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CCINP Mathématiques PSI 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonctions indéfiniment dérivables non développables en série entière, théorème de Borel, éléments propres de matrices tridiagonales symétriques et système différentiel matriciel
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Le sujet de mathématiques du CCINP filière PSI, session 2019, comporte deux problèmes indépendants. Le premier problème, d'analyse, étudie deux fonctions indéfiniment dérivables non développables en série entière puis démontre le théorème de Borel. Le second, d'algèbre, détermine les éléments propres de matrices tridiagonales symétriques avant de les utiliser, via un calcul de déterminants par blocs, pour résoudre un système différentiel matriciel.

  1. 1Problème 1, partie I : deux fonctions indéfiniment dérivablesÉtude de deux fonctions, l'une définie par une intégrale à paramètre et l'autre par une série de fonctions, pour montrer qu'elles sont indéfiniment dérivables mais non développables en série entière au voisinage de 0.
  2. 2Problème 1, partie II : le théorème de BorelConstruction d'une fonction indéfiniment dérivable sur R dont toutes les dérivées successives en 0 sont imposées à l'avance par une suite réelle donnée.
  3. 3Problème 2, partie I : éléments propres d'une matrice tridiagonale symétriqueLocalisation puis calcul explicite des valeurs propres et des espaces propres d'une famille de matrices tridiagonales symétriques.
  4. 4Problème 2, partie II : système différentielÉtude des matrices par blocs et de leur déterminant, puis résolution d'un système différentiel linéaire du second ordre à l'aide de la diagonalisation d'une matrice associée.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet de long et souligne que peu de candidats l'ont traité en totalité, mais indique aussi que la majorité des questions restaient très abordables, seul le manque de rapidité et d'aisance ayant limité le nombre de questions effectivement traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,8 / 20 · écart-type 3,37 · 5 127 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,8/ 20
Écart-type
3,37
Présents
5 127
Coefficient
9
Durée
4 h
moyenne 9,805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2019. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Majorations de complexes absurdes en présence du nombre imaginaire · Rayon de convergence mal déterminé · Redémonstration par analogie non justifiée
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Le sujet comportait deux problèmes indépendants, l'un d'analyse et l'autre d'algèbre, jugé assez long : peu de candidats l'ont abordé dans sa totalité alors que la majorité des questions étaient très abordables. La présentation des copies est satisfaisante dans l'ensemble. Le jury insiste sur le caractère contre-productif de tenter de masquer les difficultés rencontrées, en particulier par un raisonnement « par analogie » ou par des calculs arrangés pour retomber sur un résultat donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Majorations de complexes absurdes en présence du nombre imaginaireQ4

    La présence du nombre imaginaire dans l'expression étudiée conduit certains candidats à écrire des majorations absurdes entre nombres complexes, y compris chez ceux qui utilisent correctement la notation du module.

  2. 2
    Rayon de convergence mal déterminéQ5

    Le lien entre la fonction et sa série de Taylor est rarement cité, et le rayon de convergence obtenu par les candidats varie beaucoup : rayon infini, rayon complexe, ou rayon dépendant de l'entier de sommation.

  3. 3
    Redémonstration par analogie non justifiéeQ13

    Cette question, trop souvent abordée en essayant de redémontrer les questions précédentes avec un paramètre différent, conduit à de longs calculs souvent faux ou à des raisonnements par analogie non justifiés.

    « ce qui conduit à de longs calculs souvent faux ou des « analogies » non justifiées »
  4. 4
    Convergence uniforme non démontréeQ17

    Cette question, peu réussie, voit la plupart des candidats se contenter de montrer la convergence simple de la série de fonctions au lieu de la convergence uniforme attendue.

    « la plupart se contentant de montrer la convergence simple »
  5. 5
    Manque de rigueur dans la manipulation des indicesQ21

    Cette question trie les candidats selon leur rigueur : certains se perdent dans les indices ou emploient de façon imprécise l'argument du maximum pour majorer.

    « certains se perdent dans les indices ou encore noient le poisson en invoquant le maximum pour majorer »
  6. 6
    Question sur la dimension de l'espace de suites non traitéeQ30, Q31

    Cette question est non traitée ou ratée chez de nombreux candidats, ce qui entraîne également l'échec de la question suivante qui en dépendait directement.

    « Question non traitée ou ratée, ce qui est plutôt étonnant »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 9 et 10 du problème 1 sont bien traitées dans l'ensemble.
  • À la question 14, ceux qui reconnaissent la formule du binôme arrivent en général à montrer la majoration attendue.
  • Le résultat de la question 25 est généralement correct.
  • Les questions 28 et 29 du problème 2 sont réussies dans l'ensemble.
  • La question 40 du problème 2 est bien réussie dans l'ensemble.

Conseils du jury

  • Gérer son temps avec soin car le sujet est long ; peu de candidats parviennent à le traiter en totalité.
  • Utiliser correctement le langage mathématique et être vigilant sur la nature des objets manipulés (nombres, fonctions, matrices).
  • Éviter de raisonner « par analogie » sans justification précise, et ne jamais arranger un calcul pour retrouver un résultat donné par l'énoncé.
  • Citer toutes les hypothèses des théorèmes utilisés et préciser à quel moment chacune est vérifiée.
  • Ne pas se précipiter sur les dernières questions : les calculs de fin de sujet sont plus ou moins bien menés selon le degré de précipitation des candidats.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril : 14h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants.

PROBLÈME 1

Objectifs

Dans la partie I, on considère deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables sur R et on s'interroge sur l'existence d'un développement en série entière dans un voisinage de 0 pour ces fonctions. Dans la partie II, indépendante de la partie I, on démontre le théorème de Borel en construisant, pour toute suite réelle (b_p)_(p ∈ N), une fonction f indéfiniment dérivable sur R telle que pour tout p ∈ N, f^((p))(0) = b_p.

Partie I - Deux exemples de fonctions indéfiniment dérivables

On considère la fonction f définie sur R par :
∀x ∈ R, f(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t(1 − itx))dt
Q1. Montrer que la fonction f est bien définie sur R.
Pour tout p ∈ N, on note Γ_p = ∫_0^(+ ∞)t^p e^(− t) dt.
Q2. Pour tout p ∈ N, justifier l'existence de Γ_p et déterminer une relation entre Γ_(p + 1) et Γ_p.
Q3. En déduire, pour tout p ∈ N, la valeur de Γ_p.
Q4. Montrer que f est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x ∈ R et tout p ∈ N, f^((p))(x).
Q5. En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑_(p ≥ 0)(f^((p))(0))/(p!)x^p.
La fonction f est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?
On considère la fonction g définie sur R par :
∀x ∈ R, g(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)e^(− k(1 − ikx))
Q6. Montrer que g est indéfiniment dérivable sur R et déterminer, pour tout x ∈ R et tout p ∈ N, g^((p))(x).
Q7. Montrer que pour tout p ∈ N, |g^((p))(0)| ≥ p^(2p)e^(− p).
Q8. En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑_(p ≥ 0)(g^((p))(0))/(p!)x^p.
La fonction g est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ?

Partie II - Le théorème de Borel

Q9. Déterminer deux nombres complexes a et b tels que pour tout x ∈ R :
1/(1 + x^2) = a/(x − i) + b/(x + i)
Q10. On considère la fonction ψ définie sur R par: ∀x ∈ R, ψ(x) = 1/(x − i). Montrer par récurrence que pour tout p ∈ N et tout x ∈ R :
ψ^((p))(x) = ((− 1)^p p!)/((x − i)^(p + 1))
Q11. Déterminer, pour tout p ∈ N, la dérivée p-ième de la fonction φ_1 définie sur R par :
∀x ∈ R, φ_1(x) = 1/(1 + x^2)
Q12. Montrer que pour tout p ∈ N et tout x ∈ R, |(x + i)^(p + 1) − (x − i)^(p + 1)| ≤ 2(1 + x^2)^((p + 1)/2).
En déduire que pour tout p ∈ N et tout x ∈ R^∗, on a :
|φ_1^((p))(x)| ≤ (p!)/(|x|^(p + 1))
Q13. Pour tout réel α, notons φ_α la fonction définie sur R par :
∀x ∈ R, φ_α(x) = 1/(1 + α^2 x^2)
Montrer que pour tout p ∈ N et tout x ∈ R^∗ :
|α| ⋅ |φ_α^((p))(x)| ≤ (p!)/(|x|^(p + 1))
On considère une suite réelle (a_n)_(n ∈ N) et on lui associe la suite de fonctions (u_n)_(n ∈ N) définie sur R par :
∀x ∈ R, u_n(x) = (a_n x^n)/(1 + n!a_n^2 x^2)
Q14. Pour tout n ∈ N, on note α_n = √(n!)a_n. Montrer que pour tout entier p ≥ 0, tout entier n ≥ p et tout réel x, on a :
u_n^((p))(x) = a_n∑_(k = 0)^p(p/k)(n!)/((n − k)!)x^(n − k)φ_(α_n)^((p − k))(x)
Q15. En déduire que pour tout entier n ≥ 0 et tout entier p ∈ [ [0, n − 1] ], u_n^((p))(0) = 0 et déterminer u_n^((n))(0).
Q16. Montrer que pour tout entier n ∈ N^∗, tout entier p ∈ [ [0, n − 1] ] et tout réel x, on a :
|u_n^((p))(x)| ≤ (|x|^(n − p − 1))/(√(n!))p!2^n
Q17. En déduire que la fonction U = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n est bien définie et indéfiniment dérivable sur R.
Q18. Montrer que U(0) = a_0 et pour tout entier p ≥ 1, U^((p))(0) = ∑_(n = 0)^(p − 1)u_n^((p))(0) + p!a_p.
Q19. Déduire de ce qui précède que pour toute suite réelle (b_p)_(p ∈ N), il existe une fonction f indéfiniment dérivable sur R telle que pour tout p ∈ N, f^((p))(0) = b_p.
Ce résultat est appelé théorème de Borel. Il a été démontré par Peano et Borel à la fin du xix ^e siècle.

PROBLÈME 2

Notations et définitions

  • Soient n ∈ N^∗ et (p, q) ∈ (N^∗)^2.
  • R[X] désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans R. Si P ∈ R[X], on notera encore P la fonction polynomiale associée.
  • M_p(R) et M_p(C) désignent respectivement les ensembles des matrices carrées de taille p à coefficients dans R et dans C. M_(p, q)(R) et M_(p, q)(C) désignent respectivement les ensembles des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients dans R et dans C.
  • On note I_p la matrice identité de M_p(C) et 0_p la matrice de M_p(C) ne comportant que des 0 .
  • On note χ_A le polynôme caractéristique d'une matrice A ∈ M_p(C), c'est-à-dire le polynôme det(XI_p − A).
  • Étant donnée une matrice M ∈ M_p(C), on note Sp(M) l'ensemble des valeurs propres complexes de M.

Objectifs

Dans la partie I, on détermine les valeurs propres d'une matrice tridiagonale symétrique réelle particulière. On utilise les résultats démontrés dans la partie I pour résoudre, dans la partie II, un système différentiel.

Partie I - Éléments propres d'une matrice

I. 1 - Localisation des valeurs propres

On considère une matrice A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) ∈ M_n(C). Soient une valeur propre λ ∈ C de A et un vecteur propre associé x = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(C)∖{0_(M_(n, 1)(C))}.
Q20. Montrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a : λx_i = ∑_(j = 1)^n a_(i, j)x_j.
Q21. Soit i_0 ∈ [ [1, n] ] tel que |x_(i_0)| = max_(j ∈ [ [1, n] ])|x_j|. Montrer que : |λ| ≤ ∑_(j = 1)^n|a_(i_0, j)|.
En déduire que :
|λ| ≤ max_(i ∈ [ [1, n] ]){∑_(j = 1)^n|a_(i, j)|}.
Soient α et β deux nombres réels. On considère la matrice A_n(α, β) ∈ M_n(R) définie par :
A_n(α, β) = (α, β, 0, ⋯, 0; β, α, β, ⋱, ⋮; 0, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, β, α, β; 0, ⋯, 0, β, α).
Q22. Justifier que les valeurs propres de A_n(α, β) sont réelles.
Q23. Soit λ ∈ R une valeur propre de A_n(α, β). Montrer que :
|λ| ≤ |α| + 2|β|.

I. 2 - Calcul des valeurs propres de A_n(α, β)

Q24. En utilisant la question Q23, montrer que pour toute valeur propre λ de A_n(0, 1), il existe θ ∈ [0, π] tel que λ = 2cosθ.
On note U_n le polynôme χ_(A_n(0, 1))(2X).
Q25. Établir, pour n ≥ 3, une relation entre χ_(A_n(0, 1)), χ_(A_(n − 1)(0, 1)) et χ_(A_(n − 2)(0, 1)).
En déduire, pour n ≥ 3, une relation entre U_n, U_(n − 1) et U_(n − 2).
Q26. Montrer par récurrence sur n que pour tout θ ∈ ]0, π[ :
U_n(cosθ) = (sin((n + 1)θ))/(sin(θ))
Q27. Déduire de la question précédente que l'ensemble des valeurs propres de A_n(0, 1) est {2cos((jπ)/(n + 1)); j ∈ [ [1, n] ]}. Déterminer la multiplicité des valeurs propres et la dimension des espaces propres associés.
Considérons j ∈ [ [1, n] ] et posons θ_j = (jπ)/(n + 1).
Q28. Montrer que pour tout vecteur propre x = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(R) de A_n(0, 1) associé à la valeur propre 2cos(θ_j), on a :
{− 2cos(θ_j)x_1 + x_2 = 0; x_(k − 1) − 2cos(θ_j)x_k + x_(k + 1) = 0, ∀k ∈ [ [2, n − 1] ]; x_(n − 1) − 2cos(θ_j)x_n = 0
Soit E l'ensemble des suites réelles (u_k)_(k ∈ N) vérifiant la relation de récurrence :
∀k ∈ N^∗, u_(k − 1) − 2cos(θ_j)u_k + u_(k + 1) = 0
Q29. Montrer que E est un espace vectoriel sur R dont on précisera la dimension.
Q30. Déterminer l'ensemble E des suites (u_k)_(k ∈ N) ∈ E telles que u_0 = u_(n + 1) = 0.
Q31. En déduire l'espace propre de A_n(0, 1) associé à la valeur propre 2cos(θ_j).
Q32. En déduire, pour tout (α, β) ∈ R^2, l'ensemble des valeurs propres de A_n(α, β) et les espaces propres associés. On distinguera le cas β ≠ 0 du cas β = 0.

Partie II - Système différentiel

II. 1 - Matrices par blocs

On considère A, B, C et D des matrices de M_n(C) telles que C et D commutent.
Q33. Calculer (A, B; C, D)(D, 0_n; − C, I_n).
L'objectif des trois prochaines questions est de démontrer la relation :
det((A, B; C, D)) = det(AD − BC)
Q34. Montrer l'égalité (1) dans le cas où D est inversible.
Q35. On ne suppose plus D inversible. Montrer qu'il existe p_0 ∈ N^∗ tel que pour tout entier p ≥ p_0, D + 1/pI_n est inversible.
Q36. En déduire que l'égalité (1) est également vraie dans le cas où D n'est pas inversible.
Considérons une matrice M ∈ M_n(C) et formons la matrice :
N = (0_n, I_n; M, 0_n)
Q37. Montrer que Sp(N) = {μ ∈ C; μ^2 ∈ Sp(M)}.
Q38. Soient μ ∈ Sp(N) et x = (x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(C) un vecteur propre de M associé à la valeur propre μ^2. Montrer que le vecteur (x/(μx)) ∈ M_(2n, 1)(C) est vecteur propre de N associé à la valeur propre μ.
Q39. Montrer que si M est diagonalisable et inversible, alors N est également diagonalisable et inversible.

II. 2 - Application à un système différentiel dans le cas où n = 2

On considère le système différentiel :
{x_1^(′′) = − 2x_1 + x_2; x_2^(′′) = x_1 − 2x_2.
Q40. Déterminer (α, β) ∈ R^2 tel que le système (2) soit équivalent au système différentiel du premier ordre X^′ = BX, où X = (x_1; x_2; x_1^′; x_2^′) et B = (0_2, I_2; A_2(α, β), 0_2) ∈ M_4(R).
Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l'ensemble des solutions de ce système?
Q41. En utilisant la question Q37, déterminer les valeurs propres de B et en déduire que B est diagonalisable.
On considère la matrice :
D = (− i√3, 0, 0, 0; 0, i√3, 0, 0; 0, 0, − i, 0; 0, 0, 0, i)
Q42. En utilisant la question Q38, déterminer une matrice inversible P ∈ M_4(C) dont la première ligne ne comporte que des 1 et telle que B = PDP^(− 1).
Q43. Déterminer l'ensemble des solutions du système différentiel Y^′ = DY, avec Y = (y_1; y_2; y_3; y_4).
Q44. Déterminer la solution du système différentiel (2) avec conditions intiales (x_1(0), x_2(0), x_1^′(0), x_2^′(0)) = (1, 0, 0, 0).

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP PSI 2019 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques CCINP PSI 2019 ?

Le sujet porte sur les fonctions indéfiniment dérivables et le développement en série entière (avec le théorème de Borel), puis sur les valeurs propres de matrices tridiagonales symétriques et leur usage pour résoudre un système différentiel matriciel.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques CCINP PSI 2019 ?

Le rapport ne communique aucune statistique chiffrée (moyenne, écart-type ou nombre de copies) pour cette session.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques CCINP PSI 2019 ?

Le jury relève des majorations de complexes absurdes, un rayon de convergence mal déterminé, des raisonnements « par analogie » non justifiés et un manque de rigueur récurrent dans la manipulation des indices.

Cette épreuve de mathématiques CCINP PSI 2019 est-elle difficile ?

Le sujet est jugé long par le rapport, si bien que peu de candidats l'ont traité en totalité, même si la majorité des questions restaient individuellement très abordables.

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