E3A Mathématiques 2 PSI 2002Sujet et corrigé

E est un espace affine euclidien de dimension 3 , rapporté à un repère (O, i⃗, j⃗, k⃗) quelconque . Soit (Γ) l'arc paramétré défini par :

Pour tout réel λ on considère le plan ( P_λ ) d'équation : z = λ.
1^∘ Discuter suivant λ te nombre de points d'intersection de ( Γ )et de ( P_λ ).
On note J l'ensemble des réels λ pour lesquels (Γ) et (P_λ) se coupent en quatre points.
2^∘ Soit λ un élément de J .
a) Démontrer que les quatre points d'intersection de ( Γ ) et de ( P_λ ) sont les sommets d'un parallélogramme noté ABCD.
b) Vérifier que les directions des côtés de ce parallélogramme ABCD sont indépendantes de λ.
c) Prouver que ABCD est un rectangle si et seulement si les vecteurs i⃗ et j⃗ ont même norme.
3^∘ On suppose que le repère (O, i⃗, j⃗, k⃗) est orthonormé.
Calculer en fonction de λ l'aire du rectangle ABCD.

R désigne l'ensemble des nombres réels.
Soit α un réel strictement positif.
Pour n entier naturel non nul, on considère l'application u_n de [0, + ∞[ vers R définie par :

1^∘ Etude des modes de convergence de la série de fonctions ∑u_n
a) Montrer que la série ∑u_n converge simplement sur [0, + ∞[.
b) Démontrer que la série ∑u_n converge normalement sur [0, + ∞[ si et seulement si α > 1/2.
c) Soient a et b deux réels tels que : 0 < a < b.

Prouver que la série ∑u_n converge normalement sur [a, b].
d) On suppose dans cette question que : α ≤ 1/2. Pour x élément de [0, + ∞[, on pose :

i) Etablir l'inégalité : R_n(x) ≥ ∑_(k = n + 1)^(2n)x/(√(2n)(1 + kx^2)).
ii) En déduire que la série ∑u_n n'est pas uniformément convergente sur [0, a] où a est un réel strictement positif.

On note S l'application de [0, + ∞[ vers R définie par : S = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n
2^∘ Etude de la continuité de S.
a) Montrer que, pour tout α, S est continue sur ]0, ≠ [.
b) Montrer que, si α > 1/2, alors S est continue sur [0, + ∞[.
c) On suppose que : α ≤ 1/2. Soit x un réel strictement positif.
i) Soit f l'application définie sur [1, + ∞[ par : t ↦ f(t) = x/(t^α(1 + tx^2)). Prouver que f est intégrable sur [1, + ∞[.
ii) Montrer que : ∫_1^(+ ∞)f(t)dt ≤ S(x).
iii) Calculer ∫_1^(+ ∞)x/(√t(1 + tx^2))dt.
iv) En déduire que S n'est pas continue en 0 .

R est le corps des nombres réels, C celui des nombres complexes et n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On note E le C-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans C. I est la matrice identité de E . Pour A élément de E, a_(ij) est le coefficient de A situé dans la i-ème ligne et la j-ème colonne. On note F le C-espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne et à coefficients dans C.

Pour X = (x_1; ⋅; ⋅; x_n) élément de F , on pose ‖X‖ = sup_(1 ≤ k ≤ n)|x_k|; on rappelle que l'on définit ainsi une norme sur F . On note KerA l'ensemble des éléments X de F vérifiant AX = 0.

Une matrice A = (a_(ij)) à coefficients réels est dite stochastique si:

On note S l'ensemble des matrices stochastiques de E .
Dans tout l'exercice A est un élément de S, A ≠ I.

1^∘ Soit B un élément de S . Prouver que AB appartient à S .
2^∘ Montrer que pour tout k entier naturel, A^k appartient à S .
3^∘ Soit X un élément de F . Démontrer que ‖AX‖ ≤ ‖X‖. En déduire pour tout k entier naturel, ‖A^k X‖ ≤ ‖X‖.
4^∘ Montrer que 1 est valeur propre de A.
5^∘ Soit λ une valeur propre complexe de A, montrer que : |λ| ≤ 1.
6^∘ Soit λ une valeur propre complexe de A, telle que |λ| = 1.
a) Soit X un élément de Ker(A − λI)^2. On pose : Y = (A − λI)X.
). Etablir que, pour tout k entier naturel, k ≥ 2, A^k X = λ^k X + kλ^(k − 1)Y.
.) En déduire que Y = 0 ( on pourra utiliser l'inégalité établie à la question 3^∘ de la première partie).
iii) Prouver que Ker(A − λI)^2 = Ker(A − λI).
b) En déduire que, pour tout k entier naturel, k ≥ 2, on a :

On suppose que A admet r + 1 valeurs propres complexes deux à deux distinctes, on les note λ_0, λ_1, …, λ_r, avec λ_0 − 1.

Dans toute cette partie p désigne un entier naturel non nul.

Pour X élément de F , on pose : X_p = 1/p∑_(k = 0)^p A^k X. On veut étudier la convergence, quand p tend vers + ∞, de la suite (X_p) dans F .
1^∘ Soit λ une valeur propre complexe deA, λ ≠ 1.
a) Prouver que : lim_(p → + ∞)(1/p∑_(k = 0)^p λ^k) = 0.
b) On suppose que X est un élément de Ker(A − λI). Montrer que la suite (X_p) converge vers 0 .
2^∘ On suppose, dans cette question, que A est diagonalisable.
Soit X un élément quelconque de F . Démontrer que la suite ( X_p ) converge vers un élément de Ker(A − I).
3^∘ On s'intéresse dans cette question à une valeur propre complexe λ de A vérifiant : |λ| < 1.
Soit X un élément de Ker(A − λI)^q, où q est un entier naturel, q ≥ 2.
a) Soit k un entier naturel, k ≥ q. Montrer que:

On rappelle que C_k^j = (k!)/(j!(k − j)!).
b) Prouver que, pour tout j élément de {0, 1, …, q − 1}, on a :

c) Démontrer que la suite ( X_p ) converge vers 0 .
4^∘ On suppose que le polynôme caractéristique de A, noté P_A(T), est égal à :
P_A(T) = (− 1)^n∏_(j = 0)^s(T − λ_j)^(k_j)∏_(j = s + 1)^r(T − λ_j)^(q_j) où s, k_0, …, k_s, q_(s + 1), …, q_r sont des entiers naturels non nuls avec s < r et où |λ_j| = 1 si et seulement si j ≤ s.
a) Prouver que F est égal à la somme directe de sous espaces vectoriels suivante :
F = Ker(A − λ_0 I) ⊕ … ⊕ Ker(A − λ_s I) ⊕ Ker(A − λ_(s + 1)I)^(q_(s + 1)) ⊕ … ⊕ Ker(A − λ_r I)^(q_r).
b) Soit X un élément quelconque de F . Etudier la convergence de la suite (X_p).