E3A Mathématiques 2 PSI 2018Sujet et corrigé
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Étude d'un opérateur intégral associé à une équation différentielle linéaire du premier ordreAfficher ou masquer la section
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Étude d'un opérateur intégral associé à une équation différentielle linéaire du premier ordre
Le problème étudie l'opérateur U_a qui à une fonction continue et bornée f associe l'unique solution bornée sur [1, +infini[ de l'équation différentielle y' - ay + f = 0. Il analyse les propriétés algébriques de cet opérateur (injectivité, spectre, itérées), son comportement asymptotique vis-à-vis des équivalents et des négligeabilités, et la conservation de l'intégrabilité par cet opérateur.
- 1Partie 1, questions 1 à 4 : construction et premières propriétés de U_aOn établit l'existence et l'unicité de la solution bornée de l'équation différentielle, on définit l'opérateur U_a et on étudie son injectivité, sa surjectivité et un exemple de sous-espace stable.
- 2Partie 1, questions 5 à 11 : itérées de U_a et représentation intégraleOn étudie les fonctions propres, une représentation de U_a comme une intégrale de convolution, le déterminant de restrictions à des sous-espaces, et la convergence des séries d'itérées de U_a.
- 3Partie 2 : comportement asymptotiqueOn montre que U_a préserve les relations de négligeabilité et d'équivalence en +infini, et on établit des développements asymptotiques explicites pour des fonctions puissances.
- 4Partie 3 : intégrabilitéOn étudie la convergence de l'intégrale de U_a(f) sur [1, +infini[ lorsque f est positive et intégrable, et on conclut sur la conservation de l'intégrabilité par l'opérateur U_a.
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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Mathématiques 2 PSI
Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'usage de calculatrices est interdit.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Dans tout le problème,
I est l'intervalle
[1, + ∞[ .
On noteℰ le
ℝ -espace vectoriel des fonctions continues et bornées sur
I à valeurs réelles et
ℰ_1 = 𝒞^1(I, ℝ) le
ℝ -espace vectoriel des fonctions de classe
C^1 sur
I à valeurs réelles.
LorsqueV est un endomorphisme de
ℰ , on rappelle que
V^0 = Id_ℰ et que si
n est un entier naturel non nul,
V^n = V ∘ … ∘ V_()_n
Soita un réel strictement positif.
Pour toutf de
ℰ , on considère l'équation différentielle sur
I :
On note
Lorsque
Soit
Pour tout
et on note
𝒮_a^f l'ensemble de ses solutions sur
I .
Partie 1
- Etude de l'équation
(E_a^f) .
1.1. Soientf ∈ ℰ etz ∈ ℰ_1 .
Montrer que
z est solution de
(E_a^f) si et seulement s'il existe
K ∈ ℝ tel que :
∀x ∈ I, z(x) = e^(ax)(K − ∫_1^x e^(− at)f(t)dt)
1.2. Prouver que s'il existe une solution de (E_a^f ) qui soit bornée sur
I , alors celle-ci est unique.
1.3. Vérifier que l'intégrale∫_1^(+ ∞)e^(− at)f(t)dt est convergente.
1.4. Démontrer que la fonctionF : x ∈ I ↦ e^(ax)∫_x^(+ ∞)e^(− at)f(t)dt est l'unique solution de
(E_a^f) bornée sur
I .
1.2. Prouver que s'il existe une solution de (
1.3. Vérifier que l'intégrale
1.4. Démontrer que la fonction
On définit ainsi une application
U_a de
ℰ dans
ℰ qui à toute fonction
f de
ℰ associe la fonction
F = U_a(f) ainsi obtenue.
2. Etude de quelques propriétés deU_a .
2.1. ExpliciterU_a(f) lorsque
f est la fonction constante égale à 1 .
2.2. Vérifier queU_a est un endomorphisme de
ℰ .
2.3.
2.3.a. L'endomorphismeU_a est-il injectif?
2.3.b. Montrer que pour toutf élément de
ℰ, U_a(f) ∈ ℰ_1 .
2.3.c. L'endomorphismeU_a est-il surjectif?
2.4. On suppose dans cette question et uniquement dans cette question quea = 1 .
2. Etude de quelques propriétés de
2.1. Expliciter
2.2. Vérifier que
2.3.
2.3.a. L'endomorphisme
2.3.b. Montrer que pour tout
2.3.c. L'endomorphisme
2.4. On suppose dans cette question et uniquement dans cette question que
Montrer que le sous-espace de
ℰ : ℱ = Vect(sin, cos) est stable par
U_1 . En donner une base
ℬ .
Ecrire la matriceM de la restriction de
U_1 à
ℱ dans cette base.
Prouver queM = λΩ où
λ est un réel positif et
Ω une matrice de rotation dont on déterminera l'angle.
3. On revient au cas général.
3.1. Pourr ∈ [0, + ∞[ , on note
f_r la fonction de
ℰ définie par :
x ↦ e^(− rx) .
Ecrire la matrice
Prouver que
3. On revient au cas général.
3.1. Pour
Déterminer
U_a(f_r) .
3.2. Soitλ ∈ ]0, 1/a] . Le réel
λ est-il valeur propre de l'endomorphisme
U_a ?
3.3. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions(U_a^n(f_r))_(n ∈ ℕ) sur
I .
3.4. Etudier la convergence simple de la série de fonctions∑_(n ⩾ 0)U_a^n(f_r) sur
I et déterminer sa somme lorsqu'elle converge.
4. Prouver que l'on a, pour tout élémentf de
ℰ :
3.2. Soit
3.3. Etudier la convergence simple de la suite de fonctions
3.4. Etudier la convergence simple de la série de fonctions
4. Prouver que l'on a, pour tout élément
- Pour tout entier naturel
k , on noteg_k la fonction deℰ définie par :g_k(x) = e^(− x)x^k et on noteG_k = U_a(g_k) .
Pour tout entier naturel
p , on note
ℱ_p = Vect(g_0, …, g_p)
5.1. Donner une baseℬ_p de
ℱ_p .
5.2. Vérifier queℱ_p est un sous-espace vectoriel de
ℰ stable par
U_a .
5.3. Calculer le déterminant de la restriction deU_a à
ℱ_p .
6. Prouver que l'on a :∀f ∈ ℰ, |U_a(f)| ⩽ U_a(|f|) .
7. Soitf dans
ℰ à valeurs positives. En est-il de même pour
U_a(f) ?
8. Soitf dans
ℰ décroissante. Prouver que
aU_a(f) ⩽ f puis que
U_a(f) est décroissante.
9. On note:
5.1. Donner une base
5.2. Vérifier que
5.3. Calculer le déterminant de la restriction de
6. Prouver que l'on a :
7. Soit
8. Soit
9. On note:
-
ℋ l'ensemble des éléments deℰ de classeC^1 surI et telles quef^′ est bornée surI . -
D l'opérateur de dérivation surℋ .
Soit
f ∈ ℋ .
9.1. Montrer que l'on a :U_a(f^′) − aU_a(f) + f = 0 .
9.2. En déduire queU_a et
D commutent dans
ℋ .
10. Soitf ∈ ℰ . Vérifier que, pour tout entier naturel
n, U_a^(n + 1)(f) est la fonction
x ↦ e^(ax)∫_x^(+ ∞)((t − x)^n)/(n!)e^(− at)f(t)dt .
9.1. Montrer que l'on a :
9.2. En déduire que
10. Soit
On pourra procéder par intégration par parties.
11. Soit
f ∈ ℰ . On suppose dans cette question et uniquement dans cette question que
a > 1 .
11.1. Soient
x ∈ I et
t un réel supérieur ou égal à
x . Calculer
∑_(n = 0)^(+ ∞)(((t − x)^n)/(n!)e^(− at)f(t)) .
11.2. Démontrer que la série de fonctions∑_(n ⩾ 1)U_a^n(f) est simplement convergente sur
I . On notera
S sa somme.
11.2. Démontrer que la série de fonctions
On pourra utiliser sans démonstration le résultat valable pour tout entier naturel
n :
∫_0^(+ ∞)u^n e^(− u) du = n !
11.3. Démontrer qu'il existe un réelb > 0 tel que
S = U_b(f) .
11.3. Démontrer qu'il existe un réel
Partie 2
On admettra que :
si
u et
v sont deux fonctions continues sur
I à valeurs réelles telles que
v est à valeurs positives et
∫_1^(+ ∞)v(t)dt converge
- Soient
f etg dansℰ avecg à valeurs positives etf = o_(+ ∞)(g) . Montrer queU_a(f) = o_(+ ∞)(U_a(g)) . - Soient
f etg dansℰ, g à valeurs positives telles quef ∼ _(+ ∞)g . Montrer queU_a(f) ∼ _(+ ∞)U_a(g) . - Soit
f ∈ ℰ admettant une limite finie en+ ∞ . Montrer queU_a(f) admet aussi une limite finie en+ ∞ .
On pourra commencer par étudier le cas où
lim_(x → + ∞)f(x) = 0
4. Pour tout réel strictement positifω , on note pour toute la suite du problème,
h_ω la fonction de
ℰ qui à
t ∈ I associe
1/(t^ω) et
H_ω = U_a(h_ω) .
4.1. Montrer que l'on a pour toutx ∈ I : H_ω(x) = (h_ω(x))/a − ω/aH_(ω + 1)(x)
4.2. En déduire que :H_ω(x) ∼ _(x → + ∞)(h_ω(x))/a .
5.
5.1. Montrer que pour toutx ∈ I : ∫_1^x(e^(− at))/t dt = lnx + ∑_(k = 1)^(+ ∞)(− 1)^k(a^k)/(k ⋅ k!)(x^k − 1) .
5.2. En déduire que l'on a :H_1(x) = e^(ax)(− lnx − ∑_(k = 1)^(+ ∞)(− 1)^k(a^k)/(k ⋅ k!)(x^k − 1) + ∫_1^(+ ∞)(e^(− at))/t dt)
4. Pour tout réel strictement positif
4.1. Montrer que l'on a pour tout
4.2. En déduire que :
5.
5.1. Montrer que pour tout
5.2. En déduire que l'on a :
Partie 3
On reprend les fonctions
f_r définies à la question 3.1. de la partie
1 avec maintenant
r_– > 0 .
- Montrer que l'intégrale
∫_1^(+ ∞)U_a(f_r)(t)dt converge. - Pour les fonctions
h_ω definies à la question 4. de la partie2 , l'intégrale∫_1^(+ ∞)H_ω(t)dt est-elle convergente? - Soit
f ∈ ℰ , à valeurs positives et telle que∫_1^(+ ∞)f(t)dt converge.
On note
φ : x ∈ I ↦ ∫_1^x f(t)dt, F = U_a(f) et
Φ : x ∈ I ↦ ∫_1^x F(t)dt .
3.1. Vérifier que l'on a pour toutx ∈ I : Φ^′(x) − aΦ(x) + φ(x) − F(1) = 0 .
3.2. Prouver queφ ∈ ℰ .
3.3. En déduire que l'intégrale∫_1^(+ ∞)F(t)dt est convergente.
4. Soitf ∈ ℰ intégrable sur
I .
3.1. Vérifier que l'on a pour tout
3.2. Prouver que
3.3. En déduire que l'intégrale
4. Soit
Montrer que
U_a(f) est aussi intégrable sur
I .
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 PSI e3a 2018 ?Afficher ou masquer la section
Questions fréquentes
4 questionsSur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 PSI e3a 2018 ?
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 PSI e3a 2018 ?
Il porte sur les équations différentielles linéaires, les endomorphismes d'espaces de fonctions, les séries de fonctions et les intégrales généralisées, réunis autour de l'étude d'un opérateur intégral.
Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?
Le sujet est progressif : la partie 1 construit l'opérateur U_a et ses propriétés algébriques, utilisées dans les parties 2 et 3 qui étudient respectivement son comportement asymptotique et la conservation de l'intégrabilité.
Qu'est-ce que l'opérateur U_a étudié dans ce sujet ?
C'est l'application qui à une fonction continue et bornée f associe l'unique solution bornée sur [1, +infini[ de l'équation différentielle y' - ay + f = 0, ce qui en fait un opérateur intégral de type convolution.
Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?
La résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre avec la méthode de variation de la constante, les critères de convergence des intégrales généralisées, et les techniques de comparaison asymptotique de fonctions.
Pas de description pour le moment