WikiPrépaLivrets

Sujet Centrale Mathématiques 2 PSI 2024

Faisable en Sup

Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2024FilièrePSIMatièreMathématiques
Annales Centrale PSI MathématiquesCentrale PSI 2024PSI MathématiquesMathématiques 2024

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Centrale Mathématiques 2 PSI 2024

Série harmonique et constante d'Euler : collectionneur de vignettes, expressions intégrales de gamma et série entière de terme ln(n)

Le sujet part de la convergence de la suite qui définit la constante d'Euler, puis l'applique au problème du collectionneur de vignettes. Il établit ensuite plusieurs expressions intégrales de cette constante (interversion série-intégrale, convergence dominée, fonction Gamma), en tire une valeur approchée, et termine par l'étude aux bornes de la somme de la série entière de terme général ln(n)x^n.

  1. 1Partie I : convergence de la suite (a_n)Équivalent par développements limités et lien suite-série pour définir la constante d'Euler.
  2. 2Partie II : problème du collectionneur de vignettesLois géométriques, indépendance, espérance, variance et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
  3. 3Partie III : une première expression intégraleInterversion série-intégrale à partir de sommes géométriques et télescopiques.
  4. 4Partie IV : une deuxième expression intégraleSuite de fonctions, inégalité des accroissements finis et deux applications de la convergence dominée.
  5. 5Partie V : deux autres expressions intégralesÉtude de la fonction Gamma : définition, classe C1, relation fonctionnelle et dérivée logarithmique.
  6. 6Partie VI : valeur approchée de la constanteIntégrations par parties successives et majoration d'erreur par une somme.
  7. 7Partie VII : série entière aux bornes de l'intervalle de convergenceRayon de convergence, produit de Cauchy, équivalent en 1 et limite en -1.
Difficulté moyenneSéries numériquesIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsIntégrales à paramètreSéries entièresVariables aléatoires discrètes : loi géométrique, indépendance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Le rapport décrit un sujet assez long mais de difficulté raisonnable, avec de nombreuses questions classiques et quelques questions plus pointues.

L'épreuve en chiffres

Moyenne
9,27 / 20
Écart-type
4,1
Candidats présents
4 159
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,3
Médiane
9,2
3e quartile
12,1

Entrez la note sur 20 obtenue à ce sujet en conditions de concours.

Estimation à partir de la moyenne (9,27) et de l'écart-type (4,1) officiels, en supposant une répartition des notes proche d'une loi normale.

Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant).

Ce qu'a observé le jury

Le sujet, long et riche en questions classiques, a donné des copies fournies ; la rigueur dans l'application des théorèmes d'analyse a fait la différence. Le jury relève des confusions entre notions de convergence et des copies faibles en probabilités, y compris chez des candidats solides ailleurs. Deux coquilles de l'énoncé (Q17 et Q37) sont signalées, et Q17 a été notée en conséquence.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1.Développements limités et équivalents mal manipulésQ1, Q15, Q23

    Sommes d'équivalents, terme d'ordre 2 de ln(1+x) faux, erreurs de signe : la recherche d'équivalent de Q1 a été très peu réussie.

    « Les principales sources d'erreurs ont été les manipulations de développements limités (somme d'équivalents ou autres). »
  2. 2.Lois et indépendance en probabilitésQ5 à Q8

    Décalages d'indice menant à des probabilités négatives, paramètre de loi géométrique supérieur à 1, indépendances affirmées sans justification, confusion entre indépendance mutuelle et deux à deux.

    « le jury rappelle également aux candidats que la loi d'une variable aléatoire n'est pas toujours une loi usuelle »
  3. 3.Hypothèses d'intégrabilité incomplètesQ20, Q27, Q28

    Le jury attend continuité par morceaux, intervalle ouvert, signe ou intégrabilité pour comparer, croissances comparées : ces éléments sont rarement tous présents.

    « Il est rare d'avoir tous ces éléments réunis. »
  4. 4.Convergence dominée mal appliquéeQ21, Q22

    Le théorème ne s'applique pas sur un intervalle qui dépend de n, et la partie où f_n est nulle doit aussi être dominée.

    « Question très mal traitée. Beaucoup de candidats invoquent une convergence dominée »
  5. 5.Inégalité des accroissements finis oubliéeQ24

    Ce résultat de première année est très mal connu, et les valeurs absolues disparaissent sans précaution.

  6. 6.Règle de d'Alembert et équivalents peu rigoureuxQ34, Q38, Q43

    Valeurs absolues omises, confusion entre la limite du quotient et son inverse ; une différence tendant vers 0 ne suffit pas à prouver une équivalence.

    « L'emploi du critère de d'Alembert est souvent insuffisamment rigoureux: les valeurs absolues sont souvent oubliées »

Ce qui a été bien réussi

  • Le critère de Riemann et le lien suite-série sont en général connus (Q1, Q2).
  • L'application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (Q10) est souvent correcte.
  • Q16, Q25, Q31 et Q32 sont plutôt réussies par ceux qui les abordent.

Conseils du jury

  • Identifier la nature de l'objet étudié (intégrale, suite d'intégrales, série de fonctions) avant de choisir un théorème.
  • Ne pas redémontrer les résultats du programme (lien suite-série, espérance d'une loi géométrique) : les citer suffit.
  • Quand le résultat est donné par l'énoncé, ne sauter aucune étape du calcul.
  • Mettre des parenthèses après le symbole de somme et citer les questions précédentes utilisées.
  • Lire l'ensemble du sujet avant de rédiger pour repérer l'articulation entre les questions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
5.0(2 votes)

Autres épreuves de la session

Mêmes épreuves, autres années

Pour s'entraîner avec corrigé

Sujets proches (même matière, filière voisine) qui ont un corrigé.

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de maths 2 Centrale PSI 2024 ?

Sur la série harmonique et la constante d'Euler. Il couvre une large part de l'analyse (séries, intégrales généralisées, intégrales à paramètre, suites et séries de fonctions, séries entières) et des probabilités avec le problème du collectionneur de vignettes.

Quelles erreurs le jury relève-t-il en maths 2 PSI Centrale 2024 ?

Des développements limités mal maîtrisés, une convergence dominée appliquée sans vérifier ses hypothèses, une inégalité des accroissements finis mal connue et de nombreuses fautes en probabilités (lois, indépendance).

Quelle est la question la plus difficile du Centrale maths 2 PSI 2024 ?

Selon le rapport, Q11 (convergence en probabilité de N_n/(n ln n)) est probablement la plus difficile et très rarement réussie. Les questions Q45 à Q48 ont été peu, voire très peu traitées.

Y a-t-il des erreurs d'énoncé dans le sujet Centrale PSI maths 2 2024 ?

Oui. En Q17, la mention « sous forme d'une intégrale » est une erreur, dont le jury a tenu compte. En Q37, un signe est erroné devant le terme R(A)e^(-A)/A^3.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules.

Sujet en PDF

Autour de la série harmonique et de la constante d'Euler

Dans toute ce problème, on désigne par (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite dont le terme général est donné par :
∀n ∈ ℕ^∗, a_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − ln(n)
Le but de ce problème est dans un premier temps de s'assurer de la convergence de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ^∗), puis d'essayer de déterminer différentes expressions de sa limite, à l'aide d'intégrales.

I Convergence de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ^∗).

Q 1. Déterminer un équivalent lorsque n tend vers + ∞ de la différence a_(n + 1) − a_n, puis déterminer la nature de la série numérique ∑(a_(n + 1) − a_n).
Q 2. Montrer que la suite (a_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente vers un réel que l'on notera γ pour toute la suite du problème, puis que:
∑_(k = 1)^n 1/k = _(n → + ∞)ln(n) + γ + o(1).

II Application au problème du collectionneur de vignettes

Pour augmenter ses ventes, un industriel de l'agro-alimentaire qui commercialise des paquets de céréales pour le petit déjeuner décide d'insérer au fond du paquet une figurine de sportifs célèbres. Le modèle de figurine inséré dans le paquet est choisi de manière équiprobable parmi n modèles de référence.
Pour différencier les n modèles de figurines et les identifier de manière unique, on considèrera que chaque modèle de figurine porte un numéro unique entre 1 et n.
Chaque paquet de céréales contient ainsi une figurine à collectionner, que l'on ne découvre qu'à l'ouverture du paquet. On se demande combien un consommateur, que l'on va appeler ici le " collectionneur ", doit ouvrir de paquets pour posséder au moins un exemplaire de chacune des n figurines.
On décompose ce nombre de paquets N_n en N_n = τ_1 + τ_2 + … + τ_n où τ_k est le nombre de paquets supplémentaires nécessaires pour obtenir k figurines différentes quand on en a déjà k − 1 différentes.
Dans tout ce qui suit, on désignera par C_k^((i)) lévénénement "le collectionneur découvre dans le k^e paquet la figurine numérotée i^(′′)
Q 3. Déterminer la loi de N_1.
Q 4. Soit m ∈ ℕ∖{0, 1}. Quelle est la probabilité de l'événement C : "le collectionneur obtient toujours la même vignette au cours de ses m premiers achats" ?
En déduire que: ∀m ∈ ℕ^∗, ℙ(N_2 > m) = 1/(n^(m − 1)).
Q 5. Déterminer alors la loi de N_2.
Q 6. Soit k ∈ ℕ^∗. Justifier que τ_k suit une loi géométrique, dont on précisera le paramètre.
Q 7. En déduire l'espérance de la variable aléatoire N_n et établir que :
𝔼(N_n) = _(n → + ∞)n(ln(n) + γ + o(1))
Q 8. Justifier l'indépendance des variables aléatoires τ_1, τ_2, …, τ_n.
Q 9. On rappelle par ailleurs que la série ∑_(n ⩾ 1)1/(n^2) est convergente et que ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2) = (π^2)/6. Démontrer que N_n admet une variance et que: 𝕍(N_n) ⩽ (n^2 π^2)/6.
Q 10. Soit ε > 0. Démontrer que ℙ(|N_n − 𝔼(N_n)| > εnln(n)) ⟶ _(n → + ∞)0.
Q 11. Soit ε > 0. Démontrer que ℙ(|(N_n)/(nln(n)) − 1| > ε) ⟶ _(n → + ∞)0.

III Une première expression intégrale de γ

On admettra le résultat suivant : pour tous réels a et b strictement positifs, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− at) − e^(− bt))/tdt est convergente, et on a ∫_0^(+ ∞)(e^(− at) − e^(− bt))/tdt = ln(b/a).
Q 12. Démontrer que: ∀t > 0, 1/t = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(e^(− nt) − e^(− (n + 1)t))/t.
Q 13. En déduire que: ∀t > 0, e^(− t)(1/(1 − e^(− t)) − 1/t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(e^(− (n + 1)t) − (e^(− (n + 1)t) − e^(− (n + 2)t))/t).
Q 14. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− t)(1/(1 − e^(− t)) − 1/t)dt est convergente et que l'on a:
γ = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)(1/(1 − e^(− t)) − 1/t)dt

IV Une deuxième expression intégrale de γ

Q15. Soit n ∈ ℕ^∗. Étudier la continuité en 0 de la fonction t ⟼ (1 − (1 − t)^n)/t.
Q16. Soit n ∈ ℕ^∗. En remarquant que: ∫_0^1(1 − t)^(n − 1)dt = 1/n exprimer ∑_(k = 1)^n 1/k à l'aide d'une intégrale puis à l'aide d'un changement de variable affine, établir que :
∀n ∈ ℕ^∗, a_n = ∫_0^1(1 − (1 − u/n)^n)/udu − ∫_1^n((1 − u/n)^n)/udu
Q 17. Soit x ∈ [1, + ∞[. Déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand n tend vers + ∞ de la suite dont le terme général est (1 − x/n)^n.
Q 18. On considère la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie par :
∀n ∈ ℕ, f_n : {[1, + ∞[ ⟶ ℝ; t ⟼ {((1 − t/n)^n)/t, si 1 ⩽ t ⩽ n; 0, si n < t
Déterminer la limite simple de la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ).
Q 19. Démontrer que l'on a : ∀t ∈ [0, 1[, ln(1 − t) ⩽ − t.
Q 20. Établir la convergence de l'intégrale ∫_1^(+ ∞)(e^(− u))/udu.
Q 21. Justifier l'intégrabilité sur [1, + ∞[ des fonctions f_n définies dans la question précédente.
Q 22. Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand n tend vers + ∞, de la suite de terme général
∫_1^n((1 − u/n)^n)/udu
Q 23. Établir la convergence de l'intégrale ∫_0^1(1 − e^(− u))/udu.
Q 24. À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀t ∈ ]0, 1], 0 ⩽ (1 − (1 − t/n)^n)/t ⩽ 1.
Q 25. Établir la convergence, puis déterminer la limite sous forme d'une intégrale quand n tend vers + ∞, de la suite de terme général
∫_0^1(1 − (1 − u/n)^n)/udu
Q 26. En déduire que : γ = ∫_0^1(1 − e^(− u))/udu − ∫_1^(+ ∞)(e^(− u))/udu.

V Deux autres expressions intégrales de γ

Sous réserve que cela ait du sens, on appelle fonction Γ la fonction donnée par :
Γ : x ⟼ ∫_0^(+ ∞)t^(x − 1)e^(− t)dt
On désignera par u la fonction de deux variables définie par : u : {ℝ × ℝ_+^∗, ⟶ ℝ; (x, t), ⟼ t^(x − 1)e^(− t)
Q 27. Montrer que Γ est définie sur l'intervalle ]0, + ∞[.
Q 28. Montrer que Γ est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et donner une expression de sa dérivée.
Q 29. Établir que: ∀x ∈ ]0, + ∞[, Γ(x + 1) = xΓ(x).
Q 30. On admet la formule de Weierstrass :
(W) : ∀x ∈ ℝ_+^∗, 1/(Γ(x)) = xe^(γx)∏_(n = 1)^(+ ∞)(e^(− x/n)(1 + x/n))
À l'aide de la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)(x/n − ln(1 + x/n)), montrer que :
∀x > 0, (Γ^′(x))/(Γ(x)) = − 1/x − γ + ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/n − 1/(x + n))
Q 31. En déduire que Γ^′(1) = − γ, et calculer alors Γ^′(2).
Q 32. À l'aide d'un changement de variables, montrer que l'on a γ = − ∫_0^1 ln(− ln(t))dt.

VI Recherche d'une valeur approchée de γ

Dans toute cette partie, A désigne un réel strictement positif.
Q 33. Démontrer que : γ = − ln(A) + ∫_0^A(1 − e^(− u))/udu − ∫_A^(+ ∞)(e^(− u))/udu.
Q 34. Établir la convergence de la série numérique ∑((− 1)^k A^(k + 1))/((k + 1)(k + 1)!), puis en donner sa somme à l'aide d'une intégrale.
Q 35. Démontrer que: ∀x > 0, ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/u du = (e^(− x))/x − ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/(u^2) du
Q 36. Déterminer l'expression d'un polynôme R de degré 2 à coefficients réels tel que :
∀x > 0, ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/udu = (R(x)e^(− x))/(x^3) − ∫_x^(+ ∞)(6e^(− u))/(u^4)du
Q 37. Soit n ∈ ℕ tel que n > A + 1. Justifier alors que :
∀n ∈ ℕ^∗, |γ − ∑_(k = 0)^n((− 1)^k A^(k + 1))/((k + 1)(k + 1)!) − (R(A)e^(− A))/(A^3) + ln(A)| ⩽ (A^(n + 1))/((n + 1)(n + 1)!) + (6e^(− A))/(A^4)

VII Étude d'une série entière aux bornes de son disque ouvert de convergence

L'objet de cette partie du problème est d'étudier le comportement de la somme f de la série entière ∑_(n ⩾ 1)ln(n)x^n de la variable réelle x aux bornes de son intervalle ouvert de convergence.
VII.A - Rayon de convergence et première expression de la somme.
Q 38. Démontrer que la série entière ∑_(n ⩾ 1)ln(n)x^n, est de rayon de convergence égal à 1 , puis préciser le domaine de définition de la fonction f.

VII.B - Étude de f en 1.

Q 39. Déterminer la limite de f lorsque x tend vers 1 par valeur inférieure.
Q 40. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 1)(1 + 1/2 + … + 1/n)x^n de la variable réelle x dont on note alors g sa somme.
Q 41. À l'aide des deux séries entières ∑_(n ⩾ 0)x^n et ∑_(n ⩾ 1)(x^n)/n montrer que :
∀x ∈ ] − 1, 1[, g(x) = (ln(1 − x))/(x − 1)
Q 42. Montrer qu'il existe M > 0 tel que: ∀x ∈ [0, 1[, |f(x) − g(x)| ⩽ M/(1 − x).
Q 43. En déduire que f(x) ∼ _(x → 1; x < 1)g(x).

VII.C-Étude de fen-1.

On considère la suite (c_n)_(n ∈ ℕ^∗) dont le terme général est donné par :
{c_1 = − 1; ∀n ∈ ℕ∖{0, 1}, c_n = − ln(1 − 1/n) − 1/n
Q 44. Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑_(n ⩾ 1)c_n x^n de la variable réelle x, dont on note alors h sa somme, est égal à 1, puis préciser le domaine de définition de h.
Q 45. Montrer que la série numérique ∑_(n ⩾ 1)c_n converge vers la constante − γ.
Q 46. La fonction h est-elle continue en 1 ?
Q 47. Montrer que :
∀p ∈ ℕ^∗, ∑_(k = 1)^(2p)(− 1)^k c_k = ln((2^(4p)(p!)^4)/(2p((2p)!)^2)) + ∑_(k = 1)^(2p)((− 1)^(k − 1))/k.
Q 48. On rappelle que la série ∑_(k ⩾ 1)((− 1)^(k − 1))/k est convergente et que ∑_(k = 1)^(+ ∞)((− 1)^(k − 1))/k = ln(2).
Montrer que f(x) ⟶ _(x → − 1; x > − 1)1/2ln(π/2).
On pourra au préalable déterminer une relation entre f et h sur un intervalle de ℝ que l'on précisera.

Pas de description pour le moment