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CCINP Mathématiques PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Matrices antisymétriques et orthogonales ; lemme de Riemann-Lebesgue, intégrale de Dirichlet et phénomène de Gibbs
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le premier, court, utilise les matrices antisymétriques réelles pour paramétrer une partie des matrices orthogonales, d'abord en dimension 2 puis en dimension quelconque. Le second, plus long, établit des lemmes de Riemann-Lebesgue, calcule l'intégrale de Dirichlet à l'aide d'une intégrale à paramètre, puis met en évidence le phénomène de Gibbs.

  1. 1Problème 1, partie I : un exemple en dimension 2Valeurs propres complexes d'une matrice antisymétrique 2x2 et appartenance d'une matrice au groupe spécial orthogonal.
  2. 2Problème 1, partie II : matrices antisymétriques et matrices orthogonalesValeurs propres d'une matrice antisymétrique réelle, inversibilité de In + A, déterminant et rotations de l'espace de dimension 3.
  3. 3Problème 2, partie I : résultats préliminairesLemmes de Riemann-Lebesgue pour des fonctions de classe C1 puis continues par morceaux, par intégration par parties et majorations.
  4. 4Problème 2, partie II : l'intégrale de DirichletConvergence d'intégrales généralisées, intégrales à paramètre (continuité, classe C infini, limite) et calcul de l'intégrale de sin(t)/t sur ]0, +∞[.
  5. 5Problème 2, partie III : phénomène de GibbsÉtude d'une suite de sommes trigonométriques, convergence simple et utilisation des symétries.

Difficile. Le jury indique que le sujet était long, qu'aucun candidat ne l'a traité en entier et que la troisième partie du problème 2 n'a été abordée que de manière parcellaire.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Groupe spécial orthogonal réduit au déterminant · Inégalités sans modules · Périodicité mal démontrée
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Le sujet était long et aucun candidat n'a traité les deux problèmes en entier. Les correcteurs relèvent un manque de maîtrise du cours et surtout une grande faiblesse en calcul et dans la manipulation d'inégalités simples, notamment avec des fonctions à valeurs complexes. Le problème 1 a été mieux traité que le problème 2.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Groupe spécial orthogonal réduit au déterminantQ2

    Montrer qu'une matrice a un déterminant égal à 1 ne suffit pas à prouver qu'elle est dans le groupe spécial orthogonal ; il faut aussi établir qu'elle est orthogonale. Une erreur sur l'inverse de I2 - A menant à R = I2 aurait dû alerter.

  2. 2
    Inégalités sans modulesQ12

    Les fonctions étant à valeurs complexes, écrire des inégalités sans modules n'a pas de sens ; les modules ne sortent pas de l'intégrale sans justification et un majorant ne doit pas dépendre de n.

    « dans un très grand nombre de copies, les inégalités sont écrites sans modules, ce qui n'a pas de sens »
  3. 3
    Périodicité mal démontréeQ11

    Vérifier que la primitive prend la même valeur en 0 et en 2π ne prouve pas qu'elle est 2π-périodique ; son caractère borné découle de la continuité et de la périodicité.

  4. 4
    Convergence dominée appliquée sans vérifier les hypothèsesQ16, Q19

    La domination sur tout compact de ]0, +∞[ ne donne pas la continuité en 0, et l'intégrale de sin(t)/t n'est pas absolument convergente, donc ne fournit pas une domination.

    « Rappelons que cette dernière intégrale n'est pas absolument convergente. »
  5. 5
    Divergence de l'intégrale de 1/t ignoréeQ14, Q15

    Beaucoup de candidats semblent ignorer que l'intégrale de 1/t sur [a, +∞[ diverge, et négligent la convergence des intégrales en 0 dans Q15.

  6. 6
    Calculs abandonnés devant un système linéaireQ18

    Après avoir obtenu les deux équations donnant les dérivées cherchées, beaucoup s'arrêtent sans résoudre ce simple système ; attention aussi à l'ordre des bornes d'intégration.

Ce qui a été bien réussi

  • La plupart des candidats trouvent les valeurs propres de la matrice A (partie I du problème 1).
  • La question Q4 a été traitée par presque tous les candidats.
  • Une partie importante des candidats a pensé à l'intégration par parties en Q10.
  • L'intégration par parties de Q14 est menée à bien par la majorité, et Q24 est souvent correcte lorsqu'elle est abordée.
  • Les copies sont généralement bien présentées, avec les résultats mis en évidence.

Conseils du jury

  • Justifier chaque affirmation, citer les théorèmes utilisés et vérifier leurs hypothèses.
  • Vérifier un calcul d'inverse de matrice avant de l'exploiter.
  • Travailler la manipulation des inégalités et des modules pour les fonctions à valeurs complexes.
  • Soigner les questions de cours, comme Q16 et Q17, qui rapportent des points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

MATHEMATIQUES

Mardi 2 mai : 14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants : un d'algèbre et un d'analyse.

PROBLÈME 1

Présentation générale

On se propose ici d'étudier certaines propriétés des matrices antisymétriques réelles. Après avoir étudié un exemple en dimension 2 , on utilise les matrices antisymétriques pour paramétrer un sousensemble des matrices orthogonales.

Notations

  • R désigne l'ensemble des réels et, pour tout entier n > 0, M_n(R) désigne l'ensemble des matrices n × n à coefficients réels. On note I_n la matrice identité de M_n(R).
  • Pour tout entier n > 0, on désigne par A_n(R) l'ensemble des matrices n × n antisymétriques à coefficients réels et par O_n(R) celui des matrices n × n orthogonales à coefficients réels. Le groupe spécial orthogonal est constitué des matrices orthogonales de déterminant 1 .

Partie I - Un exemple en dimension 2

Q1. Soit t un réel et soit A = (0, t; − t, 0). Déterminer les valeurs propres complexes de A.
Q2. Calculer R = (I_2 + A)(I_2 − A)^(− 1) et montrer que R est une matrice du groupe spécial orthogonal.
Q3. Pour tout réel θ ∈ R∖πZ, on note R_θ = (cosθ, − sinθ; sinθ, cosθ). Calculer M = (I_2 + R_θ)^(− 1)(I_2 − R_θ).

Partie II - Matrices antisymétriques et matrices orthogonales

Dans ce qui suit, n désigne un entier strictement positif.
Q4. Soient B et C deux matrices de M_n(R). Montrer que si C est inversible et BC = CB, alors BC^(− 1) = C^(− 1)B.
Q5. Soit A ∈ M_n(R) une matrice antisymétrique. Soit λ une valeur propre complexe de A et X ∈ C^n∖{0} un vecteur propre associé. En calculant de deux façons
^t(AX)X¯
montrer que λ est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).
Q6. Déduire de la question précédente que si A est antisymétrique réelle, alors I_n + A est inversible et :
(I_n − A)(I_n + A)^(− 1) = (I_n + A)^(− 1)(I_n − A).
Montrer que R = (I_n + A)^(− 1)(I_n − A) est une matrice orthogonale.
Q7. Calculer le déterminant de R.
Q8. Soit R une matrice orthogonale telle que I_n + R soit inversible. Démontrer que la matrice A = (I_n + R)^(− 1)(I_n − R) est antisymétrique.
Q9. On suppose ici que n = 3 et que R^3 est muni de sa structure usuelle d'espace euclidien orienté par la base canonique. Soit r une rotation d'angle θ ∈ ] − π, π[ autour d'un axe orienté par un vecteur u de norme 1 et soit R ∈ O_3(R) sa matrice dans la base canonique.
Montrer qu'il existe une matrice antisymétrique A ∈ M_3(R) telle que :
R = (I_3 + A)^(− 1)(I_3 − A).

PROBLÈME 2

Présentation générale

L'objet de ce problème est l'étude du phénomène de Gibbs. Dans la première partie, on démontre des lemmes de Riemann-Lebesgue. Dans la deuxième, on calcule l'intégrale de Dirichlet. Enfin, dans la troisième partie, on met en évidence le phénomène de Gibbs.

Notations

  • R désigne l'ensemble des réels, R^+désigne l'intervalle [ 0, + ∞ [ et C désigne l'ensemble des nombres complexes.

Partie I - Résultats préliminaires

Dans ce qui suit, φ : R → C désigne une fonction continue 2π-périodique telle que :
∫_0^(2π)φ(t)dt = 0
Q10. Si f : [0, 2π] → C est une fonction de classe C^1, montrer que :
lim_(n → + ∞)∫_0^(2π)f(t)cos(nt)dt = 0
Q11. Montrer que la primitive de φ s' annulant en 0 est 2π-périodique et bornée sur R.
Soient a et b deux réels tels que a < b, déduire de ce qui précède que pour toute fonction f de classe C^1 sur [a, b] et à valeurs dans C on a :
lim_(n → + ∞)∫_a^b f(t)φ(nt)dt = 0
Q12. Soient α et β deux réels tels que α < β et h : [α, β] → C une fonction continue. Soient ε un réel strictement positif et g une fonction de classe C^1 sur [α, β] telle que sup_([α, β])|h − g| ≤ ε, montrer qu'il existe une constante M ne dépendant que de φ telle que :
|∫_α^β h(t)φ(nt)dt| ≤ M|β − α|ε + |∫_α^β g(t)φ(nt)dt|
En déduire que pour tout intervalle [a, b] de R et toute fonction f : [a, b] → C continue par morceaux :
lim_(n → + ∞)∫_a^b f(t)φ(nt)dt = 0
On pourra admettre et utiliser le théorème de Weierstrass qui affirme que pour tout segment [α, β] avec α < β et toute fonction continue f : [α, β] → C, il existe une suite (f_n)_(n ∈ N) de fonctions polynomiales qui converge uniformément vers f sur [α, β].
Q13. Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b] → C une fonction continue par morceaux. Déduire de ce qui précède que :
lim_(n → + ∞)∫_a^b f(t)sin^2(nt)dt = 1/2∫_a^b f(t)dt

Partie II - L'intégrale de Dirichlet

Soit f : R^+ → C une fonction continue telle que la fonction F : x ↦ ∫_0^x f(t)dt soit bornée.
Q14. Montrer que, pour tout réel a > 0, les intégrales généralisées ∫_a^(+ ∞)(F(t))/(t^2)dt puis ∫_a^(+ ∞)(f(t))/tdt sont convergentes et que :
∫_a^(+ ∞)(f(t))/tdt = ∫_a^(+ ∞)(F(t))/(t^2)dt − (F(a))/a
Q15. Montrer que les intégrales généralisées ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/tdt et ∫_0^(+ ∞)(sin^2(t))/(t^2)dt sont convergentes et que:
∫_0^(+ ∞)(sin(t))/tdt = ∫_0^(+ ∞)(sin^2(t))/(t^2)dt
Dans ce qui suit, on considère une fonction continue f : R^+ → C telle que ∫_0^(+ ∞)f(t)dt soit absolument convergente.
Q16. Montrer que la fonction
L(f) : x ∈ R^+ ↦ ∫_0^(+ ∞)f(t)e^(− xt)dt
est bien définie et continue sur R^+.
Q17. On suppose de plus que la fonction f est bornée. Montrer que la fonction L(f) est de classe C^∞ sur ]0, + ∞[ et que L(f)(x) tend vers 0 quand x tend vers + ∞.
Q18. Soit f : t ∈ R^+ ↦ 1/(1 + t^2).
  1. Montrer que la fonction L(f) est solution de l'équation différentielle
y^(′′) + y = 1/x
sur ]0, + ∞[.
2. On cherche une solution particulière de (E) de la forme x ↦ α(x)cos(x) + β(x)sin(x) où les fonctions α et β sont de classe C^2 et vérifient :
∀x ∈ ]0, + ∞[ α^′(x)cos(x) + β^′(x)sin(x) = 0.
Montrer que l'on peut prendre α(x) = ∫_x^(+ ∞)f_1(t)dt et β(x) = ∫_x^(+ ∞)f_2(t)dt où f_1 et f_2 sont des fonctions que l'on déterminera.
3. En déduire que ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/(x + t)dt est une solution de l'équation (E) sur ]0, + ∞[.
4. Montrer qu'il existe (a, b) ∈ R^2 tel que :
∀x ∈ ]0, + ∞[ L(f)(x) = acosx + bsinx + ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/(x + t)dt
Q19. Montrer que ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/(x + t)dt tend vers 0 quand x tend vers + ∞ et en déduire que pour tout x > 0 on a:
L(f)(x) = ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/(x + t)dt
Q20. Montrer que ∫_1^(+ ∞)((sin(t))/(x + t) − (sin(t))/t)dt tend vers 0 quand x tend vers 0^+. En déduire que :
lim_(x → 0^+)∫_0^(+ ∞)(sin(t))/(x + t)dt = ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/tdt
Q21. Déduire des questions précédentes que ∫_0^(+ ∞)(sin(t))/tdt = π/2.

Partie III - Phénomène de Gibbs

Soit f : R → R la fonction 2π-périodique et impaire définie par :
f(x) = {1, si, x ∈ ]0, π[; 0, si, x = 0 ou x = π
On désigne par (S_n)_(n ∈ N) la suite de fonctions définie par :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, S_n(x) = 4/π∑_(k = 0)^n(sin((2k + 1)x))/(2k + 1).
Q22. En calculant la dérivée de S_n, montrer que :
∀n ∈ N, ∀x ∈ [0, π], S_n(x) = 2/π∫_0^x(sin(2(n + 1)t))/(sin(t))dt
Q23. Montrer que, pour tout entier n ∈ N, on a :
π/4 − ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(2k + 1) = (− 1)^(n + 1)∫_0^1(t^(2n + 2))/(1 + t^2)dt
En déduire la valeur de ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k)/(2k + 1).
Q24. En déduire que S_n(π/2) tend vers 1 quand n tend vers l'infini.
Q25. Calculer S_n(π − x) en fonction de S_n(x). En utilisant le résultat de la question Q12, montrer que, pour tout x ∈ ]0, π/2], on a :
lim_(n → ∞)S_n(x) = 1
Q26. Déduire de ce qui précède que la suite (S_n)_(n ∈ N) converge simplement vers la fonction f définie par (E.1) sur R.
Q27. Montrer que la suite de fonctions (φ_n)_(n ≥ 1) définie sur [ 0, π ] par
φ_n(x) = {1/(2n)(sin(x))/(sin(x/(2n))), si, x ∈ ]0, π]; 1, si, x = 0
converge simplement sur [0, π] vers la fonction φ définie sur [0, π] par :
φ(x) = {(sin(x))/x, si, x ∈ ]0, π]; 1, si, x = 0.
Q28. Montrer que φ est continue sur [0, π/2] et en déduire que
lim_(n → + ∞)S_n(π/(2(n + 1))) = 2/π∫_0^π(sin(x))/xdx
puis que :
lim_(n → + ∞)(f(π/(2(n + 1))) − S_n(π/(2(n + 1)))) = 2/π∫_π^(+ ∞)(sin(x))/xdx
Q29. Montrer que
∫_0^π(sin(x))/xdx = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(π^(2n + 1))/((2n + 1)(2n + 1)!)
puis que :
lim_(n → + ∞)(S_n(π/(2(n + 1))) − f(π/(2(n + 1)))) = 2∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(π^(2n))/((2n + 1)(2n + 1)!) − 1.
Q30. Comparer
∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n(π^(2n))/((2n + 1)(2n + 1)!) et ∑_(n = 0)^3(− 1)^n(π^(2n))/((2n + 1)(2n + 1)!),
et montrer que :
lim_(n → + ∞)(S_n(π/(2(n + 1))) − f(π/(2(n + 1)))) > 0.17
En déduire que la suite de fonctions (S_n)_(n ∈ N) ne converge pas uniformément vers f sur ]0, π/2[.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths PSI 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet CCINP maths PSI 2017 ?

Le problème 1 porte sur les matrices antisymétriques et orthogonales. Le problème 2 mobilise les intégrales généralisées, les intégrales à paramètre, le lemme de Riemann-Lebesgue, l'intégrale de Dirichlet et le phénomène de Gibbs.

Quelles erreurs le jury du CCINP maths PSI 2017 a-t-il le plus relevées ?

Des inégalités écrites sans modules pour des fonctions complexes, un usage abusif du théorème de convergence dominée, des preuves de périodicité incomplètes et l'oubli que l'intégrale de 1/t diverge.

Le sujet CCINP maths PSI 2017 est-il long ?

Oui. Le jury indique qu'aucun candidat n'a traité l'ensemble des deux problèmes et que la dernière partie sur le phénomène de Gibbs a été abordée de façon parcellaire.

Par quel problème commencer sur le CCINP maths PSI 2017 ?

Le problème 1, court et d'algèbre linéaire, a été mieux traité que le problème 2 selon le jury, et sa partie I mieux réussie que sa partie II.

Pas de description pour le moment