E est un espace affine euclidien de dimension 3 , rapporté à un repère quelconque . Soit l'arc paramétré défini par :

Pour tout réel on considère le plan ( ) d'équation : .
Discuter suivant te nombre de points d'intersection de ( )et de ( ).
On note l'ensemble des réels pour lesquels et se coupent en quatre points.
Soit un élément de J .
a) Démontrer que les quatre points d'intersection de ( ) et de ( ) sont les sommets d'un parallélogramme noté .
b) Vérifier que les directions des côtés de ce parallélogramme sont indépendantes de .
c) Prouver que est un rectangle si et seulement si les vecteurs et ont même norme.
On suppose que le repère est orthonormé.
Calculer en fonction de l'aire du rectangle .

désigne l'ensemble des nombres réels.
Soit un réel strictement positif.
Pour entier naturel non nul, on considère l'application de vers définie par :

Etude des modes de convergence de la série de fonctions
a) Montrer que la série converge simplement sur .
b) Démontrer que la série converge normalement sur si et seulement si .
c) Soient et deux réels tels que : .

Prouver que la série converge normalement sur .
d) On suppose dans cette question que : . Pour élément de , on pose :

i) Etablir l'inégalité : .
ii) En déduire que la série n'est pas uniformément convergente sur où est un réel strictement positif.

On note l'application de vers définie par :
Etude de la continuité de .
a) Montrer que, pour tout est continue sur .
b) Montrer que, si , alors est continue sur .
c) On suppose que : . Soit un réel strictement positif.
i) Soit l'application définie sur par . Prouver que est intégrable sur .
ii) Montrer que .
iii) Calculer .
iv) En déduire que n'est pas continue en 0 .

est le corps des nombres réels, celui des nombres complexes et est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On note E le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients dans . est la matrice identité de E . Pour élément de est le coefficient de situé dans la -ème ligne et la -ème colonne. On note F le -espace vectoriel des matrices à lignes et une colonne et à coefficients dans .

Pour élément de F , on pose ; on rappelle que l'on définit ainsi une norme sur F . On note l'ensemble des éléments de F vérifiant .

Une matrice à coefficients réels est dite stochastique si:

On note S l'ensemble des matrices stochastiques de E .
Dans tout l'exercice est un élément de .

Soit un élément de S . Prouver que appartient à S .
Montrer que pour tout entier naturel, appartient à S .
Soit un élément de F . Démontrer que . En déduire pour tout entier naturel, .
Montrer que 1 est valeur propre de .
Soit une valeur propre complexe de , montrer que : .
Soit une valeur propre complexe de , telle que .
a) Soit un élément de . On pose : .
). Etablir que, pour tout entier naturel, .
.) En déduire que ( on pourra utiliser l'inégalité établie à la question de la première partie).
iii) Prouver que .
b) En déduire que, pour tout entier naturel, , on a :

On suppose que admet valeurs propres complexes deux à deux distinctes, on les note , avec .

Dans toute cette partie désigne un entier naturel non nul.

Pour élément de F , on pose : . On veut étudier la convergence, quand tend vers , de la suite dans F .
Soit une valeur propre complexe .
a) Prouver que : .
b) On suppose que est un élément de . Montrer que la suite converge vers 0 .
On suppose, dans cette question, que est diagonalisable.
Soit un élément quelconque de F . Démontrer que la suite ( ) converge vers un élément de .
On s'intéresse dans cette question à une valeur propre complexe de vérifiant : .
Soit un élément de , où est un entier naturel, .
a) Soit un entier naturel, . Montrer que:

On rappelle que .
b) Prouver que, pour tout élément de , on a :

c) Démontrer que la suite ( ) converge vers 0 .
On suppose que le polynôme caractéristique de , noté , est égal à :
où sont des entiers naturels non nuls avec et où si et seulement si .
a) Prouver que est égal à la somme directe de sous espaces vectoriels suivante :
.
b) Soit un élément quelconque de F . Etudier la convergence de la suite .