Mines Mathématiques 1 PSI 2019Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueMines Année2019 FilièrePSI MatièreMathématiques

Annales Mines PSI Mathématiques Mines PSI 2019 PSI Mathématiques Mathématiques 2019

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit

p

un entier naturel non nul et

r

un nombre réel strictement positif. On considère la fonction

S_(r, p) : z \in C \mapsto \sum_(n = 1)^(+ \infty)((pn)^r)/((pn)!)z^(pn)

L'objectif du problème est d'établir la validité de l'énoncé suivant :

S_(r, p)(x) \sim _(x \to + \infty)1/px^r e^x (H_(r, p))

Cet objectif sera atteint dans la partie II pour le cas particulier

p = 1

, et dans la partie III pour le cas

p \geq 2

. Dans la partie

IV

, on étudie une application de ce résultat au comportement asymptotique d'une solution particulière d'une certaine équation différentielle d'ordre 2.

Dans tout le sujet, on note

⌊x⌋

la partie entière du nombre réel

x

, c'est-à-dire l'unique entier

k

tel que

k \leq x < k + 1

. On rappelle que par convention

0^0 = 1

, tandis que

0^r = 0

pour tout réel

r > 0

I Généralités, cas particuliers

Soit $r \in R_+^*$ et $p \in N^*$ . Justifier que la série entière $\sum_(n \geq 1)((pn)^r)/((pn)!)z^n$ a pour rayon de convergence $+ \infty$ , et faire de même pour la série entière $\sum_(n \geq 1)((pn)^r)/((pn)!)z^(np)$ .
Pour $x$ réel, expliciter $S_(0, 1)(x)$ et $S_(0, 2)(x)$ , et en déduire la validité des énoncés $H_(0, 1)$ et $H_(0, 2)$ .

II Une démonstration probabiliste de $H_(r, 1)$

On admet dans cette partie qu'il existe, sur un certain espace probabilisé (

Ω, A, P

), une famille

(X_x)_(x \in R_+^*)

de variables aléatoires à valeurs dans

N

telle que

X_x

suive la loi de Poisson de paramètre

x

pour tout réel

x > 0

. On fixe de telles données dans l'intégralité de cette partie, et l'on fixe un réel

r > 0

. On pose

Z_x:=(X_x)/x

Pour

N \in N^*

, on pose

Y_(x, N):=\prod_(k = 0)^(N - 1)(X_x - k) = X_x(X_x - 1)\dots(X_x - N + 1)

Soit $x \in R_+^*$ . Montrer que $(Z_x)^r$ admet une espérance, et exprimer $E((Z_x)^r)$ à l'aide de $S_(r, 1)(x)$ .
Pour $x > 0$ , rappeler l'espérance et la variance de $X_x$ . Déduire alors de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev que

P(|Z_x - 1| \geq x^(- 1/3)) ⟶ _(x \to + \infty)0

Montrer que pour tout réel $x > 1$ ,

(1 - x^(- 1/3))^r P(Z_x \geq 1 - x^(- 1/3)) \leq E((Z_x)^r)

Montrer en outre que

(1 - x^(- 1/3))^r P(Z_x \geq 1 - x^(- 1/3)) ⟶ _(x \to + \infty)1

Soit $N \in N^*$ et $x \in R_+^*$ . Montrer que $Y_(x, N)$ admet une espérance et que

E(Y_(x, N)) = x^N

Soit $N \in N^*$ . Montrer qu'il existe des réels $a_1, \dots, a_N$ tels que

a_N = 1 et \forallx > 0, (X_x)^N = \sum_(k = 1)^N a_k Y_(x, k)

On pourra introduire la famille

(H_j)_(j \in N)

de polynômes à coefficients réels définie par

H_0 = 1 et \forallj \in N^*, H_j = \prod_(i = 0)^(j - 1)(T - i)

où l'indéterminée est notée

T

.
En déduire que

E((Z_x)^N) ⟶ _(x \to + \infty)1

On pose $N:=⌊r⌋$ et $s:=r - N$ . Montrer l'inégalité

\forallt \in R_+, t^s \leq s(t - 1) + 1

et en déduire

\forallx > 0, (Z_x)^r \leq (1 - s)(Z_x)^N + s(Z_x)^(N + 1)

En combinant les résultats précédents, établir la convergence

E((Z_x)^r) ⟶ _(x \to + \infty)1

et conclure à la validité de l'énoncé

H_(r, 1)

III Démonstration de $H_(r, p)$ pour $p \geq 2$

On fixe dans cette partie un entier naturel

p \geq 2

et un réel

r > 0

, et l'on se propose de déduire la validité de

H_(r, p)

de celle de

H_(r, 1)

Pour

n \in N

x \in R_+^*

, on pose

u_n(x):=(n^r)/(n!)x^n

On fixe un réel $x > 0$ . Étudier le signe de la fonction

φ_x : t \in [1, + \infty[ \mapsto t^(1 - r)(t - 1)^r - x.

On montrera en particulier que

φ_x

s'annule en un unique élément de

[1, + \infty[

que l'on notera

t_x

. En déduire que la suite finie

(u_n(x))_(0 \leq n \leq ⌊t_x⌋)

est croissante et que la suite

(u_n(x))_(n \geq ⌊t_x⌋)

est décroissante.

L'ensemble

{u_n(x)|n ∈ N}

admet donc un maximum valant

u_(⌊t_x⌋)(x)

. Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté

M_x

.
11. Soit

α \in R

. Déterminer la limite de

φ_x(x + α)

quand

x

tend vers

+ \infty

. En déduire que

t_x - x - r ⟶ _(x \to + \infty)0

Pour établir ce dernier résultat, on pourra revenir à la définition d'une limite.
12. Montrer que pour tout entier relatif

k

u_(⌊x⌋ + k)(x) \sim _(x \to + \infty)u_(⌊x⌋)(x).

Soit $m \in N^*$ . Montrer que

\sum_(i = ⌊x⌋ - m)^(⌊x⌋)u_i(x) \geq mu_(⌊x⌋)(x) pour x voisin de + \infty

En déduire que, pour

x

voisin de

+ \infty

u_(⌊x⌋)(x) \leq (x^r e^x)/m

En déduire que pour tout entier relatif $k$ ,

u_(⌊x⌋ + k)(x) = o_(x \to + \infty)(x^r e^x)

puis que

M_x = o_(x \to + \infty)(x^r e^x)

En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour

x

assez grand,

M_x = u_(⌊x⌋ + i)(x)

pour un entier

i

compris entre

⌊r⌋ - 1

⌊r⌋ + 2

.
15. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe

z

tel que

|z| = 1

z \neq 1

. Pour

n \in N^*

, on pose

D_n:=\sum_(k = 0)^(n - 1)z^k

Montrer que

\foralln \in N^*, |D_n| \leq 2/(|1 - z|)

et que les séries

\sum_n D_n u_(n - 1)(x)

\sum_n D_n u_n(x)

sont absolument convergentes.
16. On conserve le nombre complexe

z

introduit dans la question précédente. Montrer que

\forallx \in R_+^*, \sum_(n = 1)^(+ \infty)D_n(u_(n - 1)(x) - u_n(x)) = S_(r, 1)(zx)

puis que, pour

x

voisin de

+ \infty

|S_(r, 1)(zx)| \leq (4M_x)/(|1 - z|)

et conclure à la relation

S_(r, 1)(zx) = o_(x \to + \infty)(x^r e^x)

On pose $ξ:=exp((2iπ)/p)$ . Pour tout réel $x$ , montrer que

\sum_(k = 0)^(p - 1)S_(r, 1)(ξ^k x) = pS_(r, p)(x)

et en déduire la validité de

H_(r, p)

IV Application à une équation différentielle

On s'intéresse ici à l'équation différentielle :

(E) : tx^('')(t) - x(t) = 0

Montrer que, parmi les solutions de $(E)$ sur $R$ à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée $f$ , qui soit la somme d'une série entière et vérifie $f^'(0) = 1$ . Expliciter la suite $(c_n)_(n \in N)$ telle que

\forallt \in R, f(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)c_n t^n

Démontrer que

c_n \sim _(n \to + \infty)1/(\sqrtπ)(\sqrtn)/((2n)!)4^n

Pour la dernière question, on admet le résultat suivant :

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières.

Soit

(a_n)_(n \in N)

(b_n)_(n \in N)

deux suites à termes réels. On suppose que :
(i) La série entière

\sum_n b_n z^n

a pour rayon de convergence

+ \infty

.
(ii) Il existe un rang

n_0 \in N

tel que

\foralln \geq n_0, b_n > 0

.
(iii) Les suites

(a_n)_(n \in N)

(b_n)_(n \in N)

sont équivalentes.

Alors la série entière

\sum_n a_n z^n

a pour rayon de convergence

+ \infty

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n \sim _(x \to + \infty)\sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n x^n

En exploitant la validité de $H_(r, p)$ pour un couple ( $r, p$ ) bien choisi, démontrer l'équivalent

f(t) \sim _(t \to + \infty)(t^(1/4))/(2\sqrtπ)e^(2\sqrtt)

Fin du problème

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PSI 2019

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

CONCOURS 2019

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

MATHÉMATIQUES I - PSI

I Généralités, cas particuliers

II Une démonstration probabiliste de H_(r, 1)

III Démonstration de H_(r, p) pour p ≥ 2

IV Application à une équation différentielle

Lemme de comparaison asymptotique des séries entières.

Fin du problème

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PSI 2019

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PSI 2019

II Une démonstration probabiliste de $H_(r, 1)$

III Démonstration de $H_(r, p)$ pour $p \geq 2$