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Mines Mathématiques 1 PSI 2022Sujet et rapport du jury

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier

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Présentation du sujet

Difficile
Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier
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Le problème cherche à estimer, quand n tend vers l'infini, le nombre de façons d'écrire n comme somme d'entiers sans tenir compte de l'ordre. Il introduit une fonction génératrice P de variable complexe, l'étudie au voisinage de 1 en variable réelle, montre qu'elle est la somme de la série entière des nombres de partitions, puis la contrôle pour obtenir une majoration proche de la formule de Hardy et Ramanujan. C'est un problème d'analyse avec quelques questions de dénombrement.

  1. 1Partie A : fonctions L et PSérie entière du logarithme complexe, fonction de dérivée nulle, produit infini et non-annulation de P.
  2. 2Partie B : développement asymptotique en variable réelleFonction partie fractionnaire recentrée, formule de Stirling, interversion série-intégrale, continuité d'intégrales à paramètre, séries alternées et développement de ln P(e^(-t)) quand t tend vers 0.
  3. 3Partie C : développement de P en série entièreDénombrement des partitions, produit de séries entières, rayon de convergence et formule intégrale pour le nombre de partitions.
  4. 4Parties D et E : contrôle de P et conclusionMajorations fines du quotient P(xe^(iθ))/P(x), puis estimation du nombre de partitions quand n tend vers l'infini.

Difficile. Le jury juge le sujet très long, avec des questions vraiment difficiles, et les deux dernières parties n'ont pour ainsi dire pas été abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,8 / 20 · écart-type 4,01 · 3 618 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,8/ 20
Écart-type
4,01
Présents
3 618
Durée
3 h
moyenne 9,805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 19 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Série entière non reconnue · Réflexes réels appliqués aux complexes · Continuité par morceaux mal définie
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Le sujet mobilise presque tous les outils d'analyse des deux années. Il est très long, mais ses trois premières parties, relativement indépendantes, ont permis d'étalonner les copies de façon très satisfaisante. Le jury rappelle que la maîtrise des techniques et des résultats du cours est indispensable, ce que beaucoup de candidats ont compris.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Série entière non reconnueQ2

    En Q2, peu de candidats voient une série entière de rayon strictement supérieur à 1. Certains confondent un intervalle inclus dans [−1, 1] avec un intervalle qui le contient, d'autres dérivent terme à terme sans justification.

    « Peu d’entre eux reconnaissent une série entière dont le rayon est strictement supérieur à 1. »
  2. 2
    Réflexes réels appliqués aux complexesQ3, Q5

    Le logarithme principal n'est pas utilisable en Q3. En Q5, beaucoup justifient P(z) ≠ 0 en affirmant que l'exponentielle est à valeurs strictement positives, ce qui est faux sur C.

    « Peu de candidats ont traité correctement cette question, a priori facile. »
  3. 3
    Continuité par morceaux mal définieQ6

    Une question élémentaire souvent imparfaite : il faut des limites finies à gauche et à droite aux bornes, et la parité de |q| demande de traiter à part le cas des entiers.

    « Rappelons que le caractère continu par morceaux nécessite l’existence de limites à gauche et à droite aux bornes. »
  4. 4
    Découpage d'intégrale mal menéQ8

    Le calcul demande de découper l'intégrale en morceaux, par récurrence ou par une somme.

    « Le calcul n’est bien mené que chez une petite moitié de candidats. »
  5. 5
    Interversion série-intégrale non justifiéeQ10

    Il faut invoquer le théorème d'intégration terme à terme ou la convergence dominée appliquée aux sommes partielles.

    « Un calcul uniquement formel était faiblement récompensé. »
  6. 6
    Coefficients d'une série entière dépendant de la variableQ18

    Question assez élémentaire, mais de nombreuses copies proposent des coefficients qui dépendent de z.

Ce qui a été bien réussi

  • En Q1, plusieurs arguments corrects ont été proposés pour la convergence de la série : lemme d'Abel, règle de d'Alembert, comparaison à une série géométrique.
  • En Q12, beaucoup de candidats ont appliqué assez correctement le théorème de continuité des intégrales à paramètre sur R+*.
  • Les correcteurs ont valorisé les candidats qui traçaient un ou deux graphes en Q6 et ceux qui signalaient l'erreur de signe de l'énoncé en Q13.

Conseils du jury

  • Maîtriser les techniques et les résultats du cours d'analyse des deux années.
  • Citer précisément le théorème utilisé pour chaque interversion de symboles.
  • Tracer un graphe quand une fonction nouvelle est introduite : les correcteurs valorisent cette initiative.
  • Signaler une erreur d'énoncé repérée : cela a été récompensé.
  • Donner des arguments concis mais précis dans les questions de dénombrement.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier

L'objectif de ce problème est l'étude asymptotique du nombre de partitions d'un entier naturel n, c'est-à-dire du nombre de décompositions de n en somme d'entiers naturels non nuls (sans tenir compte de l'ordre des termes). Une définition rigoureuse de ce nombre, noté p_n, est donnée en début de partie C. Dans la partie A, on introduit une fonction P de variable complexe; dans la fin de la partie C on démontre qu'il s'agit de la somme, sur le disque unité ouvert complexe, de la série entière ∑_(n ≥ 0)p_n z^n. Dans la partie B, on étudie P au voisinage de 1 en variable réelle. Cette étude est mise à profit, dans la partie D, pour obtenir une domination de bonne qualité de la suite (p_n).
Tout au long du problème, le disque unité ouvert de C sera noté
D = {z ∈ C : |z| < 1}.
On admettra aussi l'identité classique suivante :
∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6

A. Fonctions L et P

1▹ Soit z ∈ D. Montrer la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)(z^n)/n. Préciser la valeur de sa somme lorsque z ∈ ] − 1, 1[. On notera
L(z):=∑_(n = 1)^(+ ∞)(z^n)/n.
2▹ Soit z ∈ D. Montrer que la fonction Φ : t ↦ L(tz) est dérivable sur un intervalle ouvert incluant [ − 1, 1] et donner une expression simple de sa dérivée sur [ − 1, 1].
3▹ Soit z ∈ D. Montrer que la fonction Ψ : t ↦ (1 − tz)e^(L(tz)) est constante sur [0, 1], et en déduire que
exp(L(z)) = 1/(1 − z)
4▹ Montrer que |L(z)| ≤ − ln(1 − |z|) pour tout z dans D.
En déduire que la série ∑_(n ≥ 1)L(z^n) est convergente pour tout z dans D.
Dans la suite, pour tout z ∈ D on note
P(z):=exp[∑_(n = 1)^(+ ∞)L(z^n)].
5▹ Soit z ∈ D. Vérifier que P(z) ≠ 0, que
P(z) = lim_(N → + ∞)∏_(n = 1)^N 1/(1 − z^n)
et que pour tout réel t > 0,
lnP(e^(− t)) = − ∑_(n = 1)^(+ ∞)ln(1 − e^(− nt)).

B. Développement asymptotique en variable réelle

Dans cette partie, on introduit la fonction q qui à tout réel x associe le nombre réel q(x) = x − ⌊x⌋ − 1/2, où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
6▹ Montrer que q est continue par morceaux sur R, qu'elle est 1 -périodique et que la fonction |q| est paire.
7▹ Montrer que ∫_1^(+ ∞)(q(u))/(e^(tu) − 1) du est bien définie pour tout réel t > 0.
8▹ Montrer que pour tout entier n > 1,
∫_1^n(q(u))/u du = ln(n!) + (n − 1) − nln(n) − 1/2ln(n) = ln((n!e^n)/(n^n√n)) − 1.
9▹ Montrer que ∫_(⌊x⌋)^x(q(u))/u du tend vers 0 quand x tend vers + ∞, et en déduire la convergence de l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(q(u))/u du, ainsi que l'égalité
∫_1^(+ ∞)(q(u))/u du = (ln(2π))/2 − 1.
10▹ À l'aide d'un développement en série sous l'intégrale, montrer que
∫_0^(+ ∞)ln(1 − e^(− u))du = − (π^2)/6.
11▹ Montrer que
∫_0^1 ln((1 − e^(− tu))/t)du ⟶ _(t → 0^+) − 1.
On pourra commencer par établir que x ↦ (1 − e^(− x))/x est décroissante sur R_+^∗.
Pour k ∈ N^∗ et t ∈ R_+, on pose
u_k(t) = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du si t > 0, et u_k(t) = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(q(u))/u du si t = 0
12▹ Montrer que u_k est continue sur R_+pour tout k ∈ N^∗.
13▹ Soit t ∈ R_+^∗. Montrer successivement que |u_k(t)| = ∫_(k/2)^((k + 1)/2)(t|q(u)|)/(e^(tu) − 1) du puis u_k(t) = (− 1)^k|u_k(t)| pour tout entier k ≥ 1, et établir enfin que
∀n ∈ N^∗, |∑_(k = n)^(+ ∞)u_k(t)| ≤ 1/(2n)
On admettra dans la suite que cette majoration vaut encore pour t = 0.
14▹ En déduire que
∫_1^(+ ∞)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du ⟶ _(t → 0^+)(ln(2π))/2 − 1
15▹ Montrer, pour tout réel t > 0, l'identité
∫_1^(+ ∞)(tq(u))/(e^(tu) − 1) du = − 1/2ln(1 − e^(− t)) − lnP(e^(− t)) − ∫_1^(+ ∞)ln(1 − e^(− tu))du
16▹ Conclure que
lnP(e^(− t)) = (π^2)/(6t) + (ln(t))/2 − (ln(2π))/2 + o(1) quand t tend vers 0^+

C. Développement de P en série entière

Pour (n, N) ∈ N × N^∗, on note P_(n, N) l'ensemble des listes (a_1, …, a_N) ∈ N^N telles que ∑_(k = 1)^N ka_k = n. Si cet ensemble est fini, on note p_(n, N) son cardinal.
17 ▹ Soit n ∈ N. Montrer que P_(n, N) est inclus dans [ [0, n] ]^N et non vide pour tout N ∈ N^∗, que la suite (p_(n, N))_(N ≥ 1) est croissante et qu'elle est constante à partir du rang max(n, 1).
Dans toute la suite, on notera p_n la valeur finale de (p_(n, N))_(N ≥ 1).
18▹ Soit N ∈ N^∗. Donner une suite (a_(n, N))_(n ∈ N) telle que
∀z ∈ D, 1/(1 − z^N) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_(n, N)z^n
En déduire, par récurrence, la formule
∀N ∈ N^∗, ∀z ∈ D, ∏_(k = 1)^N 1/(1 − z^k) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_(n, N)z^n
19▹ On fixe ℓ ∈ N et x ∈ [0, 1[. En utilisant le résultat de la question précédente, établir la majoration ∑_(n = 0)^ℓ p_n x^n ≤ P(x). En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑_n p_n z^n.
20▹ Soit z ∈ D. En examinant la différence ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n z^n − ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_(n, N)z^n, démontrer que
P(z) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)p_n z^n
21▹ Soit n ∈ N. Montrer que pour tout réel t > 0,
p_n = (e^(nt)P(e^(− t)))/(2π)∫_(− π)^π e^(− inθ)(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))dθ
Dans le reste du problème, l'objectif est d'utiliser la formule (1) pour obtenir un contrôle assez fin du nombre p_n lorsque n tend vers + ∞.

D. Contrôle de P

22▹ Soit x ∈ [0, 1[ et θ ∈ R. En utilisant la fonction L, montrer que
|(1 − x)/(1 − xe^(iθ))| ≤ exp(− (1 − cosθ)x)
En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout réel θ,
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(1 − x) + Re(1/(1 − xe^(iθ))))
23▹ Soit x ∈ [0, 1[ et θ un réel. Montrer que
1/(1 − x) − Re(1/(1 − xe^(iθ))) ≥ (x(1 − cosθ))/((1 − x)((1 − x)^2 + 2x(1 − cosθ)))
En déduire que si x ≥ 1/2 alors
|(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− (1 − cosθ)/(6(1 − x)^3)) ou |(P(xe^(iθ)))/(P(x))| ≤ exp(− 1/(3(1 − x)))
Pour ce dernier résultat, on distinguera deux cas selon les valeurs relatives de x(1 − cosθ) et (1 − x)^2.
24▹ Montrer qu'il existe un réel α > 0 tel que
∀θ ∈ [ − π, π], 1 − cosθ ≥ αθ^2
En déduire qu'il existe trois réels t_0 > 0, β > 0 et γ > 0 tels que, pour tout t ∈ ]0, t_0] et tout θ ∈ [ − π, π],
|(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))| ≤ e^(− β(t^(− 3/2)θ)^2) ou |(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))| ≤ e^(− γ(t^(− 3/2)|θ|)^(2/3))
25▹ En déduire que
∫_(− π)^π e^(− i(π^2 θ)/(6t^2))(P(e^(− t)e^(iθ)))/(P(e^(− t)))dθ = O(t^(3/2)) quand t tend vers 0^+

E. Conclusion

26▹ En prenant t = π/(√(6n)) dans (1), conclure que
p_n = O((exp(π√((2n)/3)))/n) quand n tend vers + ∞
Épilogue. Le dernier résultat est très proche de l'optimalité. Par une analyse plus fine de l'intégrale dans la formule (1), on peut en effet établir l'équivalent
p_n ∼ (exp(π√((2n)/3)))/(4√3n) quand n → + ∞,
formule découverte par Hardy et Ramanujan en 1918.

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2022 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 1 PSI 2022 ?

Sur presque toute l'analyse des deux années : séries, séries de fonctions, séries entières, intégrales à paramètre, convergence dominée et étude asymptotique, avec quelques questions de dénombrement.

Quelles erreurs le jury de Mines maths 1 PSI 2022 a-t-il relevées ?

Une série entière non reconnue en Q2, l'exponentielle supposée positive sur C en Q5, une définition incomplète de la continuité par morceaux en Q6 et des interversions série-intégrale purement formelles en Q10.

Le sujet Mines maths 1 PSI 2022 est-il difficile ?

Oui. Le jury le juge très long, avec certaines questions vraiment difficiles comme la Q11, et les parties D et E n'ont presque pas été abordées.

Quelles parties du sujet Mines maths 1 PSI 2022 travailler en priorité ?

Les trois premières parties, relativement indépendantes, sont celles qui ont permis de classer les candidats. Plusieurs questions y sont très proches du cours.

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