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Centrale Mathématiques 2 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Théorie de Floquet : systèmes évolutifs discrets et continus à coefficients périodiques
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Le sujet étudie l'évolution de systèmes discrets ou continus à coefficients périodiques dans le cadre de la théorie de Floquet. Il met en avant l'influence du spectre d'un opérateur associé sur l'existence de solutions périodiques ou non bornées, en partant des suites complexes périodiques pour aller vers les suites vectorielles puis le cas continu en dimension 2.

  1. 1I. PréliminairePropriétés des suites complexes périodiques et des normes matricielles.
  2. 2II. Exemples de suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients périodiquesIntroduction de la théorie de Floquet à travers une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
  3. 3III. GénéralisationGénéralisation du résultat au cas des suites vectorielles.
  4. 4IV. Le cas continu en dimension 2Approche du cas continu de la théorie de Floquet en dimension 2.
  5. 5V. Racines p-ièmes dans GLn(C)Preuve d'un lemme nécessaire à la partie III, indépendante des autres parties en dehors de cette finalité.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un sujet d'une longueur raisonnable dont toutes les parties, très indépendantes, ont été abordées, les tout meilleurs candidats traitant correctement la quasi-totalité de l'énoncé.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre suites et fonctions · Une partie bornée sans maximum · Polynôme annulateur confondu avec le polynôme caractéristique
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Le sujet est d'une longueur raisonnable et fait appel à des notions variées de première et seconde année. Les candidats reconnaissent en général les théorèmes à utiliser mais leur connaissance reste souvent approximative, avec une confusion fréquente entre solutions exponentielles d'une équation différentielle linéaire et suites géométriques vérifiant une relation de récurrence linéaire.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre suites et fonctionsI

    Les théorèmes de Rolle, de Weierstrass ou des valeurs intermédiaires, réservés aux fonctions, étaient complètement hors sujet en partie I appliquée à des suites.

  2. 2
    Une partie bornée sans maximum

    Le jury rappelle qu'une partie bornée n'a pas forcément de maximum, une hypothèse implicitement utilisée à tort par certains candidats.

    « une partie bornée n'a pas forcément de maximum »
  3. 3
    Polynôme annulateur confondu avec le polynôme caractéristique

    Un polynôme annulateur d'une matrice n'est pas forcément son polynôme caractéristique et peut avoir d'autres racines que ses valeurs propres.

    « un polynôme annulateur d'une matrice n'est pas forcément son polynôme caractéristique »
  4. 4
    Abus des symboles d'implication et d'équivalenceII.E

    Trop de candidats traitent uniquement le sens le plus facile d'une équivalence en utilisant des raisonnements erronés ; les meilleurs candidats, à l'inverse, utilisent rarement les symboles d'implication ou d'équivalence.

    « les meilleurs candidats n'utilisent pratiquement jamais les symboles »
  5. 5
    Constructions non explicitéesI.A.4, II.C, II.E, III.B, III.C

    De nombreuses questions nécessitaient de construire une quantité nouvelle ; aucune réponse n'est acceptée sans la mention explicite de cette construction.

Ce qui a été bien réussi

  • Les tous meilleurs candidats traitent correctement la quasi-totalité de l'énoncé.
  • Le jury a apprécié la qualité de certaines copies à la fois concises et rigoureuses.

Conseils du jury

  • Bien identifier la nature des objets manipulés avant de leur appliquer un théorème, par exemple ne pas parler de monotonie pour des suites de complexes.
  • Se remémorer l'intégralité d'un théorème avant de l'utiliser et vérifier systématiquement ses hypothèses.
  • Rédiger soigneusement les récurrences en précisant le prédicat et la variable, sans les qualifier abusivement d'immédiates ou d'évidentes.
  • Distinguer clairement les données de l'énoncé de ce que l'on construit ou démontre, en explicitant chaque construction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Objectifs

L'objectif du problème est l'étude de l'évolution de certains systèmes (discrets ou continus) à coefficients périodiques, dans le cadre de la théorie de Floquet. Dans la première partie on démontre quelques propriétés des suites complexes périodiques et des normes matricielles. La théorie de Floquet est introduite dans la partie II à travers l'étude de suites vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 à coefficients périodiques. Dans la partie III, le résultat est généralisé au cas des suites vectorielles. Une approche du cas continu est proposée dans la partie IV. La partie V est consacrée à la preuve d'un lemme nécessaire à la partie III ; en dehors de cette finalité elle est indépendante des autres parties.

Notations

  • M_n(ℂ) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients complexes ;
  • M_(n, 1)(ℂ) l'ensemble des matrices colonnes de taille n à coefficient complexes; on identifie M_(n, 1)(ℂ) et ℂ^n.
  • GL_n(ℂ) représente l'ensemble des éléments inversibles de M_n(ℂ).
  • tr(M) est la trace de la matrice M de M_n(ℂ).
  • T_n(ℂ) désigne l'ensemble des matrice triangulaires supérieures d'ordre n.
  • 0_(1, n) est la matrice ligne de taille n dont tous les coefficients sont nuls.
  • Pour tout Y = (y_1; ⋮; y_n) ∈ ℂ^n, on pose ‖Y‖_∞ = max_(1 ⩽ i ⩽ n)|y_i|.
  • Pour toute matrice C = (c_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℂ), on pose ‖C‖_0 = max_(1 ⩽ i, j ⩽ n)|c_(i, j)|.
On rappelle que ‖ ⋅ ‖_∞ est une norme sur ℂ^n et que ‖ ⋅ ‖_0 est une norme sur M_n(ℂ).
  • Si A = ((a_1)/(a_2)) et B = ((b_1)/(b_2)) sont deux matrices colonnes de taille 2 à coefficients dans ℂ, on note [A, B] la matrice (a_1, b_1; a_2, b_2) de M_2(ℂ).

I Préliminaire

I.A - Une suite (z_k)_(k ∈ ℕ) ∈ ℂ^ℕ est dite périodique s'il existe un entier p ⩾ 1 tel que, ∀k ∈ ℕ, z_(k + p) = z_k; p est alors une période de la suite ( z_k ) qui est dite p-périodique.
I.A.1) Vérifier qu'une suite périodique est bornée.
I.A.2) Que peut-on dire des suites 1 -périodiques ?
I.A.3) Vérifier que, si (z_k) est p-périodique, alors ∀n ∈ ℕ, ∀k ∈ ℕ, z_(n + kp) = z_n.
I.A.4) Que peut-on dire des suites qui sont à la fois périodiques et convergentes ?
I.B - Vérifier les deux propriétés suivantes.
I.B.1) ∀(A, B) ∈ (M_n(ℂ))^2 ‖AB‖_0 ⩽ n‖A‖_0 ⋅ ‖B‖_0
I.B.2) ∀A ∈ M_n(ℂ), ∀Y ∈ ℂ^n ‖AY‖_∞ ⩽ n‖A‖_0 ⋅ ‖Y‖_∞

II Exemples de suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients périodiques

II. A - Dans cette sous-partie II.A, a est un nombre réel non nul. On note Sol(II.1) l'ensemble des suites complexes (z_k)_(k ∈ ℕ) vérifiant la relation de récurrence
∀k ∈ ℕ^∗, z_(k + 1) + az_k + z_(k − 1) = 0
II.A.1) Donner la forme générale des suites appartenant à Sol(II.1) en fonction des racines complexes r_1 et r_2 de l'équation r^2 + ar + 1 = 0. Que valent r_1 + r_2 et r_1 r_2 ?
II.A.2) Montrer que si |a| > 2, la suite nulle est la seule solution périodique de (II.1).
II.A.3) Montrer que si a = − 2 alors, (II.1) admet une infinité de solutions constantes et une infinité de solutions non bornées.
II.A.4) Montrer que si a = + 2 alors, (II.1) admet une infinité de solutions 2 -périodiques et une infinité de solutions non bornées.
II.A.5) On suppose dans cette question que p est un entier supérieur ou égal à 3 . Donner une valeur de a ∈ ] − 2, 2[ pour laquelle toutes les solutions de l'équation (II.1) sont p-périodiques.
II.B - Dans toute la suite de cette partie, on suppose que p est un entier supérieur ou égal à 2 , que (a_k)_(k ∈ ℕ) et (b_k)_(k ∈ ℕ) sont deux suites de nombres réels p-périodiques et que ∀k ∈ ℕ, b_k ≠ 0. On note Sol( II.2) l'ensemble des suites complexes (z_k)_(k ∈ ℕ) qui vérifient la relation de récurrence
∀k ∈ ℕ^∗, b_k z_(k + 1) + a_k z_k + b_(k − 1)z_(k − 1) = 0
II.B.1) Justifier que l'application Ψ : | Sol(II.2), →, ℂ^2; (z_k)_(k ∈ ℕ), ↦, ((z_0)/(z_1)) est un isomorphisme de ℂ-espaces vectoriels.
II.B.2) On se fixe (y_k)_(k ∈ ℕ) et (z_k)_(k ∈ ℕ), deux suites solutions de (II.2).
On pose pour tout k ∈ ℕ, W_k = b_k(y_k z_(k + 1) − z_k y_(k + 1)). Montrer que la suite (W_k)_(k ∈ ℕ) est constante.
II.B.3) Montrer que les deux suites (y_k)_(k ∈ ℕ) et (z_k)_(k ∈ ℕ) forment une base de Sol( II.2 ) si et seulement si W_0 ≠ 0.
II.C - À toute suite complexe (z_k)_(k ∈ ℕ), on associe la suite (Z_k)_(k ∈ ℕ) d'éléments de ℂ^2 définie par
∀k ∈ ℕ, Z_k = ((z_k)/(z_(k + 1)))
Démontrer que la suite (z_k)_(k ∈ ℕ) est solution de (II.2) si et seulement si la suite (Z_k)_(k ∈ ℕ) est solution d'un système (II.3) de la forme
∀k ∈ ℕ, Z_(k + 1) = A_k Z_k
Préciser la matrice A_k ∈ M_2(ℂ).
II.D - On note dorénavant Q = A_(p − 1)A_(p − 2)⋯A_0. On se fixe dans cette sous-partie une solution (Z_k)_(k ∈ ℕ) de (II.3).
II.D.1) Démontrer que detQ = 1.
II.D.2) Démontrer que, pour tout entier naturel k et tout entier naturel r ∈ [ [1, p − 1] ],
{Z_(kp) = Q^k Z_0; Z_(kp + r) = A_(r − 1)A_(r − 2)⋯A_0 Q^k Z_0

II.E -

II.E.1) Démontrer que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période p si et seulement si 1 est une valeur propre de Q.
II.E.2) En déduire que (II.2) admet une solution périodique non nulle de période p si et seulement sitr(Q) = 2. Démontrer que dans ce cas, ou bien toutes les solutions de (II.2) sont périodiques de période p, ou bien (II.2) admet une solution non bornée.
On pourra démontrer qu'il existe une matrice P ∈ GL_2(ℂ) et un nombre complexe α tels que Q = P(1, α; 0, 1)P^(− 1) et, dans le cas où α ≠ 0, considérer la suite de Sol(II.2) dont l'image par Ψ est le vecteur P(0/1).
II.E.3) Montrer que si |trQ| < 2, alors toute solution de (II.2) est bornée.

III Généralisation

Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 2 .
On se fixe dans toute cette partie une suite (A_k)_(k ∈ ℕ) de matrices de GL_n(ℂ) que l'on suppose p-périodique, c'est-à-dire telle que ∀k ∈ ℕ, A_(k + p) = A_k.
On note Sol (III.1) l'ensemble des suites (Y_k)_(k ∈ ℕ) de vecteurs de ℂ^n vérifiant la relation de récurrence
∀k ∈ ℕ, Y_(k + 1) = A_k Y_k
III. A - Justifier qu'on définit une suite (Φ_k)_(k ∈ ℕ) de matrices de GL_n(ℂ) en posant {Φ_0 = I_n; Φ_(k + 1) = A_k Φ_k ∀k ∈ ℕ et que (Y_k)_(k ∈ ℕ) ∈ Sol( III.1 ) si et seulement si ∀k ∈ ℕ, Y_k = Φ_k Y_0.
III.B -
III.B.1) Démontrer que ∀k ∈ ℕ, Φ_(k + p) = Φ_k Φ_p.
La matrice Φ_p est appelée matrice de Floquet de l'équation (III.1) et ses valeurs propres complexes sont appelées les multiplicateurs de Floquet de (III.1).
III.B.2) Soit ρ un multiplicateur de Floquet de (III.1).
a) Démontrer qu'il existe une solution (Y_k)_(k ∈ ℕ) de (III.1) non nulle vérifiant ∀k ∈ ℕ, Y_(k + p) = ρY_k.
b) Soit (Y_k)_(k ∈ ℕ) une telle solution, démontrer que, si |ρ| < 1, lim_(k → + ∞)‖Y_k‖_∞ = 0.
Dans toute la suite de cette partie III, on note B une matrice appartenant à GL_n(ℂ) et vérifiant B^p = Φ_p (l'existence d'une telle matrice sera démontrée dans la partie V ).
III. C - Démontrer qu'il existe une unique suite (P_k)_(k ∈ ℕ) ∈ (GL_n(ℂ))^ℕ, périodique de période p, telle que
∀k ∈ ℕ, Φ_k = P_k B^k
III.D - Soit (Y_k)_(k ∈ ℕ) une solution de (III.1).
III.D.1) Justifier l'existence de M = max_(k ∈ ℕ)‖P_k‖_0. Montrer que pour tout k ∈ ℕ, ‖Φ_k‖_0 ⩽ nM‖B^k‖_0.
III.D.2)
a) Démontrer que si lim_(k → + ∞)‖B^k‖_0 = 0, alors lim_(k → + ∞)‖Y_k‖_∞ = 0.
b) Démontrer que si la suite (‖B^k‖_0)_(k ∈ ℕ) est bornée, alors la suite (‖Y_k‖_∞)_(k ∈ ℕ) est également bornée.
III.E - On suppose toujours que p est un entier supérieur ou égal à 2 .
III.E.1) Soit R ∈ ℂ[X] un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à racines simples. Démontrer que le polynôme R(X^p) est à racines simples si et seulement si R(0) ≠ 0.
III.E.2) En déduire que Φ_p est diagonalisable si et seulement si B est diagonalisable.
III.E.3) On suppose que B est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont de module strictement inférieur à 1. Démontrer que pour toute solution (Y_k)_(k ∈ ℕ) de (III.1), lim_(k → + ∞)‖Y_k‖_∞ = 0.

IV Le cas continu en dimension 2

Soient A une fonction continue, périodique de période T > 0 et X une fonction de classe C^1
A : ℝ → M_2(ℂ), X :; t ↦ A(t), ℝ → ℂ^2; t, ↦ ((x_1(t))/(x_2(t)))
On s'intéresse au système différentiel homogène d'inconnue X
∀t ∈ ℝ, X^′(t) = A(t)X(t)
On se fixe t_0 ∈ ℝ. On note U : | ℝ → ℂ^2; t ↦ ((u_1(t))/(u_2(t))) et V : | ℝ → ℂ^2; t ↦ ((v_1(t))/(v_2(t))) les deux solutions du système différentiel
(IV.1) vérifiant U(t_0) = (1/0) et V(t_0) = (0/1).
IV.A -
IV.A.1) On considère le système différentiel linéaire (IV.2) dont les solutions sont des fonctions de classe C^1 à valeurs dans M_2(ℂ)
∀t ∈ ℝ, M^′(t) = A(t)M(t)
Pour tout t ∈ ℝ, on pose E(t) = [U(t), V(t)]. Vérifier que E est la solution de (IV.2) vérifiant E(t_0) = I_2.
IV.A.2) Réciproquement, si M : | ℝ → M_2(ℂ); t ↦ [F(t), G(t)] est une solution de (IV.2) et W = ((w_1)/(w_2)) ∈ ℂ^2, démontrer que la fonction Y : | ℝ → ℂ^2; t ↦ M(t)W = w_1 F(t) + w_2 G(t) est une solution de (IV.1).
IV.B -
IV.B.1) Soit t_1 ∈ ℝ et W = ((w_1)/(w_2)) ∈ ℂ^2. On suppose que E(t_1)W = (0/0). Montrer que la fonction Y : | ℝ → ℂ^2; t ↦ E(t)W = w_1 U(t) + w_2 V(t) est nulle. En déduire que pour tout réel t, E(t) est inversible.
IV.B.2) Soit M ∈ C^1(ℝ, M_2(ℂ)) une solution du système (IV.2).
Montrer que pour tout réel t, M(t) = E(t)M(t_0).
IV.B.3) Déduire de la question précédente qu'il existe une unique matrice B ∈ GL_2(ℂ) indépendante de t telle que pour tout réel t, E(t + T) = E(t)B.
B s'appelle la matrice de Floquet du système (IV.1) et les valeurs propres complexes de B s'appellent les multiplicateurs de Floquet de (IV.1).

IV.C -

IV.C.1) Soit ρ ∈ ℂ un multiplicateur de Floquet de (IV.1), c'est-à-dire une valeur propre de B, et Z ∈ ℂ^2 un vecteur propre de B associé à cette valeur propre. On note Y : | ℝ → ℂ^2; t ↦ E(t)Z.
a) Démontrer que ∀t ∈ ℝ, Y(t + T) = ρY(t).
b) Démontrer qu'il existe un nombre complexe μ et une fonction S : | ℝ → ℂ^2; t ↦ S(t) non nulle et T-périodique telle ∀t ∈ ℝ, Y(t) = e^(μt)S(t).
IV.C.2) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système différentiel (IV.1) admette une solution non nulle périodique de période T.
IV.C.3) On suppose que la matrice B est diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les multiplicateurs de Floquet pour que le système différentiel (IV.1) admette une solution non bornée sur ℝ.
IV.D − On pose pour tout t ∈ ℝ, W(t) = det(E(t)) et on note ρ_1 et ρ_2 les multiplicateurs de Floquet de (IV.1).
IV.D.1) Montrer que pour tout réel t, W^′(t) = tr(A(t))W(t).
IV.D.2) En déduire que ρ_1 ρ_2 = exp(∫_0^T tr(A(s))ds).

V Racines p-ièmes dans GL_n(ℂ)

On se fixe un entier naturel p supérieur ou égal à 2 . Pour toute matrice B de GL_n(ℂ), on appelle racine p-ième de B toute matrice A de GL_n(ℂ) vérifiant A^p = B. Le but de cette partie est de prouver l'existence d'une telle matrice.
On rappelle le résultat suivant relatif au produit de deux matrices triangulaires par blocs.
Pour toutes matrices A_1 et A_2 de M_n(ℂ), toutes matrices X_1 et X_2 de M_(n, 1)(ℂ) et tous nombres complexes λ_1 et λ_2 :
(A_1, X_1; 0_(1, n), λ_1)(A_2, X_2; 0_(1, n), λ_2) = (A_1 A_2, A_1 X_2 + λ_2 X_1; 0_(1, n), λ_1 λ_2)
V.A − Soient A ∈ M_n(ℂ), X ∈ M_(n, 1)(ℂ) et λ ∈ ℂ.
Démontrer que, pour tout entier k ⩾ 1 on a : (A, X; 0_(1, n), λ)^k = (A^k, X_k; 0_(1, n), λ^k) où X_k = (∑_(j = 0)^(k − 1)λ^(k − 1 − j)A^j)X.
V.B - On notera dans toute cette sous-partie V_p = {e^((2ikπ)/p); k ∈ [ [1, p − 1] ]}, l'ensemble des racines p-ièmes de l'unité différentes de 1 .
V.B.1) Soient a et λ des nombres complexes non nuls. On suppose que a/λ ∉ V_p, ce qui signifie que, soit a = λ, soit (a^p)/(λ^p) ≠ 1. Démontrer que le nombre complexe ∑_(j = 0)^(p − 1)λ^(p − 1 − j)a^j est non nul.
V.B.2) Soit A = (a_(i, j)) une matrice de M_n(ℂ) triangulaire supérieure et inversible. Soit λ un nombre complexe non nul. On suppose que, pour tout i ∈ [ [1, n] ], (a_(i, i))/λ ∉ V_p. Démontrer que la matrice ∑_(j = 0)^(p − 1)λ^(p − 1 − j)A^j est inversible.
V.B.3) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure et inversible admet au moins une racine p-ième triangulaire supérieure.
On pourra prouver par récurrence sur n ⩾ 1 la propriété suivante :
∀B ∈ T_n(ℂ) ∩ GL_n(ℂ), ∃A ∈ T_n(ℂ) telle que {A^p = B; ∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, (a_(i, i))/(a_(j, j)) ∉ V_p
V.B.4) Démontrer que toute matrice inversible de M_n(ℂ) admet au moins une racine p-ième.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PSI 2017 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PSI 2017 ?

Le sujet porte sur la théorie de Floquet : suites récurrentes linéaires, réduction des endomorphismes, normes matricielles et équations différentielles linéaires, appliquées à des systèmes à coefficients périodiques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une confusion entre suites et fonctions, un polynôme annulateur pris à tort pour le polynôme caractéristique, un abus des symboles d'implication et d'équivalence, et des constructions non explicitées.

Ce sujet de maths 2 Centrale PSI 2017 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme d'une longueur raisonnable, avec des parties indépendantes toutes abordées ; les tout meilleurs candidats ont traité la quasi-totalité de l'énoncé, ce qui en fait un sujet sélectif mais accessible aux plus préparés.

Quelles sont les questions les plus mal traitées du sujet maths 2 Centrale PSI 2017 ?

Le rapport cite les questions I.A.4, II.C, II.E, III.B et III.C, qui nécessitaient de construire explicitement une quantité nouvelle et ont été les plus mal traitées.

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