du lemme

C

.
11. Soit

y \in E

. En considérant, pour un

a \in K(V)^⊥

quelconque, la fonction

t \in R \mapsto (a|(u + tv)^(p - 1)(y))

, démontrer que

f_1^((p - 1))(y) \in K(V)

. À l'aide d'une relation entre

u(f_1^((p - 1))(y))

v(u^(p - 1)(y))

, en déduire que

v(x) \in u(K(V))

pour tout

x \in Imu^(p - 1)

.
12. Soit

x ∈ V^∙∖{0}

tel que

K(V) \subset Vect(x) + Vx

. On choisit

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

.
Étant donné

y \in K(V)

, montrer que pour tout

k \in N

il existe

y_k \in K(V)

λ_k \in R

tels que

y = λ_k x + u^k(y_k)

. En déduire que

K(V) \subset Vect(x)

puis que

v(x) = 0

pour tout

v \in V

IV Démonstration du théorème $B$

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème

B

par récurrence sur l'entier

n

. Le cas

n = 1

est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel

n \geq 2

et on suppose que pour tout espace vectoriel réel

E^'

de dimension

n - 1

et tout sous-espace vectoriel nilpotent

V^'

L(E^')

, de dimension

((n - 1)(n - 2))/2

, il existe une base de

E^'

dans laquelle tout élément de

V^'

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n

, ainsi qu'un sous-espace vectoriel nilpotent

V

L(E)

, de dimension

(n(n - 1))/2

. On munit

E

d'un produit scalaire

(- | -)

, ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire

x

E∖{0}

. On pose

H:=Vect(x)^⊥, Vx:={v(x)|v ∈ V} et W:={v ∈ V : v(x) = 0}

On note

π

la projection orthogonale de

E

sur

H

. Pour

u \in W

, on note

u¯

l'endomorphisme de

H

défini par

\forallz \in H, u¯(z) = π(u(z))

On considère enfin les ensembles

V^–:={u¯|u ∈ W} et Z:={u ∈ W : u¯ = 0}

Montrer que $Vx, W, V^-$ et $Z$ sont des sous-espaces vectoriels respectifs de $E$ , $V, L(H)$ et $V$ .
Montrer que

dimV = dim(Vx) + dimZ + dimV^-

Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que

Z = {a \otimes x|a \in L} et dimL = dimZ,

et montrer qu'alors

x \in L^⊥

.
16. En considérant

u

(a \otimes x)

pour

u \in V

a \in L

, déduire du lemme

C

que

Vx \subset L^⊥

, et que plus généralement

u^k(x) \in L^⊥

pour tout

k \in N

et tout

u \in V

.
17. Justifier que

λx \notin Vx

pour tout

λ \in R^*

, et déduire alors des deux questions précédentes que

dimVx + dimL \leq n - 1

Soit $u \in W$ . Montrer que $(u¯)^k(z) = π(u^k(z))$ pour tout $k \in N$ et tout $z \in H$ . En déduire que $V^-$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$ .
Déduire des questions précédentes et du théorème $A$ que

dimV^- = ((n - 1)(n - 2))/2, dim(Vect(x) \oplus Vx) + dimL = n

L^⊥ = Vect(x) \oplus Vx

En déduire que

Vect(x) \oplus Vx

contient

v^k(x)

pour tout

v \in V

et tout

k \in N

.
20. En appliquant, entre autres, l'hypothèse de récurrence et la question 19, montrer que le nilindice générique de

V

est supérieur ou égal à

n - 1

, et que si en outre

Vx = {0}

alors il existe une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Compte tenu du résultat de la question 20 , il ne nous reste plus qu'à établir que l'on peut choisir le vecteur

x

de telle sorte que

Vx = {0}

On choisit

x

dans

V^∙∖{0}

(l'ensemble

V^∙

a été défini dans la partie III). On note

p

le nilindice générique de

V

, et l'on fixe

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

. On rappelle que

p \geq n - 1

d'après la question 20 .
21. Soit

v \in V

tel que

v(x) \neq 0

. Montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

. On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.
22. On suppose qu'il existe

v_0

dans

V

tel que

v_0(x) \neq 0

. Soit

v \in V

. En considérant

v + tv_0

pour

t

réel, montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

.
On pourra s'inspirer de la méthode de la question 11.
23. Conclure.

Fin du problème

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Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts PSI 2020 ?

Il établit qu'un sous-espace vectoriel d'endomorphismes nilpotents de dimension n(n-1)/2 admet une base commune dans laquelle tous ses éléments sont triangulaires supérieurs stricts. Il mobilise l'algèbre linéaire, la réduction et l'algèbre euclidienne.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines PSI 2020 ?

L'erreur la plus fréquente est l'usage de la formule du binôme pour des endomorphismes qui ne commutent pas, sanctionnée par zéro point. Le jury cite aussi des familles concaténées déclarées libres sans preuve, des dimensions fausses pour L(E, R) et l'idée erronée qu'une somme de nilpotents est nilpotente.

Le sujet de maths 1 Mines-Ponts PSI 2020 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme très long et d'un niveau conceptuel élevé. Les questions proches du cours ont toutefois permis de bien évaluer les candidats, et la dernière partie a rarement été abordée.

Quels conseils de rédaction donne le rapport Mines PSI maths 1 2020 ?

Le jury demande plus de rigueur, des références explicites aux questions utilisées, des quantificateurs bien employés, des résultats encadrés et des copies propres.

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CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Théorème A .

Théorème B .

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

III Deux lemmes

IV Démonstration du théorème B

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de maths 1 Mines-Ponts PSI 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines PSI 2020 ?

Le sujet de maths 1 Mines-Ponts PSI 2020 est-il difficile ?

Quels conseils de rédaction donne le rapport Mines PSI maths 1 2020 ?

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IV Démonstration du théorème $B$