Mines Mathématiques 2 PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Le problème des moments : une densité est-elle déterminée par ses moments ?

Le sujet se demande si une densité de probabilité est caractérisée par la suite de ses moments, dans un cadre purement analytique. Il calcule d'abord les moments de densités classiques, démontre le théorème de Weierstrass avec les polynômes de Bernstein pour conclure sur [0,1], puis calcule la transformée de Fourier de la densité gaussienne afin de construire deux densités distinctes sur [0,+∞[ ayant les mêmes moments.

1Partie I : quelques exemplesMoments d'une densité exponentielle et de la densité gaussienne, puis exemple de densité sans moment d'ordre 1 (questions 1 à 5).
2Partie II : théorème de Stone-WeierstrassIdentités sur les coefficients binomiaux, polynômes de Bernstein et approximation uniforme d'une fonction continue sur [0,1] (questions 6 à 11).
3Partie III : le problème des moments sur [0,1]Deux densités sur [0,1] ayant les mêmes moments sont égales (questions 12 à 14).
4Partie IV : transformée de Fourier de la densité gaussienneContinuité et dérivabilité d'une intégrale à paramètre, puis équation différentielle vérifiée par la transformée (questions 15 à 18).
5Partie V : le problème des moments sur [0,+∞[Construction de deux densités distinctes ayant les mêmes moments (questions 19 à 22).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur modérée et plusieurs candidats l'ont traité en entier, mais des questions comme la 13 sont presque toujours mal traitées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Intégrabilité mal énoncée · Intégration par parties non justifiée · Passage des monômes aux polynômes

Sujet de longueur modérée, entièrement traité par plusieurs candidats et centré sur les intégrales généralisées et à paramètre. Les candidats ont en général abordé toutes les parties, les questions 5, 10, 11 et 22 étant les moins traitées. Le jury s'étonne de la mauvaise qualité générale de la rédaction et du manque de rigueur.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Intégrabilité mal énoncéeQuestions 1 et 2
On parle d'intégrabilité sur un intervalle, pas « en +∞ ». Beaucoup affirment à tort que 1/x² est intégrable sur ]0,+∞[ ou sur R.
« plus d’un tiers des candidats affirme sans sourciller que »
2
Intégration par parties non justifiéeQuestions 4 et 17
Il faut vérifier que le crochet admet des limites finies avant d'écrire une relation entre les intégrales, et donner les fonctions utilisées.
3
Passage des monômes aux polynômesQuestion 12
La linéarité de l'intégrale suffisait ; certains font des erreurs de logique grossières.
« La propriété est vraie pour tout monôme Xn, or Xn est un polynôme, donc la propriété est vérifiée pour tous les polynômes »
4
Convergence uniforme vérifiée sur la mauvaise suiteQuestion 13
Il fallait établir la convergence uniforme de ((f − g)Pn), pas seulement celle de (Pn).
« Beaucoup de candidats vérifient des hypothèses sur une suite de fonctions et appliquent le résultat à une autre »
5
Hypothèses des intégrales à paramètre incomplètesQuestion 16
Hypothèses de régularité oubliées, confusion entre variable d'intégration et paramètre, domination par une quantité complexe.
6
Constante d'intégration et Cauchy-LipschitzQuestion 18
La constante, a priori complexe, doit être indépendante de ξ, et le théorème de Cauchy-Lipschitz demande une condition initiale.

Ce qui a été bien réussi

La question 6 est traitée par presque tous les candidats.
Une grande majorité obtient l'expression correcte à la question 9.
La continuité de la transformée de Fourier (question 15) est en général bien traitée.
Les candidats qui pensent à utiliser Q6 en question 10 et Q9 en question 11 mènent le raisonnement à terme.

Conseils du jury

Souligner ou encadrer les étapes clés et soigner la mise en page.
Citer explicitement le numéro de la question dont on utilise le résultat.
Connaître précisément les hypothèses de chaque théorème, notamment pour le changement de variable et les intégrales à paramètre.
Ne pas employer d'acronymes ni de notations hors programme sans les définir.
Distinguer une fonction de son expression.
Ne pas chercher à passer en force : les correcteurs le repèrent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème

I

désigne un intervalle de

ℝ

, qui pourra être

[0, 1]

[0, + \infty[

ℝ

. On dira qu'une fonction

f : I \to ℝ

est une densité (de probabilité) sur

I

si elle est continue et positive sur

I

, intégrable sur

I

et de masse 1 c'est-à-dire

\int_I f(x)dx = 1

Pour

n \in ℕ

, on dira que le moment d'ordre

n

d'une densité

f

est fini si

é x \mapsto x^n f(x) est intégrable sur I,

et on définit alors le moment d'ordre

n

par le réel

m_n(f) = \int_I x^n f(x)dx

Dans tout le problème la densité gaussienne est la densité

φ : ℝ \to ℝ

définie par

φ(x) = 1/(\sqrt(2π))e^(- (x^2)/2)

I Quelques exemples

On considère $g : [0, + \infty[ \to ℝ$ définie par $g(x) = e^(- x)$ . Montrer que $g$ est une densité sur $[0, + \infty[$ , que tous ses moments sont finis et calculer $m_n(g)$ pour $n \in ℕ$ .
Montrer que tous les moments de la densité gaussienne $φ$ sont finis.
Que vaut $m_(2p + 1)(φ)$ pour $p \in ℕ$ ?
Calculer $m_(2p)(φ)$ pour $p \in ℕ$ .

On exprimera le résultat sous forme compacte avec des factorielles là où c'est possible.
5. Donner un exemple de densité

f : ℝ \to ℝ

dont le moment d'ordre 1 n'est pas fini.

Dans ce problème, on va s'intéresser à la question suivante : une densité est elle déterminée par l'ensemble de ses moments? Autrement dit, est-il vrai que
si deux densités

f

g

ont tous leurs moments finis et

m_n(f) = m_n(g) pour tout n \in ℕ alors f = g sur I?

On va notamment voir que c'est vrai si

I = [0, 1]

(partie III), mais faux si

I = [0, + \infty[

(partie V) ou

I = ℝ

II Théorème de Stone-Weierstrass

On rappelle que

(n/k)

désigne le coefficient binomial "

k

parmi

n

".
6. Justifier que, pour tout

x \in [0, 1], n \in ℕ

\sum_(k = 0)^n(n/k)x^k(1 - x)^(n - k) = 1

Montrer que, pour tout $x \in [0, 1], n \in ℕ$ ,

\sum_(k = 0)^n k(n/k)x^k(1 - x)^(n - k) = nx

Montrer que, pour tout $x \in [0, 1], n \in ℕ$ ,

\sum_(k = 0)^n k^2(n/k)x^k(1 - x)^(n - k) = nx + n(n - 1)x^2

En déduire que, pour tout $x \in [0, 1], n \in ℕ$ ,

\sum_(k = 0)^n(k - nx)^2(n/k)x^k(1 - x)^(n - k) \leq Cn

pour une constante

C > 0

à préciser.

On se donne maintenant

f : [0, 1] \to ℝ

continue et

ε > 0

. On admet l'existence de

α > 0

tel que, pour tout

(x, y) \in [0, 1]^2

|x - y| < α ⟹ |f(x) - f(y)| < ε.

Pour

n \in ℕ

, on définit la fonction polynomiale

B_n(x) = \sum_(k = 0)^n(n/k)x^k(1 - x)^(n - k)f(k/n).

Pour

x \in [0, 1]

on partitionne les entiers

k

naturels entre 0 et

n

X = {k \in {0, 1, \dots, n} : |x - k/n| < α} et Y = {k \in {0, 1, \dots, n} : |x - k/n| \geq α}

Montrer que, pour tout $x \in [0, 1], n \in ℕ$ ,

|B_n(x) - f(x)| \leq ε + 2‖f‖_\infty\sum_(k \in Y)(n/k)x^k(1 - x)^(n - k)

où on rappelle que

‖f‖_\infty = sup_(0 \leq x \leq 1)|f(x)|

.
11. En utilisant la définition de l'ensemble

Y

et les questions précédentes, conclure qu'il existe

n

suffisamment grand tel que

‖B_n - f‖_\infty \leq 2ε

On a donc démontré le théorème de Stone-Weierstrass : toute fonction continue sur

[0, 1]

est limite uniforme d'une suite de fonctions polynomiales.

III Le problème des moments sur [0,1]

On considère ici deux densités

f

g

sur

I = [0, 1]

et on suppose donc que, pour tout

n \in ℕ

m_n(f) = m_n(g).

Montrer que, pour toute fonction polynomiale $P$ , on a

\int_0^1(f(x) - g(x))P(x)dx = 0.

On sait par la partie II qu'il existe une suite de fonctions polynomiales

(P_n)_(n \in ℕ)

qui converge uniformément vers

f - g

sur

[0, 1]

.
13. Montrer que

lim_(n \to + \infty)\int_0^1(f(x) - g(x))P_n(x)dx = \int_0^1(f(x) - g(x))^2 dx

Montrer alors que $f = g$ sur $[0, 1]$ .

IV Transformée de Fourier de la densité gaussienne

Pour

ξ \in ℝ

, on pose

φˆ(ξ) = \int_ℝ e^(itξ)φ(t)dt

où

φ

est définie en (1).
15. Justifier que

φˆ

est correctement définie et continue sur

ℝ

.
16. Justifier que

φˆ

est de classe

C^1

sur

ℝ

et que

φˆ^'(ξ) = i/(\sqrt(2π))\int_ℝ e^(itξ)te^(- (t^2)/2)dt

Montrer que $φˆ$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à préciser.
Montrer que $φˆ(ξ) = e^(- (ξ^2)/2)$ pour tout $ξ \in ℝ$ . Dans la suite et si besoin on admettra que ceci reste valable pour tout $ξ \in ℂ$ .

V Le problème des moments sur [0,+の[

Dans cette partie on considère

f : [0, + \infty[ \to ℝ

définie par

f(x) = {1/(x√(2π))e^(− 1/2(lnx)^2), pour x > 0; 0, pour x = 0

Montrer que $f$ est bien une densité sur $[0, + \infty[$ . On admettra que tous ses moments sont finis.

Pour

n \in ℕ

on pose

I_n = \int_0^(+ \infty)x^n f(x)sin(2πlnx)dx

Montrer que

I_n = Im(1/(\sqrt(2π))\int_ℝ e^(i(2π - in)u)e^(- 1/2u^2)du)

où

Im(z)

désigne la partie imaginaire du complexe

z

.
21. A l'aide de la partie IV, en déduire que

I_n = 0

Pour

α \in ℝ

, on pose

g_α(x) = f(x)(1 + αsin(2πlnx)).

Déterminer une infinité non dénombrable de $α$ pour lesquels $f$ et $g_α$ sont deux densités sur $[0, + \infty[$ , distinctes et $m_n(g_α) = m_n(f)$ pour tout $n \in ℕ$ .

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines Maths 2 PSI 2019 ?

Sur le problème des moments : savoir si une densité est déterminée par ses moments. Le sujet utilise les intégrales généralisées, les polynômes de Bernstein, la convergence uniforme et les intégrales à paramètre.

Le sujet Mines Maths 2 PSI 2019 est-il long ?

Non, le jury le juge de longueur modérée et plusieurs candidats l'ont traité entièrement. Il regrette d'autant plus la faible qualité de la rédaction.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 2 Mines PSI 2019 ?

Intégrabilité mal formulée, intégrations par parties non justifiées, hypothèses incomplètes pour les intégrales à paramètre, convergence uniforme vérifiée sur la mauvaise suite et manipulations d'inégalités fautives.

Quelles questions étaient les moins traitées en Mines Maths 2 PSI 2019 ?

Selon le rapport, les questions 5, 10, 11 et 22 ; la question 13 est presque toujours mal traitée.

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